第02講空間向量基本定理（秋季講義）（人教A版2019選擇性）

第02講空間向量基本定理【人教A版2019】模塊一模塊一空間向量基本定理1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步驟:(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間的一個(gè)基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．3．空間向量的正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪保议L(zhǎng)度都是1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對(duì)空間任一向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．【題型1用空間基底表示向量】【例1.1】（2324高一下·安徽·階段練習(xí)）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC,△ABC重心為點(diǎn)G，棱B1C1A．?13aC．16a?【解題思路】由空間向量基本定理求解即可.【解答過(guò)程】取BC中點(diǎn)N，連接MN，AN，由底面為正三角形，知AN過(guò)點(diǎn)G，且GN=于是MG=故選：D.【例1.2】（2324高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱ABC?A1B1C1中，E,F分別是BC,CCA．13AB?C．?23AB【解題思路】根據(jù)條件，利用空間向量的線性運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【解答過(guò)程】如圖，因?yàn)镋,F分別是BC,CC1的中點(diǎn)，AG=2所以FG=得到FG=故選：A.【變式1.1】（2324高二上·陜西寶雞·期末）如圖，在四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M、N分別在線段OA、BC上，且2OM=MA，A．?13aC．13a?【解題思路】由空間向量基本定理結(jié)合線段比例關(guān)系分解向量即可.【解答過(guò)程】由題意MN=?1故選：A.【變式1.2】（2324高三上·山東臨沂·期末）正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是棱CC1的中點(diǎn)．記AB1=a，A．14a+C．14a+【解題思路】根據(jù)幾何體的特征，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可求解.【解答過(guò)程】AC=AB+AD，三個(gè)式子相加得AC+AM=1

故選：A.【題型2由空間向量基本定理求參數(shù)】【例2.1】（2324高二上·河南南陽(yáng)·期末）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1A．1 B．43 C．32 【解題思路】由空間向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理求解即可.【解答過(guò)程】由題意知：CD=C又CD=x所以x=13,故選：B.【例2.2】（2324高二下·甘肅蘭州·期末）已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M,N滿足PM=12PC，PN=23A．?1 B．1 C．?12 【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量基本定理結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【解答過(guò)程】

因?yàn)镻M=12所以MN=2因?yàn)镸N=xAB+yAD+zAP，所以所以x+y+z=?1故選：C.【變式2.1】（2324高二上·廣東江門(mén)·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐O?ABC中，點(diǎn)G為底面△ABC的重心，點(diǎn)M是線段OG上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的平面分別交棱OA，OB，OC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若OD=kOA，OE=mOB，OF=nA．133 B．23 C．32【解題思路】由空間向量基本定理，用OA，OB，OC表示OM，由D，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，可得存在實(shí)數(shù)λ,μ，使【解答過(guò)程】由題意可知，OM=因?yàn)镈，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)λ,μ，使DM=λ所以O(shè)M?所以O(shè)M=(1?λ?μ)所以(1?λ?μ)k=2所以1k故選：D.【變式2.2】（2324高二下·江蘇南通·期末）已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，M是BC的中點(diǎn)，若AM=xPA+yA．x+y+z=0 B．x+y+z=1C．x?y?z=1 D．x?y?z=?1【解題思路】推導(dǎo)出AM=12AB+AC，利用空間向量的減法結(jié)合空間向量的基本定理可得出【解答過(guò)程】如下圖所示：因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，則AM=所以，AM=又因?yàn)锳M=xPA+yPB+zPC，且PA、PB、故x+y+z=0，x?y?z=?2，故選：A.【題型3正交分解】【例3.1】（2324高二上·河北·期中）已知BD⊥平面ABC，AB⊥BC，BD=1，AB=2，BC=3，則空間的一個(gè)單位正交基底可以為（

