242簡單冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)（3知識點10題型鞏固訓(xùn)練）

2.4.2簡單冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)課程標準學(xué)習(xí)目標1.熟練掌握冪函數(shù)的基本概念和性質(zhì)。2.理解和掌握數(shù)學(xué)概念的能力，使其能夠通過圖像特征來理解和解釋冪函數(shù)的性質(zhì)。3.能夠靈活運用冪函數(shù)的知識來解決實際問題，1.理解冪函數(shù)的定義，即底數(shù)和指數(shù)都是正數(shù)的函數(shù)。2.通過分析冪函數(shù)的圖像特征，掌握冪函數(shù)的性質(zhì)，包括函數(shù)圖像的形狀、斜率等。3.通過具體的實例，讓學(xué)生學(xué)會如何通過圖像來理解冪函數(shù)的性質(zhì)。知識點01冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)(powerfunction)，其中x是自變量，α是常數(shù)．【即學(xué)即練1】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）若冪函數(shù)的圖象過點3,3，則該冪函數(shù)的解析式是（

A．y=x-1C．y=x2【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)設(shè)解析式，再代入點求出解析式即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)解析式為y=xα，代入點3,3可得3所以該冪函數(shù)的解析式是y=故選：B【即學(xué)即練2】（2425高一上·上海·課后作業(yè)）已知函數(shù)y=m2(1)該函數(shù)是正比例函數(shù)；(2)該函數(shù)是反比例函數(shù)；(3)該函數(shù)是冪函數(shù)．【答案】(1)m=3(2)m=1或2(3)m【分析】（1）根據(jù)正比例函數(shù)的定義得到方程（不等式）組，解得即可；（2）依題意可得m2（3）根據(jù)冪函數(shù)的定義得到m2+【詳解】（1）∵y=∴m2-3m（2）∵y=∴m2∴m=1或m（3）∵y=∴m2∴m知識點02冪函數(shù)的特征1.xα的系數(shù)是1；2.xα的底數(shù)x是自變量；3.xα的指數(shù)α為常數(shù)．只有滿足這三個條件，才是冪函數(shù)．對于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函數(shù)都不是冪函數(shù)．【即學(xué)即練3】(多選)（2324高一下·云南曲靖·階段練習(xí)）下列關(guān)于冪函數(shù)fx=xA．冪函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點1,1C．當a>0時，冪函數(shù)fx=D．冪函數(shù)fx=【答案】AB【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)可判斷選項A、B正確；取a=12，可判斷選項C、【詳解】當x>0時，冪函數(shù)fx=xa對任意a∈R都有意義，且因為1a=1，所以冪函數(shù)fx=x當a=12時，函數(shù)定義域為0,+∞，選項C故選：AB．【即學(xué)即練4】（2425高一上·上?！卧獪y試）函數(shù)y=m2+2m-2【答案】-3【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，結(jié)合一元二次方程的解法，即可得解【詳解】因為函數(shù)y=m2+2m解得：m=-3，或故答案為：-3.知識點03常見冪函數(shù)的圖像特征同一坐標系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的圖象(如圖【即學(xué)即練5】（2425高一·上?！ふn堂例題）函數(shù)y=x4A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和冪函數(shù)性質(zhì)即可得解.【詳解】令fx=x所以函數(shù)y=x4由冪函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)y=x43在0,+∞上單調(diào)遞增，且當x>1時的圖象高于故選：A.【即學(xué)即練6】（2324高一上·北京昌平·期中）函數(shù)fx=xA．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)x的正負去絕對值，再利用反比例函數(shù)的圖象判斷即可.【詳解】由題意可知當x>0時，fx=當x<0時，fx=-故選：C難點：分類討論思想的運用示例1：（2324高一上·陜西寶雞·期中）對a，b∈R，記maxa,b=a【答案】32【分析】將f(x)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|x+1|【詳解】函數(shù)f(x)=maxx+1,x作函數(shù)y=|x+1|由圖象可知，令x2-2x+9故當x=12時，f故答案為：32【題型1：冪函數(shù)的概念】例1．（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．y=2x BC．y=(x【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義即可得解.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的定義，A、B、C均不是冪函數(shù)，只有D選項y=3x2=x2故選：D.變式1．（2324高一上·新疆·階段練習(xí)）下列函數(shù)中冪函數(shù)的是（

）A．y=3x B．y=x2+2【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義直接得出結(jié)果.【詳解】A：函數(shù)y=3x為一次函數(shù)，故B：函數(shù)y=x2C：函數(shù)y=(xD：函數(shù)y=x=x故選：D變式2．（2324高一上·全國·課后作業(yè)）在函數(shù)y=x-2，y=2x2，yA．0 B．1C．2 D．3【答案】B【分析】利用冪函數(shù)定義直接判斷作答.【詳解】函數(shù)y=函數(shù)y=2x2，y所以所給函數(shù)中冪函數(shù)的個數(shù)是1.故選：B變式3．（多選）（2223高一上·重慶長壽·期末）下列函數(shù)既是冪函數(shù)，又在-∞,0上單調(diào)遞減的是（

