專(zhuān)題51相交線與垂線（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練（人教版）

專(zhuān)題5.1相交線與垂直（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）【知識(shí)點(diǎn)一】鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角1.鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，那么具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角．要點(diǎn)提醒：(1).鄰補(bǔ)角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補(bǔ)”指的是兩個(gè)角的和為180°．(2).鄰補(bǔ)角是成對(duì)出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補(bǔ)角．(3).互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角．(4).鄰補(bǔ)角滿足的條件：①有公共頂點(diǎn)；②有一條公共邊；另一邊互為反向延長(zhǎng)線.2.對(duì)頂角及性質(zhì)：（1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒(méi)有公共邊(相對(duì))的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．（2）性質(zhì)：對(duì)頂角相等．要點(diǎn)提醒：(1).由定義可知只有兩條直線相交時(shí)，才能產(chǎn)生對(duì)頂角．(2).對(duì)頂角滿足的條件：①相等的兩個(gè)角；②有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長(zhǎng)線.【知識(shí)點(diǎn)二】垂線1．垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足．要點(diǎn)提醒：(1)記法：直線a與b垂直，記作：；直線AB和CD垂直于點(diǎn)O，記作：AB⊥CD于點(diǎn)O.(2)垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：CD⊥AB．2．垂線的畫(huà)法：過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線，可通過(guò)直角三角板來(lái)畫(huà)，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，沿此直角邊畫(huà)直線，則所畫(huà)直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．要點(diǎn)提醒：(1)如果過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長(zhǎng)線上，也可能在線段的延長(zhǎng)線上．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段．3．垂線的性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短．要點(diǎn)提醒：（1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說(shuō)明了垂線的存在性和唯一性．（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無(wú)數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短．在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問(wèn)題．4．點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．要點(diǎn)提醒：點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量，不能說(shuō)垂線段是距離；（2）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫(huà)出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)1】對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角認(rèn)識(shí)；【考點(diǎn)2】利用對(duì)頂角性質(zhì)和鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求值；【考點(diǎn)3】垂直定義的理解；【考點(diǎn)4】作圖（畫(huà)垂線）；【考點(diǎn)6】點(diǎn)到直線的距離的判定與求值；【考點(diǎn)7】求最值（垂線段最短）.【考點(diǎn)1】對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角認(rèn)識(shí)；【例1】（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線相交于點(diǎn)是內(nèi)部的一條射線．（1）寫(xiě)出和的鄰補(bǔ)角；（2）寫(xiě)出圖中所有的對(duì)頂角．【答案】（1）的鄰補(bǔ)角為的鄰補(bǔ)角為（2）與互為對(duì)頂角，與互為對(duì)頂角【解析】略【變式1】（2022上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？计谥校┫铝袌D中，和是對(duì)頂角的有（