）A．13BC,C．BC,BD,【解題思路】先得到AB,BC,BD兩兩垂直，再根據(jù)其長(zhǎng)度得到空間的一個(gè)單位正交基底.【解答過(guò)程】因?yàn)锽D⊥平面ABC，AB,BC?平面ABC，所以BD⊥AB，BD⊥BC．因?yàn)锳B⊥BC,即AB,BC,BD兩兩垂直，又BD=1，AB=2，BC=3，所以空間的一個(gè)單位正交基底可以為13故選：B.【例3.2】（2324高二上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）已知a,b,c是空間的一個(gè)單位正交基底，向量p=a+2b+3A．32,?12,3 B．?3【解題思路】設(shè)p=xa+b【解答過(guò)程】解：設(shè)p=x=x+y所以x+y=1x?y=2z=3，解得所以向量p在基底a+b,故選：A.【變式3.1】（2324高二上·江西撫州·期末）已知a,b,c是空間的一個(gè)基底，a+b,a?b,c是空間的另一個(gè)基底，一向量A．4,0,3 B．3,1,3 C．1,2,3 D．2,1,3【解題思路】利用空間向量基本定理求解即可.【解答過(guò)程】設(shè)向量p在基底a+b,a?又向量p在基底a,b,c下的坐標(biāo)為所以4a+2b所以x+y=4,x?y=2,z=3,所以向量p在基底a+b,故選：B.【變式3.2】（2324高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知a,b,c是空間的一組單位正交基底，若向量p在基底a,b,c下用有序?qū)崝?shù)組表示為A．34623,C．31414,【解題思路】求出與向量p同向的單位向量m的有序?qū)崝?shù)組，設(shè)與向量p同向的單位向量m在基底a,b+c,b?c下有序?qū)崝?shù)組表示為【解答過(guò)程】因?yàn)橄蛄縫在基底a,b,所以與向量p同向的單位向量m的有序?qū)崝?shù)組表示為19+4+1設(shè)與向量p同向的單位向量m在基底a,b+所以m=x又因?yàn)閙=所以x=31414則與向量p同向的單位向量m在基底a,b+故選：C.模塊二模塊二用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題1．證明平行、共線、共面問(wèn)題(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.2．求夾角、證明垂直問(wèn)題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.3．求距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．4．利用空間向量基本定理解決幾何問(wèn)題的思路:(1)平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問(wèn)題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問(wèn)題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長(zhǎng)度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用向量的數(shù)量積可以求得．【注】用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)用已知向量來(lái)表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.【題型4證明平行、共線、共面問(wèn)題】【例4.1】（2324高二上·上?！ふn后作業(yè)）四棱柱ABCD?A′B′C′D′的六個(gè)面都是平行四邊形，點(diǎn)M在對(duì)角線A′(1)設(shè)向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、(2)求證：M、N、D′【解題思路】（1）借助空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可得；（2）借助向量共線定理證明MN//【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锳′M=所以D′又因?yàn)锳′N(xiāo)=所以D=1（2）因?yàn)镸N=14BC所以MN=14MD′，即【例4.2】（2324高二上·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）已知a,b,c是空間的一個(gè)基底，且OA=3(1)求證：A，B，C，D四點(diǎn)共面；(2)OA,OB,【解題思路】（1）確定AB=?a+b+2c，（2）計(jì)算得到OA=【解答過(guò)程】（1）AB=AC=AD=設(shè)AD=λAB故?1=?λ?4μ?2=λ?μ?1=2λ+3μ，解得λ=?7故A，B，C，D四點(diǎn)共面.（2）假設(shè)OA=mOB+n故3=2m+2n3=4m+n0=2m?n，解得m=1故OA,【變式4.1】（2324高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）在正四棱錐P?ABCD中，點(diǎn)M,N,S分別是棱PA,PB,PC上的點(diǎn)，且PM=xPA,(1)若x=1,y=12，且PD//平面MNS(2)若x=23,y=12，且點(diǎn)D∈【解題思路】（1）由PD//平面MNS利用共面定理可得PD=λMN+μMS（3）由點(diǎn)D∈平面MNS，可知D、M、N、S四點(diǎn)共面，再利用共面定理的推論即可求解.【解答過(guò)程】（1）∵PM=xPA,∴PM在正四棱錐P?ABCD中BD=可得PD?即PD=又PD//平面MNS∴所以存在實(shí)數(shù)λ、μ使得PD即PD=λPN?又PD=PA?∴?λ?μ=1λ2=?1（2）由（2）可知PD又PM=xPA,可得PD又點(diǎn)D∈平面MNS，即D、M、N、S四點(diǎn)共面所以32?2+1【變式4.2】（2324高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知e1,e2,e3為空間的一個(gè)基底，且OP(1)判斷P,A,B,C四點(diǎn)是否共面；(2)能否以O(shè)A,OB,【解題思路】（1）假設(shè)P,A,B,C四點(diǎn)共面，然后利用空間向量共面定理列方程求解；（2）先判斷OA,【解答過(guò)程】（1）假設(shè)P,A,B,C四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)x,y,z，使OP=xOA+y即2比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)，得到關(guān)于x,y,z的方程組x?3y+z=22x+y+z=?1?x+2y?z=3，解得x=17y=?5故P,A,B,C四點(diǎn)不共面．（2）若OA,OB,OC共面，則存在實(shí)數(shù)所以e1所以?3m+n=1m+n=2所以O(shè)A,所以O(shè)A,OB,所以e1+2所以O(shè)P=17a【題型5幾何中的求夾角、證明垂直問(wèn)題】【例5.1】（2324高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖所示，平行六面體ABCD?A1B(1)用向量AB,AD,AA(2)求cosB【解題思路】（1）借助空間向量的線性運(yùn)算與模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得；（2）結(jié)合題意，借助空間向量的線性運(yùn)算與夾角公式計(jì)算即可得.【解答過(guò)程】（1）BD則B=1+4+1+2×1×2×1所以BD（2）由空間向量的運(yùn)算法則，可得AC=因?yàn)锳B=AD=1,AA1=2所以AC=1+0+1B==1×1×cos則cosB【例5.2】（2324高二·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知在空間四邊形ABCD中，DA⊥BC，DB⊥AC，求證：DC⊥AB．【解題思路】選取基底，將已知直線垂直關(guān)系轉(zhuǎn)換為數(shù)量積為0，得到相應(yīng)的等量關(guān)系，進(jìn)而證明BA?【解答過(guò)程】如圖所示：