）A．y=-x BC．y=x-1【答案】CD【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷每個函數(shù)是否滿足題目中的條件即可.【詳解】對于A，函數(shù)y=-x在-∞,0上單調(diào)遞減但不是冪函數(shù)，故選項對于B，函數(shù)y=x-2是冪函數(shù)，在(-∞,0)對于C，函數(shù)y=x-1是冪函數(shù)且在-∞,0對于D，函數(shù)y=x2是冪函數(shù)且在-∞,0故選：CD.變式4．（多選）（2425高一上·江西上饒·開學(xué)考試）下列有關(guān)冪函數(shù)y=xα（αA．當α=2k,k∈NB．當α=2k+1,k∈NC．冪函數(shù)y=xα（D．冪函數(shù)y=xα（【答案】ABC【分析】由冪函數(shù)的奇偶性即可判斷選項AB；根據(jù)1α=1，即可判斷選項C；利用y【詳解】對于A，當α=2k,k∈N對于B，當α=2k+1,k∈N時，此時冪函數(shù)y對于C，當x=1時，xα=1，故冪函數(shù)y=xα（對于D，當α=-1時，冪函數(shù)y=xα（α為常數(shù)）的定義域不包含0故選：ABC變式5．（2324高一下·全國·課后作業(yè)）判一判：判斷下列函數(shù)是否為冪函數(shù).(1)y=(2)y=(3)y=(4)y=(5)y=2(6)y=【答案】(1)不是冪函數(shù)；(2)不是冪函數(shù)；(3)冪函數(shù)(4)不是冪函數(shù)；(5)不是冪函數(shù)；(6)冪函數(shù)【分析】形如y=xa(a∈R)的函數(shù)叫冪函數(shù)，由冪函數(shù)的定義可知（1）（2）（4）（5【詳解】（1）y=axm，當（2）y=（3）y=（4）y=(x（5）y=2x2（6）y=1【方法技巧與總結(jié)】判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)1.系數(shù)為1;2.指數(shù)為常數(shù);3.后面不加任何項.反之,若一個函數(shù)為冪函數(shù),則該函數(shù)必具有這種形式.【題型2：求冪函數(shù)的解析式】例2．（2324高一上·江蘇南通·期中）已知冪函數(shù)fx為偶函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，則fx的解析式可以為.(【答案】fx=x-2【分析】根據(jù)常見冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為冪函數(shù)fx=xα在0,+∞上單調(diào)遞減，所以又因為fx=所以α=-2故答案為:fx=x-2變式1．（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）如果一個冪函數(shù)在(0,+∞)上是嚴格減函數(shù)，且圖像關(guān)于y軸對稱，寫出符合條件的冪函數(shù)的一個表達式：．【答案】y=【分析】由冪函數(shù)的定義以及圖象與性質(zhì)即可直接得到答案.【詳解】冪函數(shù)y=x-2在(0,+∞)故答案為：y=x變式2．（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點27,13，則函數(shù)的表達式為【答案】y【分析】設(shè)出冪函數(shù)，然后將27,13【詳解】設(shè)y=xk則13所以y=故答案為：y變式3．（2425高一上·上海·隨堂練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點12,4，則該函數(shù)的圖象關(guān)于．（填“原點中心對稱”或“y軸成軸對稱【答案】y軸成軸對稱【分析】利用待定系數(shù)法求出解析式，通過判斷圖象上任意一點關(guān)于y軸的對稱點坐標，是否在滿足解析式可得.【詳解】設(shè)y=xα，依題意可得12α設(shè)x0,y0為函數(shù)圖像上任意一點，易知其關(guān)于y軸的對稱點所以其圖像關(guān)于y軸成軸對稱．故答案為：y軸成軸對稱變式4．（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點4,2，當x=18時，y【答案】24/【分析】設(shè)y=xa，根據(jù)函數(shù)過點4,2代入求出【詳解】設(shè)y=xa，則4a=2，即22∴當x=18故答案為：2變式5．（2425高一上·上?！ふn前預(yù)習(xí)）若冪函數(shù)的圖象過點2,4，則表達式為．【答案】y【分析】根據(jù)待定系數(shù)法即可求解.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為y=將2,4代入可得4=2α，解得α=2故答案為：y變式6．（2324高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）冪函數(shù)y=xα的圖像經(jīng)過點(【答案】y【分析】將(43【詳解】將(43,3)代入y=x故答案為：y變式7．（2223高一上·廣東·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)f(x)=((1)求函數(shù)f((2)若f(2m+1)=f【答案】(1)f((2)-1或-1【分析】（1）利用冪函數(shù)的定義，結(jié)合性質(zhì)求出a即可得解.（2）根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)的性質(zhì)計算即得.【詳解】（1）由f(x)為冪函數(shù)，得a2-3而f(x)所以f(x)（2）由f(x)=x2為偶函數(shù)且f(2m所以m=-1或m【方法技巧與總結(jié)】冪函數(shù)的解析式是一個冪的形式，且需滿足:1.指數(shù)為常數(shù);2.底數(shù)為自變量;3.系數(shù)為1.【題型3：冪函數(shù)求值】例3．