）個(gè)．

A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)頂角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線對(duì)各圖形分析判斷后進(jìn)行解答．解：根據(jù)對(duì)頂角的定義：中和不是對(duì)頂角；中和是對(duì)頂角；中和不是對(duì)頂角；中和不是對(duì)頂角；故選：．【點(diǎn)撥】此題考查了對(duì)頂角的定義，掌握對(duì)頂角的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023下·廣東中山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線相交于點(diǎn)．的對(duì)頂角是，的鄰補(bǔ)角是．【答案】或【分析】根據(jù)對(duì)頂角定義，結(jié)合圖形可知的對(duì)頂角是；根據(jù)鄰補(bǔ)角定義，結(jié)合圖形可知的鄰補(bǔ)角是或，從而得到答案．解：由圖可知，的對(duì)頂角是；的鄰補(bǔ)角是或，故答案為：；或．【點(diǎn)撥】本題考查對(duì)頂角定義及鄰補(bǔ)角定義，熟記對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角定義，結(jié)合圖形求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2】利用對(duì)頂角性質(zhì)和鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求值；【例2】（2023上·黑龍江綏化·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線、相交于點(diǎn)O，，射線將分成兩個(gè)角，且．（1）求的度數(shù)；（2）若平分，則是的平分線嗎？判斷并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）OB是的平分線，理由見(jiàn)分析【分析】本題考查了幾何圖形中的角度計(jì)算，角平分線的定義：（1）由對(duì)頂角相等可得，再根據(jù)即可求解；（2）由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求得，再由角平分線的性質(zhì)求得，即可得出結(jié)論．（1）解：，，，，；（2）解：是．理由如下：，，平分，，，，，，是的平分線．【變式1】（2023上·廣東珠海·八年級(jí)珠海市第九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，直線，相交于點(diǎn)，平分，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)對(duì)頂角相等和角平分線的概念得到，然后根據(jù)平角的概念求解即可．解：∵∴∵平分，∴∴．故選：D．【點(diǎn)撥】此題考查了對(duì)頂角相等，角平分線的概念，平角的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．【變式2】（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，則圖中與相等的角（不含）共有個(gè)．【答案】3【解析】略【考點(diǎn)3】垂直定義的理解；【例3】（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，．（1）若，判斷ON與CD的位置關(guān)系．請(qǐng)將下面的解題過(guò)程補(bǔ)充完整，在括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)理由．解：ON______CD．理由如下：因?yàn)?，所以______°．所以______．又因?yàn)?，所以______（等量代換），即．所以__________（__________）．（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）⊥，90，，，，垂直的定義（2）解：（1）⊥

90

垂直的定義（2）因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．所以．所以．所以．所以．【變?】（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O．已知于點(diǎn)O，OF平分∠BOC．若，則∠AOD的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】略【變式2】（2023上·吉林松原·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，直線、相交于點(diǎn)O，射線平分，．若，則的度數(shù)為．【答案】/55度【分析】本題考查了圖形中角的計(jì)算，涉及到角平分線的定義、垂直的定義，根據(jù)角平分線與垂直的概念結(jié)合圖形中角之間的關(guān)系即可求解．解：∵，射線平分，∴，∵，∴，故答案為：．【考點(diǎn)4】作圖（畫(huà)垂線）；【例4】（2021下·上海靜安·七年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)校考期中）如圖所示，是鈍角.（不寫(xiě)作圖過(guò)程，保留作圖痕跡）

（1）畫(huà)出點(diǎn)A到的垂線段.（2）過(guò)點(diǎn)C畫(huà)的垂線.【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析；【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)出點(diǎn)A到的垂線段即可；（2）根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)C畫(huà)的垂線即可．解：（1）如圖，線段即為點(diǎn)A到的垂線段，（2）如圖，線段即為所作的垂線，