不妨選空間的一組基底向量為DA,由題意DA⊥BC，DB⊥AC，所以有DA?BC=同理有DB?AC=因此BA?從而B(niǎo)A⊥DC，即【變式5.1】（2324高二上·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體OABC中，M，N分別是邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在MN上，且MG=2GN，設(shè)OA=a，OB=(1)試用向量a，b，c表示向量OG；(2)求cos<【解題思路】（1）根據(jù)平面向量基底運(yùn)算即可得到結(jié)果.（2）分別求出BA,【解答過(guò)程】（1）OG===（2）由題意知，a=b=c=1則BA=OG=OG=所以cos<【變式5.2】（2324高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，

(1)求證：D，(2)當(dāng)AA1AB(3)若AB=AA1=1，且A【解題思路】（1）利用向量證明DN=（2）以AA1，AD，（3）利用基底表示出AP，然后平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解即可.【解答過(guò)程】（1）在平行六面體ABCD?A1B因?yàn)锳1所以MBDN=所以DN=MB1，即所以四邊形DMB1N（2）當(dāng)AA1AB設(shè)AA1=c，AD=b，AB=a，且c與因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以b=∵AC1=若AC1⊥即AC即a2解得a=c或所以AA1AB

（3）∵A∴AP∵AB=AA∴==1+所以|AP|=112，所以【題型6幾何中的求距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題】【例6.1】（2324高二上·山東·階段練習(xí)）如圖，空間四邊形OABC中，OA=2，OB=3，OC=4，且OA,OB,OC任意兩個(gè)之間的夾角均為60°，OM=2MA，

A．693 B．753 C．2【解題思路】利用基底法表示出MN=?【解答過(guò)程】由題意得MN=OC而OA?OB?OA?則MN==4故選：A.【例6.2】（2324高二上·吉林·階段練習(xí)）在三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，AA1=AB=AC=2A1B1=2，cos∠BAA1=cosA．1794 B．1784 C．1798【解題思路】延長(zhǎng)A1O交B1C1于點(diǎn)F，通過(guò)三角形重心的性質(zhì)得出F為B1C1的中點(diǎn)，結(jié)合已知即可得出A1【解答過(guò)程】如圖，延長(zhǎng)A1O交B1∵△A1B∴A1F為△A1B1∵三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，△∴A1F=∴A∵三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，面A1B1C1∥面ABC∴A∴△A1EO～△DEA得AE=所以AE=故選：D.【變式6.1】（2324高二上·上?！て谀┤鐖D所示，在四棱錐M?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱AM的長(zhǎng)為2，且AM和AB,AD的夾角都是60°，N是CM的中點(diǎn)，設(shè)a=AB，b=AD，c=AM，試以a，b，【解題思路】根據(jù)題中條件，由向量的線性運(yùn)算法則求出BN=?12【解答過(guò)程】因?yàn)镹是CM的中點(diǎn)，底面ABCD是正方形，所以BN=?1由題意，可得a=b=1,c=2因此BN=所以BN=62，即BN【變式6.2】（2324高二上·浙江·期中）如圖，空間四邊形OABC中，OA=OB=OC=2，∠AOC=∠BOC=π2，∠AOB=π3，點(diǎn)M,N分別在OA,BC上，且