（2324高一上·福建福州·期中）已知函數(shù)fx=x12A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【分析】利用分段函數(shù)的概念計算即可.【詳解】由題意知f2故選：D變式1．（2425高一上·全國·隨堂練習(xí)）已知冪函數(shù)y=fx的圖象經(jīng)過點4,14A．12 B．2 C．22 D【答案】A【分析】運用待定系數(shù)法求冪函數(shù)解析式，再代入求值即可.【詳解】冪函數(shù)y=fx設(shè)冪函數(shù)y=xα，將點代入解析式得到4α=故f(x)=x故選：A.變式2．（2324高一上·浙江溫州·期中）已知定義在R上的冪函數(shù)fx，則f0-A．0 B．-1 C．1 D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)常見冪函數(shù)的圖象特點求解即可.【詳解】由題意函數(shù)fx過點0,0，1,1所以f0故選：B.變式3．（2324高一上·安徽淮北·期中）已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點3,19【答案】1【分析】設(shè)冪函數(shù)為f(x)=xα,【詳解】設(shè)冪函數(shù)為f(因為冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點3,19，可得1所以f(-3)=故答案為：19變式4．（2223高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(【答案】-14【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解【詳解】因為函數(shù)f(x)所以f故答案為：-變式5．（2324高一上·北京·期末）已知函數(shù)fx是冪函數(shù)，若f4f2=2【答案】2【分析】設(shè)fx=x【詳解】設(shè)fx=xα，α則f4故答案為：2．變式6．（2324高一上·天津·期末）已知函數(shù)fx=m2+m【答案】4【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)及函數(shù)為偶函數(shù)，求出m=1，從而代入求值即可【詳解】由題意得m2+m-1=1，解得當m=-2時，f當m=1時，f故f2故答案為：4變式7．（2425高一上·上海·隨堂練習(xí)）若冪函數(shù)y=fx滿足f(4)f(2)=3【答案】1【分析】設(shè)出解析式，根據(jù)條件列方程，然后通過整體代換可得.【詳解】設(shè)fx=x所以f1故答案為：1變式8．（2425高一上·上海·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)圖象過點2,2，當x=16時，y=【答案】4【分析】根據(jù)冪函數(shù)設(shè)解析式，再代入點求出解析式，最后代入x求出函數(shù)值即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)解析式為y=代入點2,2可得2所以冪函數(shù)為y=當x=16，所以y故答案為：4.【題型4：冪函數(shù)過定點】例4．（2223高一上·云南西雙版納·期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象一定過原點B．α=1,3,12C．冪函數(shù)的圖象會出現(xiàn)在第四象限D(zhuǎn)．y=2【答案】B【分析】利用冪函數(shù)的簡單性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：冪函數(shù)圖象不一定過原點，例如y=x-1當α=1,3,12時，冪函數(shù)y=x，y由函數(shù)的定義及冪函數(shù)在第一象限均有圖象可知，冪函數(shù)的圖象不會出現(xiàn)在第四象限，故C不正確；函數(shù)y=2x2是二次函數(shù)，但是不是冪函數(shù)，冪函數(shù)得形如y=故選：B.變式1．（2021高一上·上海嘉定·期中）下列結(jié)論中正確的個數(shù)有（

）（1）冪函數(shù)的圖像一定過原點；（2）當a＜0時，冪函數(shù)（3）當a＞0時，冪函數(shù)（4）函數(shù)y=2xA．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念，及圖象與性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】對于冪函數(shù)y=x-1所以（1）、（2）都不正確；對于冪函數(shù)y=x2，在-∞,0由冪函數(shù)概念，冪函數(shù)y=xα(α∈故選：A.變式2．（2425高一·上海·課堂例題）下列冪函數(shù)中，其圖象關(guān)于y軸對稱且過點0,0、1,1的是（

）A．y=x12 B．y=x【答案】B【分析】由各冪函數(shù)的性質(zhì)判斷各項是否符合要求即可．【詳解】A項，函數(shù)圖象在第一象限，故不關(guān)于y軸對稱，故不符合；B項，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，且過(0,0),(1,1)，符合；C項，指數(shù)小于0，故其圖象不過點0,0，故不符合；D項，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故不符合；故選：B變式3．（2324高一上·天津濱海新·期中）已知函數(shù)y=xα，?α<0的圖象恒過定點A，若點A在一次函數(shù)y=mx+nA．1 B．2 C．2 D．4【答案】D【分析】求出定點A的坐標，并求出m,n的關(guān)系，再利用基本不等式“1”【詳解】依題意，A(1,1)，則m+n當且僅當m=所以當m=n=1故選：D變式4．（2223高一下·山西朔州·階段練習(xí)）冪函數(shù)y=xα（αA．0,0 B．1,1 C．-1,1 D．1,-1【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可確定答案.【詳解】由題意可知當x=1時，y=1，此時函數(shù)值與故冪函數(shù)y=xα（α故選：B變式5．（多選）（2324高一上·山東青島·期中）下列關(guān)于冪函數(shù)y=xaA．當a=-1時，函數(shù)在其定義域上為減函數(shù) B．當aC．當a=2時，函數(shù)是偶函數(shù) D．