【點(diǎn)撥】本題考查作圖基本作圖，解題的關(guān)鍵是理解垂線段的概念及作法．【變式1】（2023下·福建廈門(mén)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，點(diǎn)在直線上，用三角尺過(guò)點(diǎn)畫(huà)直線的垂線．下列選項(xiàng)中，三角尺擺放位置正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)直角三角板畫(huà)垂線的步驟：一利用直角三角板的一直角邊貼在已知直線上，二移動(dòng)三角板另一直角邊到已知點(diǎn)，三過(guò)已知點(diǎn)畫(huà)垂線，四畫(huà)出垂直符號(hào)對(duì)每一項(xiàng)判斷即可．解：∵三角尺過(guò)點(diǎn)畫(huà)直線的垂線：一、利用直角三角板的一直角邊貼在已知直線上，二、移動(dòng)三角板另一直角邊到已知點(diǎn)，三、過(guò)已知點(diǎn)畫(huà)垂線，四、畫(huà)垂直符合，∴項(xiàng)符合題意，不符合題意；故選．【點(diǎn)撥】本題考查了利用直角三角板畫(huà)垂線的步驟：一利用直角三角板的一直角邊貼在已知直線上，二移動(dòng)三角板另一直角邊到已知點(diǎn)，三過(guò)已知點(diǎn)畫(huà)垂線，四畫(huà)出垂直符號(hào)，熟記直角三角板畫(huà)垂線的步驟是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2018下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一束光線以入射角為50°的角度射向斜放在地面AB上的平面鏡CD，經(jīng)平面鏡反射后與水平面成30°的角，則CD與地面AB所成的角∠CDA的度數(shù)是．【答案】70°解：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CD于E．根據(jù)題意得：∠1=∠2=50°，∠END=30°，∴∠DEN=40°，∴∠CDA=∠DEN+∠END=30°+40°=70°．故答案為70°．【點(diǎn)撥】本題借助物理里的反射光線考查了三角形外角定理．屬于學(xué)科交叉知識(shí)，題目難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【考點(diǎn)5】點(diǎn)到直線的距離的判定與求值【例5】（2023下·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知于，于，，，，，．則：（1）點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)________；（2）點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)________；（3）點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)________；（4）點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)________；（5）點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)________．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)；（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)；（4）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)；（5）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)．（1）解：∵，∴點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)，；故答案為：．（2）解：∵，∴點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)，；故答案為：．（3）解：∵，∴點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)，；故答案為：．（4）解：∵，∴點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)，；故答案為：．（5）解：∵，∴點(diǎn)到直線的距離為線段的長(zhǎng)，．故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查點(diǎn)到直線的距離的定義，兩點(diǎn)間的距離的定義，解題關(guān)鍵在于掌握其定義.【變式1】（2023下·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，分別在直線上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．點(diǎn)到直線的距離等于 B．點(diǎn)到直線的距離等于C．點(diǎn)到直線的距離等于 D．點(diǎn)到直線的距離等于【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求解即可．解：于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，點(diǎn)到直線的距離等于，點(diǎn)到直線的距離等于，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離定義是解題關(guān)鍵．【變式2】（2021下·廣東東莞·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，、過(guò)作，垂足為，已知，，，點(diǎn)到的距離為，這個(gè)長(zhǎng)度是．

【答案】線段的長(zhǎng)度12【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離為過(guò)該點(diǎn)到直線的垂線段的距離，進(jìn)行判斷計(jì)算即可．解：∵，∴點(diǎn)到的距離為線段的長(zhǎng)度，∵，∴這個(gè)長(zhǎng)度是；故答案為：線段的長(zhǎng)度，12．【點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線的距離．熟練掌握點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6】求最值（垂線段最短）【例6】（2022下·北京·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知點(diǎn)P在∠AOC的邊OA上，（1）過(guò)點(diǎn)P畫(huà)OA的垂線交OC于點(diǎn)B；（2）畫(huà)點(diǎn)P到OB的垂線段PM；（3）測(cè)量P點(diǎn)到OB邊的距離：_______cm；（4）∠AOC與∠BPM之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______________，理由為_(kāi)_________________________．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析；（3）1.5；（4）相等，等角的余角相等【分析】（1）根據(jù)垂線的定義畫(huà)出圖形即可；（2）根據(jù)垂線段的定義畫(huà)出圖形即可；（3）利用測(cè)量法解決問(wèn)題即可；（4）根據(jù)垂直的定義及等角的余角相等即可求解．解：（1）如圖，直線PB即為所求作；（2）如圖，線段PM即為所求作；（3）P點(diǎn)到OB邊的距離為PM的長(zhǎng)度，通過(guò)測(cè)量可得PM約為1.5cm長(zhǎng)，故答案為：1.5；（4），，，，∠AOC=∠BPM，故答案為：相等，等角的余角相等．【點(diǎn)撥】本題考查作圖一基本作圖，垂線，垂線段及點(diǎn)到直線的距離，等角的余角相等，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【變式1】（2023下·湖北省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）直角三角形中，，，，，則點(diǎn)到直線上各點(diǎn)的所有線段中，最短的線段長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂線段最短解決此題．解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D．∵，∴．∴根據(jù)垂線段最短，點(diǎn)B到直線上各點(diǎn)的所有線段中，最短的線段長(zhǎng)為．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查垂線段最短，熟練掌握垂線段最短是解決本題的關(guān)鍵．【變