(1)以O(shè)A,OB,(2)求MN的長(zhǎng)度.【解題思路】（1）利用空間向量運(yùn)算的幾何表示及空間向量基本定理求解；（2）利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，由MN2【解答過(guò)程】（1）∵OM=2MA,BN=CN，∴MN

（2）OA=OB=OC=2,∠AOC=∠BOC=π所以O(shè)A?所以MN===4所以MN=【題型7空間向量基本定理與其他知識(shí)綜合】【例7.1】（2324高二上·江西·階段練習(xí)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱(chēng)為“芻童”的幾何體，該幾何體是上下兩個(gè)底面平行，且均為矩形的六面體.現(xiàn)有一“芻童”ABCD?A1B1C1D1，如圖所示.AB=AA1=4，A1B1=AD=2，AA．82+5 B．18 C．8【解題思路】設(shè)∠BAA1=α，從而∠DAA1【解答過(guò)程】解：設(shè)∠BAA1=α由題意得AO=AA所以AO?=A=16cos=43當(dāng)∠BAA1=α=π6故選：C.【例7.2】（2324高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的體積為V，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在平面ACCA．V28 B．V21 C．3V28【解題思路】作出輔助線，找到兩三棱錐的公共部分，結(jié)合三角形相似知識(shí)得到邊長(zhǎng)比，從而得到體積比，求出答案.【解答過(guò)程】先找兩三棱錐的公共部分，由AE=14AC+在CC1上取點(diǎn)E，使得CE=3EC設(shè)DE∩D1C=F,AC∩BD=G則三棱錐F?CDG為三棱錐D1?ADC與三棱錐∵△CEF∽△D∴D∴點(diǎn)F到平面ABCD的距離是點(diǎn)D1到平面ABCD的距離的37，又∴V故選：A.【變式7.1】（2324高二上·江西新余·期末）已知點(diǎn)D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，正實(shí)數(shù)x，y滿足OD=3OC?xOA?yA．1+2 B．32+2 C．【解題思路】根據(jù)空間四點(diǎn)共面的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式“1”的妙用即可得解.【解答過(guò)程】因?yàn)镺D=3OC?x由空間四點(diǎn)共面的性質(zhì)可知3?x?y=1，即x+y=2，又x>0,y>0，所以2x當(dāng)且僅當(dāng)2yx=x所以2x+1故選：B.【變式7.2】（2425高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知空間向量OA、OB、OC都是單位向量，且OA⊥OB，OA⊥OC，OB與OC的夾角為60°，若P為空間任意一點(diǎn)，且OP=1【解題思路】根據(jù)空間向量基本定理設(shè)OP=mOA+nOB+sOC，由OP=1，得m2+n2【解答過(guò)程】設(shè)OP=m則OP=m又OP?OP?OP?設(shè)n2+s=a,n+s所以m2+4由題設(shè)可得a≤b≤m，故故34解得m≤217，故當(dāng)且僅當(dāng)b=?217，故OP?OC的最大值為一、單選題1．（2324高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知a,b,A．a(chǎn)+b,C．2a+b【解題思路】直接利用空間向量的基地概念判斷選項(xiàng)即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A，設(shè)a+b=x(c+對(duì)于B，設(shè)a+2b=xb+y(a?對(duì)于C，設(shè)2a+b=x(2c對(duì)于D，設(shè)a+c=xb+2故選：B.2．（2324高一下·重慶·期末）如圖，在三棱錐P?ABC中，PM=2MC,N為BC的中點(diǎn)，設(shè)AB=a,ACA．13a+C．12a?【解題思路】直接利用向量的線性運(yùn)算和中線向量的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答過(guò)程】在三棱錐P?ABC中，點(diǎn)N為棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在棱PC上，且滿足PM故AM?所以AM=點(diǎn)N為棱BC的中點(diǎn)，所以AN=故MN=故選：B．3．（2324高二下·遼寧·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中，不正確的命題是（