當a=3時，函數(shù)與【答案】AB【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)、定義判斷各項的正誤.【詳解】A：由y=x-1B：根據(jù)冪函數(shù)定義y=C：由y=x2，顯然(-D：由y=x3單調(diào)遞增，僅當x=0時y故選：AB變式6．（多選）（2324高一上·貴州六盤水·期末）已知函數(shù)fx=xα（A．函數(shù)fx的圖象恒過定點1,1 B．當α=-1時，函數(shù)C．當α=3時，函數(shù)fx是奇函數(shù) D．當α=1【答案】AC【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】f1=1當α=-1時，fx=1x當α=3時，fx=x3所以函數(shù)fx是奇函數(shù)，C當α=12時，fx=x故選：AC變式7．（2223高一上·上海徐匯·期末）當α∈R時，函數(shù)y=xα-2的圖象恒過定點A，則點【答案】1,-1【分析】根據(jù)冪函數(shù)恒過定點1,1即可求解.【詳解】由于對任意的α∈R，y=xα恒經(jīng)過點1,1，所以函數(shù)故答案為：1,-1變式8．（2122高一上·上海徐匯·階段練習(xí)）已知f(x)=(2x-1)n【答案】(1,2)【分析】令2x-1=1【詳解】令2x-1=1，得故函數(shù)f(x)故答案為：(1,2)【方法技巧與總結(jié)】冪函數(shù)的定點:1）x>0時過定點(1，1)2)x=0時過定點(0,0)3)x<0時過定點(1，1)【題型5：冪函數(shù)的定義域】例5．（多選）（2324高一上·甘肅慶陽·期中）已知冪函數(shù)f(x)=A．f(-32)=116 B．C．fx是奇函數(shù) D．不等式fx【答案】AD【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義得到m=-45，再代入計算即可判斷A；根據(jù)指數(shù)即可得到其定義域，即可判斷B；根據(jù)函數(shù)奇偶性的判斷方法即可判斷【詳解】對A，由題知，m+95=1，得m=-對B，函數(shù)f(x)的定義域是{對C，因為f(-x)=對D，當x∈(0,+∞)時，f(x)單調(diào)遞減，所以|x即不等式的解集為[-1,1)∪(1,3]，故D正確．故選：AD.變式1．（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）在函數(shù)①y=x75；②y=x56；③y=x47；④y=【答案】3【分析】根據(jù)n次方根，分數(shù)指數(shù)冪的意義來求解函數(shù)的定義域，利用非負數(shù)存在偶次方根，任意的實數(shù)存在奇次方根來求解函數(shù)的定義域．【詳解】解：①y=x7②y=x5③y=x4④y=x-⑤y=x-⑥y=x2故定義域為R的有①③⑥，共3個，故答案為：3．變式2．（2223高一上·全國·期中）已知函數(shù)fx的定義域是-1,3，則函數(shù)gx=f【答案】0,2【分析】利用給定的變量范圍求解抽象函數(shù)定義域即可.【詳解】因為函數(shù)fx的定義域是-1,3所以-1≤2x-1≤3，解得0≤x≤2，所以函數(shù)要使gx=f2x所以gx=f故答案為：0,2變式3．（2324高一·上海·課堂例題）若冪函數(shù)y=x-m2+2m【答案】0或1或2【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，-m2【詳解】若冪函數(shù)y=x-則-m2+2m+3>0所以m=0,1,2變式4．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)y=xm(1)求此冪函數(shù)的表達式和定義域；(2)若當x1=a+2，x2【答案】(1)y=x(2)(【分析】（1）由題意，代入點4,1（2）根據(jù)冪函數(shù)在0,+∞上的單調(diào)性列出不等式組，求解即得.【詳解】（1）由冪函數(shù)y=xm經(jīng)過點4,18可得，4m=由x3>0可得x>0，所以函數(shù)y（2）由（1）可知，冪函數(shù)y=x-由y1<y2，得即實數(shù)a的取值范圍為(1變式5．（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象可能滿足下列條件：①函數(shù)圖象過點3,1②函數(shù)圖象過點-2,4；③函數(shù)的定義域為-∞,0∪任選其中兩個條件滿足函數(shù)，同時求出x=4【答案】選①③，14【分析】利用待定系數(shù)法求出解析式，根據(jù)所選條件判斷是否滿足題意，然后可得函數(shù)值.【詳解】設(shè)fx選①②：由題可得3a=1選①③：由函數(shù)圖象過點3,13可得3a=1易知，函數(shù)fx=x所以x=4時，y選②③：由函數(shù)圖象過點-2,4可得-2a=4，解得a=2因為fx=x綜上，應(yīng)選①③，此時fx=x-1，當變式6．（2425高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）求函數(shù)y=x【答案】0,2【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域求解即可.【詳解】由題意，x≠0x-2≠0即函數(shù)y=x變式7．（2324高一下·上海寶山·期末）已知冪函數(shù)y=fx(1)求此冪函數(shù)的表達式和定義域；(2)若fa+1≤【答案】(1)fx=(2)1≤【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)定義借助待定系數(shù)法計算即可得其解析式，計算即可得其定義域；（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與定義域要求計算即可得.【詳解】（1）設(shè)fx=xm，則有故fx=x-1（2）由fx=x-1故有a+1>04-2a>0a【方法技巧與總結(jié)】定義域的三種類型及求法：已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解；對實際問題：由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解；(3)若已知函數(shù)fx的定義域為a,b，則函數(shù)fg【題型6：冪函數(shù)的值域與最值】例6．（2324高一下·遼寧·階段練習(xí)）函數(shù)y=x23【答案】0,1【分析】結(jié)合函數(shù)解析式并利用冪函數(shù)單調(diào)性可求得其值域為0,1.【詳解】由冪函數(shù)性質(zhì)可知y=x2又易知y=所以當-1≤x≤0時，可知y=可得0≤y故答案為：0,1變式1．（2324高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）函數(shù)y=x?【答案】14【分析】求出定義域，令t=x【詳解】x≥01-4x≥0，解得0≤y=令t=x-4xt=x-4x2，在則x=18，t故答案為：14變式2．（2324高一下·山東淄博·期中）函數(shù)fx=2x-1x+1圖象的對稱中心坐標是【答案】-1,2-1,2【分析】將函數(shù)解析式變形為fx=2+-3x+1【詳解】因為fx將奇函數(shù)y=-3x圖象向左平移1個單位，再向上平移2所以fx圖象的對稱中心為-1,2fx=2x2則-3≤-3x2故答案為：-1,2；-1,2變式3．（2324高一上·全國·課后作業(yè)）已知a∈-1,1,2,3，則使函數(shù)y=xa的值域為R【答案】1，3【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)分析可得.【詳解】當a=-1時，y=x當a=1時，y=x當a=2時，y=x當a=3時，y=x3故答案為：1，3變式4．（1920高一上·浙江·期中）函數(shù)fx=2x-x2的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】1,20,1【分析】首先求出定義域x0≤x【詳解】函數(shù)fx=2x-令u(x)=2x-x2，對稱軸為x=1，開口向下，所以u(x)由u(x)=2x-x2所以fx故答案為1,2；0,1

【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與值域，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”，注意在求單調(diào)區(qū)間時先求定義域.變式5．（2122高一上·山東濟南·期中）若函數(shù)fx=ax2021+bx2021+3在0,+∞【答案】1【分析】構(gòu)造奇函數(shù)gx=【詳解】設(shè)gx=f又g-x=記fxmin為fx在0,+∞上的最小值，fxmax又gx在0,+∞上的最小值為fxmin-3=5-3=2，gx所以fxmin-3+故答案為：1.【方法技巧與總結(jié)】①配方法:若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采用配方法求函數(shù)值域，其關(guān)鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域;②)換元法:常用代數(shù)或三角代換法，用換元法求值域時需認真分析換元參數(shù)的范圍變化;③不等式法:借助于基本不等式求函數(shù)的值域，用不等式法求值域時，要注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”;④單調(diào)性法:首先確定函數(shù)的定義域，然后準確地找出其單調(diào)區(qū)間，最后再根據(jù)其單調(diào)性求出函數(shù)的最值;⑤圖象法:畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象的最高和最低點求最值【題型7：冪函數(shù)圖像的應(yīng)用】例7．（2324高一上·山東濟南·期末）已知函數(shù)fx=x-2,A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】結(jié)合冪函數(shù)知識，畫出y=fx的圖象，將該圖象沿【詳解】結(jié)合題意可得：當x<0時，易知fx=當x≥0時，易知fx=x故函數(shù)fx=x要得到y(tǒng)=-fx，只需將y=故選：C.變式1．（2324高一上·云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x,x≥02A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】作出函數(shù)fx的圖象，利用函數(shù)圖象的對稱變換可得出函數(shù)gx【詳解】作出函數(shù)fx

因為gx=-fx，則將函數(shù)fx

故選：C.變式2．（2324高一上·廣東肇慶·開學(xué)考試）把拋物線y=3x-22+1向下平移3A．y=3x+1C．y=3x-6【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象變換的規(guī)則，準確化簡，即可求解.【詳解】將拋物線y=3x-22+1再向左平移4個單位長度，所得到的拋物線為y=3故選：B.變式3．（2022高一上·全國·專題練習(xí)）如圖所示是函數(shù)y=xmn（m、A．m，n是奇數(shù)且mn<1 B．m是偶數(shù)，nC．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且mn>1 D．m，n【答案】B【分析】根據(jù)圖象得到函數(shù)的奇偶性及0,+∞上單調(diào)遞增，結(jié)合m、n∈N【詳解】由圖象可看出y=xm故mn∈0,1且m為偶數(shù)，又m、n∈故選：B變式4．（多選）（2324高一上·貴州·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2A．fx在定義域單調(diào)遞減 B．fxC．fx的圖象關(guān)于1,2對稱 D．fx可以由函數(shù)【答案】CD【分析】化簡fx的解析式，然后根據(jù)函數(shù)的定義域、單調(diào)性、值域、對稱性、三角函數(shù)圖象變換等知識對選項進行分析，從而確定正確答案【詳解】fx所以fx的定義域是x減區(qū)間是-∞,1,1,+∞，在定義域上不具有單調(diào)性，Afx的值域為y|y≠2fx=2+3所以fx關(guān)于1,2對稱，C選項正確y=3x向右平移一個單位，得到y(tǒng)=3所以D選項正確.故選：CD變式5．（2425高一上·上?！ふn堂例題）函數(shù)y=(x-1)-13-1的圖象可由函數(shù)y=x-【答案】右1下1【分析】根據(jù)解析式的形式，由“左加右減，上加下減”.找出圖像變換規(guī)則即可.【詳解】由“左加右減，上加下減”,函數(shù)y=(x-1)-13-1故答案為：右；1；下；1變式6．（2223高二下·陜西西安·期中）直線y=2與函數(shù)y=x2【答案】4【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象變換，作圖，可得答案.【詳解】令x2-6x>0，xx將x=3代入y=x