）A．若兩條不同直線l，m的方向向量為v1，v2B．若OA,OB,OC是空間向量的一組基底，且OD=13OA+C．若a,b,D．若空間向量a，b，c共面，則存在不全為0的實(shí)數(shù)x，y，z使x【解題思路】對(duì)于A，根據(jù)直線方向向量的定義分析判斷，對(duì)于B，由三角形重心的定義判斷，對(duì)于C，由空間向量的基底的定義分析判斷，對(duì)于D，由共面向量定理判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于A，由于兩條不同直線l，m的方向向量為v1，v2，當(dāng)l//m時(shí)，v1//v對(duì)于B，因?yàn)镺D=13所以O(shè)D?所以AD+BD+設(shè)E為BC的中點(diǎn)，所以AD=DB+所以點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)，且D為△ABC的重心，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)閍+b+所以a+對(duì)于D，由空間向量共面定理可知空間向量a，b，c共面，則存在不全為0的實(shí)數(shù)x，y，z使xa故選：C.4．（2324高二下·江蘇常州·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A'B'C'D'中，A．98+562 B．C．89+562 D．【解題思路】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合已知條件用AB,AD,【解答過(guò)程】平行六面體ABCD?A′B因?yàn)锳B=5，AD=3，AA′=7所以A==25+9+49+2×5×3×=98+562所以AC′=98+562故選：A.5．（2324高二上·貴州黔東南·期末）如圖，在三棱錐P?ABC中，點(diǎn)D滿足PB=4PD,CD=xA．12 B．32 C．2 【解題思路】利用空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行求解.【解答過(guò)程】CD=所以x=14,y=?1,z=故選：C.6．（2324高二下·江蘇宿遷·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，側(cè)面A1ADD1是正方形，且∠A1AB=120°，∠DAB=60°A．3714 B．64 C．7【解題思路】根據(jù)平行六面體的結(jié)構(gòu)特征及向量對(duì)應(yīng)線段位置關(guān)系，結(jié)合向量加法、數(shù)乘的幾何意義,將AP、DC，用基底AA【解答過(guò)程】在平行六面體ABCD?A四邊形DD1C又P是C1所以P是CD因?yàn)镈C=AB,∠A所以AP=所以|=1所以|又|DC所以AP===1可得cos<AP,所以異面直線AP與DC的夾角的余弦值為|cos故選：A.7．（2425高二上·上海·課后作業(yè)）如圖，在四面體OABC中，BM=12BC，MN=12NO，AP=34A．23 B．32 C．43【解題思路】由條件可知，延長(zhǎng)OP與AM交于D，連接BD，則由題意可得PQ∥BD，令OD=μO(píng)P，AD=mAM，則利用不同的方法將AD用【解答過(guò)程】由條件可知，延長(zhǎng)OP與AM交于D，連接BD，因?yàn)镻Q∥平面ABC，PQ?平面OBD，平面OBD∩平面ABC=BD，所以PQ∥BD，令OD=μO(píng)P，則有AD=ODAD=mAM=根據(jù)向量基底表示法的唯一性，得?m=14∵PQ∥BD，∴△OPQ∽△ODB，OQOB∴λ=3故選：D．8．（2324高二上·湖北·開(kāi)學(xué)考試）在四面體ABCD中（如圖），平面ABD⊥平面ACD，△ABD是等邊三角形，AD=CD，AD⊥CD，M為AB的中點(diǎn)，N在側(cè)面BCD上（包含邊界），若MN=xAB+yAC+z