由圖可知，直線y=2與函數(shù)y=x故答案為：4.變式7．（2223高一上·上海浦東新·期末）為了得到函數(shù)y=1x-1的圖象，可以把函數(shù)y=【答案】1【分析】利用函數(shù)圖象的平移規(guī)律進行求解即可【詳解】為了得到函數(shù)y=1x-1的圖象，根據(jù)平移規(guī)律，可以把函數(shù)故答案為：1變式8.（2425高一上·上?！ふn堂例題）在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)y=x-1【答案】答案見解析【分析】y=x-1=1x找出圖像變換規(guī)則即可?！驹斀狻縴=x-1=1x，而y=x+2解：作圖如下：【方法技巧與總結(jié)】解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個原則（1）依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：=1\*GB3①在(0,1]上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；=2\*GB3②在[1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠離x軸(簡記為指大圖高)．依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y＝x－1或y=x12或y＝x【題型8：冪函數(shù)解不等式】例8．（2223高三上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=53x35，若當A．0,+∞ B．-∞,2 C．3,+∞ D．-∞,1【答案】C【分析】由題知，f(x)=53x35【詳解】解：由題意，f(因為f(-x)=由冪函數(shù)的性質(zhì)得f(x)=所以，f(x)=因為f(x)+所以f(x)>所以x>23-所以a>-x2所以，只需a>-所以實數(shù)a的取值范圍是3,+∞.故選：C變式1．（2324高一上·海南省直轄縣級單位·期中）（1）已知f1+x+2f（2）冪函數(shù)gx=m2-2m-2x【答案】（1）3+2（2）x≤0【分析】（1）以-x代x得f1-x+2f1+x=6+【詳解】（1）因為f1+x以-x代xf1-②×2①得，3f即f1+令x=2-1（2）∵冪函數(shù)g在0,+∞上單調(diào)遞增，∴∴m=3，故∴gx是偶函數(shù)，且在0,+∞由g2x-1∴2x-1≥1，即即x的取值范圍為x≤0或x變式2．（2022高一·全國·專題練習(xí)）已知冪函數(shù)y=xm2-2m-3m∈N【答案】-∞,【分析】根據(jù)冪函數(shù)y＝xα的圖象關(guān)于y軸對稱，求出m的值．再根據(jù)冪函數(shù)y＝x【詳解】由題意，∵函數(shù)在0,+∞上遞減，∴m2-2m-3<0∴m＝1或又函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，∴m2-2m∴函數(shù)y=x1∴a+1m3∴a<故a的取值范圍為-∞,2變式3．（2223高一上·山東·期中）已知冪函數(shù)y=xm2-2(1)求m的值；(2)解關(guān)于a的不等式a+1【答案】(1)1(2){a|【分析】(1)結(jié)合冪函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性即可求解；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論對不等式化簡，并通過解一元二次不等式即可求得答案.【詳解】（1）因為冪函數(shù)y=xm所以m2-2m-3<0且m∈因為冪函數(shù)y=xm所以y=故m2-2m從而m的值為1.（2）由(1)中知，m=1，則a即(a解得a<23故不等式的解集為：{a|a變式4．（2324高一上·天津·期中）若冪函數(shù)y=xm2-2m-3(m∈N【答案】-1,【分析】先由函數(shù)單調(diào)性得m2-2m-3<0，進而求出m=1或2，接著由冪函數(shù)奇偶性得m【詳解】因為冪函數(shù)y=xm所以m2-2m又m∈N*，所以m當m=1時，冪函數(shù)為y=x當m=2時，冪函數(shù)為y=x所以m=1，不等式(a+1)因為函數(shù)y=x-1在(-∞,0)所以a+1<3-2a<0或3-2解得-1<a<2故答案為：-1,2變式5．（2324高一下·遼寧·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)fx=(1)求fx(2)解不等式fx【答案】(1)fx(2){x|x【分析】（1）利用冪函數(shù)的定義，結(jié)合圖象特征求出m即得.（2）由冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合奇偶性求解不等式.【詳解】（1）由fx是冪函數(shù)，得m2-2m-2=1由fx的圖象與坐標軸無交點，得5-m2所以fx的解析式是f（2）顯然函數(shù)fx=x不等式fx因此0<x+1<x-2所以原不等式的解集為{x|x變式6．（2324高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)f(x)=(1)求m和k的值；(2)求滿足(2a+1)-【答案】(1)m=1，k=-3或(2)(-∞,-【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)，列式計算，即可求得k的值；根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性求得m的值，結(jié)合奇偶性即可確定m的取值.（2）結(jié)合（1）可得(2a+1)-m【詳解】（1）由函數(shù)f(則k2+2k-2=1，解得由f(x)=得m2-2m-3<0，解得-1<m<3，而當m=1時，f(x當m=2時，f(x故m=1，k=-3或（2）結(jié)合（1）可知(2a+1)-故2a+1>3-2a>0或解得12<a<3故實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-1變式7．（2324高一上·安徽阜陽·期中）已知函數(shù)fx=2m2-(1)求實數(shù)m的值；(2)若不等式(a-1)m<【答案】(1)-(2)a【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)運算求解；（2）根據(jù)gx=【詳解】（1）因為函數(shù)fx則2m2-m=1，即2又因為函數(shù)fx關(guān)于y當m=-12當m=1時，則f綜上所述：實數(shù)m的值為-1（2）函數(shù)gx=xm=由(a-1)m<(2a所以實數(shù)a的取值范圍為a|【題型9：冪函數(shù)的奇偶性】例9．（2122高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)y=x59在A．增函數(shù)且是奇函數(shù)B．增函數(shù)且是偶函數(shù)C．減函數(shù)且是奇函數(shù)D．減函數(shù)且是偶函數(shù)【答案】A【分析】由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可.【詳解】因為y=x5因為x∈所以f-所以y=x59是奇函數(shù)，又因為59故選：A.變式1．（多選）（2324高一上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）關(guān)于冪函數(shù)fx=mA．fx的圖象經(jīng)過原點 B．fC．fx的值域為0,+∞ D．fx在區(qū)間【答案】BC【分析】由題意m-1=1，得f(【詳解】由題意，m-1=1，所以m=2對于A，f(x)=故fx的圖象不經(jīng)過原點，A對于B，因為f(x)=f(-x)=1(-對于C，由于f(x)=1x對于D，由于-2<0，故f(x)=x-2故選：BC．變式2．（多選）（2324高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知冪函數(shù)y=xα的圖象過點8,4A．函數(shù)y=xα的圖象過原點 BC．函數(shù)y=xα的值域為R D．函數(shù)y【答案】ABD【分析】首先求出冪函數(shù)解析式，再根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)及奇偶性一一判斷即可.【詳解】由冪函數(shù)y=xα則4=8α，即22則冪函數(shù)y=x2又3x2≥0，則函數(shù)y=3當x=0時，y=0，則函數(shù)y=由fx=3x2，則f因為函數(shù)y=x2由偶函數(shù)的的對稱性可得函數(shù)y=x23在-∞,0故選：ABD.變式3．（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3，若冪函數(shù)y=【答案】-1【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)可知α是奇數(shù)，且α<0，則答案可求【詳解】因為α∈冪函數(shù)fx=x所以α是奇數(shù)，且α<0，所以α故答案為：-1.變式4．（2324高一上·上海虹口·期末）設(shè)α∈-2,-12,23,3，若冪函數(shù)y=【答案】2【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)來解答即可.【詳解】∵α若冪函數(shù)y=xα的圖像關(guān)于y又冪函數(shù)y=xα在區(qū)間(0,+∞)故答案為：23變式5．（2324高一上·四川·階段練習(xí)）已知α∈-1,12,2,3.若冪函數(shù)fx【答案】3【分析】根據(jù)冪函數(shù)的奇函數(shù)性質(zhì)和單調(diào)性的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為α∈所以當冪函數(shù)fx=xα為奇函數(shù)時，而冪函數(shù)fx=xα又在故答案為：3變式6．（2324高一上·上海浦東新·期中）已知冪函數(shù)fx=x-m2+2m+3【答案】1【分析】根據(jù)題意，利用冪函數(shù)的性質(zhì)，求得m∈0,1,2，再結(jié)合y=fx的圖象關(guān)于【詳解】由冪函數(shù)fx=x可得-m2+2解得-1<m<3且m∈Z當m=0時，可得fx=當m=1時，可得fx=x4當m=2時，可得fx=綜上可得，實數(shù)m的值為1.變式7．（2023高一·上?！ｎ}練習(xí)）已知冪函數(shù)fx=a2-a【答案】1【分析】由函數(shù)fx是冪函數(shù)，則a2-a【詳解】由冪函數(shù)的定義可知，a2-a+1=1，即a2則fx=x若fx=x又f-x=若fx=x又f-x=-x所以實數(shù)a的值為1.【題型10：冪函數(shù)恒成立與存在成立問題】例10．（2122高一上·陜西西安·期中）已知函數(shù)f(x)=x3，若f(mx-2)+f【答案】-2<【分析】根據(jù)題意，結(jié)合奇函數(shù)的圖象性質(zhì)，以及不等式恒成立問題，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，易知函數(shù)f(x)=x3為因為f(mx-2)+所以f(mx-2)<-f(即(m+1)x-2<0令g(x)=(m+1)則{g(-2)=-2m故答案為：-2<m變式1．（2021高一上·上海黃浦·期末）已知a∈{-2,-1,13,23,43,2},當x∈(1，0)∪【答案】-2,【解析】直接利用冪函數(shù)的性質(zhì)和分類討論的應(yīng)用求得結(jié)果.【詳解】令fx=xa，由fx>x可知，冪函數(shù)fx的圖象在由于x∈0,1，所以fx=xa>x整理得1>x1-a，所以1-故答案為：-2,變式2．（2223高一上·福建龍巖·期末）已知冪函數(shù)f(x)=(1)若g(2)=5，求k(2)已知k≤2，若關(guān)于x的不等式g(x)-1【答案】(1)k(2)1-【分析】（1）先利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)求出f(x)，再利用g（2）將問題轉(zhuǎn)化為x2+kxmin>12k【詳解】（1）對于冪函數(shù)f(x)=解得m=32又當m=32∴m∴f∴g∴g解得k=2（2）關(guān)于x的不等式g(x)-即x2+k即x2先證明hx=x任取x1則hx∵x∴x1-x2∴x∴hx1故hx=x∴h∴1+k>1解得1-3變式3．（2223高一上·遼寧遼陽·期末）已知冪函數(shù)fx(1)求fx(2)若正數(shù)m,n滿足3m+12n【答案】(1)f(2)5【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)定義可構(gòu)造方程求得a的值，結(jié)合奇偶性可得結(jié)果；（2）由9m+1n【詳解】（1）∵fx為冪函數(shù)，∴a2+當a=2時，fx=x2當a=-3時，fx=x-3綜上所述：fx（2）由（1）得：3m+12n=-5a=15，即∴9m+1n=15m∴b變式4．（1920高一上·河南平頂山·期末）已知冪函數(shù)f(x)=x（Ⅰ）求函數(shù)f(（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+2λx【答案】（Ⅰ）f(x)=x【解析】（I）根據(jù)冪函數(shù)的奇偶性和在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性，求得m的值，進而求得fx的解析式（II）先求得gx的解析式，由不等式g(x)<0分離常數(shù)λ得到λ<12x【詳解】（Ⅰ）∵冪函數(shù)f(x)=∴-3m+5>0，且-3又m∈N，解得∴f（Ⅱ）由（Ⅰ）可知g(當x∈[1,2]時，由g(x易知函數(shù)y=12x∴λ∴實數(shù)λ的取值范圍是-∞,-3【點睛】本小題主要考查冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，考查不等式在給定區(qū)間上恒成立問題的求解策略，屬于中檔題.一、單選題1．（2324高一上·安徽·期末）已知冪函數(shù)f(x)=(m+2)xnA．-3 B．-52 C．-2 D【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求解即可》【詳解】依題意可得m+2=1所以m=-1又f(x)=所以4n解得n=所以m-故選：D.2．（2324高一上·北京·期中）下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)的是（

）A．y=3x+2C．y=x2【答案】D【分析】利用函數(shù)解析式直接判斷各選項中的函數(shù)單調(diào)性即得.【詳解】函數(shù)y=3x+2、y=x函數(shù)y=x2-1在函數(shù)y=2x在(0,+∞)上單調(diào)遞減，故選：D3．（2324高一上·湖北孝感·階段練習(xí)）函數(shù)y=k2-2kA．k=4 B．k=-2 C．k=4或k=-2 D【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義列方程求解即可.【詳解】由冪函數(shù)的定義知k2即k2-2k-8=0，解得故選：C4．（2324高一上·廣東湛江·期中）已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點2,2，則A．3 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】先根據(jù)已知條件求出f(x)【詳解】設(shè)f(x)=xa∴f(x故選：D5．（2324高一上·四川廣安·期末）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點P(16,4)，則該冪函數(shù)的大致圖象是（

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】待定系數(shù)法求出解析式，從而選出答案.【詳解】設(shè)冪函數(shù)解析式為y=xα，將P即42α=4，故2所以y=x12故選：C6．（2324高一上·天津·期中）函數(shù)y=A．52,+∞ B．-∞,1 C．4,+∞ D【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】x2-5x+4≥0，即(x令t=x2-5x∴t=x2-5又y=∴y=x2-5x故選：B.7．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)fx=x4-m?（m∈N+A．1 B．2C．1或3 D．3【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性求解即可.【詳解】因為冪函數(shù)fx=x4-m?（所以4-m>0且m∈當m=1時，冪函數(shù)f當m=2時，冪函數(shù)f當m=3時，冪函數(shù)fx=x為奇函數(shù)，符合題意，綜上m故選：C8．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知圖甲是函數(shù)f(x)的圖象，圖乙是由圖甲變換所得，則圖乙中的圖象對應(yīng)的函數(shù)可能是（

A．y=f(|C．y=f(-|【答案】A【分析】由圖可知，甲、乙y軸右側(cè)部分的圖象一致，再將乙圖右側(cè)的圖象沿y翻折即可得到圖乙的圖象，據(jù)此可得到答案.【詳解】設(shè)圖乙對應(yīng)的函數(shù)為g(由圖可知當x≥0時，g當x<0時，g所以g(故選：A.二、多選題9．（2324高一上·云南昆明·期末）若函數(shù)f(x)同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f(x)+f(-x)=0；②對于定義域上的任意x1,x2，當x1A．f(x)=-x B．f(x【答案】AC【分析】根據(jù)①②得到fx為奇函數(shù)且在定義域上單調(diào)遞減，從而對四個選項一一作出判斷【詳解】由①得fx為奇函數(shù)，由②得f對于A，f(x)=-對于B，f(-x)=-x對于C，f(x)=-對于D，f(-x)=1+x≠-f故選：AC10．（2324高一上·四川德陽·期末）若四個冪函數(shù)y=xa,yA．a(chǎn)>b>1 B．a(chǎn)>1>b C【答案】BC【分析】利用冪函數(shù)在第一象限內(nèi)，x=1的右側(cè)部分的圖象的特點，確定出a,【詳解】由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，在x=1可得a>