A．若x=12，則MN∥平面ACD B．若z=0C．當(dāng)MN最小時(shí)，x=14 D．當(dāng)MN【解題思路】根據(jù)可證CD⊥平面ABD，設(shè)BN=λBC+μBD，且λ,μ∈0,1,λ+μ≤1，進(jìn)而可得x=12?λ?μy=λz=μ，對(duì)于A：若x=12，則點(diǎn)N即為點(diǎn)B，進(jìn)而可得結(jié)果；對(duì)于B：若z=0，可得點(diǎn)N在線段BC【解答過(guò)程】因?yàn)锳D⊥CD，平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD=AD，CD?平面ACD，所以CD⊥平面ABD，且BD?平面ABD，可得CD⊥BD，又因?yàn)镹在側(cè)面BCD上（包含邊界），設(shè)BN=λBC+μ可得MN=1又因?yàn)镸N=xAB+yAC+z對(duì)于選項(xiàng)A：若x=12?λ?μ=12，則λ=μ=0顯然MN∩平面ACD=A，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若z=μ=0，則BN=λBC，可得點(diǎn)N在線段由CD⊥平面ABD，可知當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)N為點(diǎn)B，MN⊥CD，故B錯(cuò)誤；過(guò)M作ME⊥BD，垂足為E，可得BE=BM?

因?yàn)镃D⊥平面ABD，ME?平面ABD，則ME⊥CD，且BD∩CD=D，BD,CD?平面BCD，所以ME⊥平面BCD，可得MN=對(duì)于選項(xiàng)C：顯然當(dāng)點(diǎn)N即為點(diǎn)E時(shí)，MN最小，此時(shí)λ=0,μ=1可得y=0,z=1對(duì)于選項(xiàng)D：顯然當(dāng)點(diǎn)N即為點(diǎn)C時(shí)，NE最大，則MN最大，此時(shí)λ=1,μ=0，可得y=1,z=0,x=1故選：C.二、多選題9．（2324高二下·甘肅蘭州·期中）已知空間向量a，b，c不共面，則以下每組向量能做基底的是（

）A．a(chǎn)，b?a，a+b B．a(chǎn)C．a(chǎn)，b?c，a+c D．c【解題思路】利用共面向量基本定理逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng)，b?a=b+a?2對(duì)于B選項(xiàng)，假設(shè)a，b?a，則存在λ、μ∈R使得a因?yàn)閍,b,故a，b?a，對(duì)于C選項(xiàng)，假設(shè)a，b?c，則存在m、n∈R，使得a因?yàn)閍,b,故a，b?c，選項(xiàng)D，因?yàn)閎=122b?c故選：BC.10．（2024·山東淄博·二模）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是π3，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若AB=a，ADA．CM=?12C．BD1=【解題思路】由題意可知，a?【解答過(guò)程】由題意可知，a?對(duì)于A，CM=CC對(duì)于B，又因?yàn)锳C所以CM?所以CM，AC對(duì)于C，BD1=對(duì)于D，AD?BD故選：AD．11．（2324高二上·安徽滁州·期中）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，∠DAB=∠A．若點(diǎn)Q在平面A1B1C1D1C．當(dāng)p=12時(shí)，三棱錐Q?ABD的體積為928 D．當(dāng)m+n=1【解題思路】根據(jù)平面向量的基本定理及空間向量的加法法則可得AQ=λAB+μAD+AA1，進(jìn)而求解判斷A；根據(jù)空間向量的數(shù)量積定義和線性運(yùn)算可得AB?AD=AB?AA1=AD?AA1=2【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)A，若點(diǎn)Q在平面A1B1所以AQ=又AQ=mAB+n對(duì)于選項(xiàng)B，由題意易得AB?CQ=AQ?又CQ⊥DB，即CQ?故CQ?DB=2(m?1)?2(n?1)=0對(duì)于選項(xiàng)C，由題易知四面體A1設(shè)A1在平面ABCD內(nèi)的射影為點(diǎn)H則H為△ABD的中心，易得AH=233當(dāng)p=12時(shí)，Q到平面ABCD的距離為所以VQ?ABD

對(duì)于選項(xiàng)D，由B知，CQ==4?4mn+4p又4?4mn+4p由基本不等式可知mn≤m+n所以CQ2≥2，即CQ≥所以CQ長(zhǎng)度的最小值為2，故D正確．故選：ABD.三、填空題12．（2425高二上·上?！卧獪y(cè)試）如圖，在三棱錐S?ABC中，點(diǎn)E、F分別是SA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在EF上，且滿足EGGF=12，若SA=a，SB=b

【解題思路】運(yùn)用空間向量的加減法和題設(shè)條件，將所求向量用空間的基向量表示即得.【解答過(guò)程】連接SF，因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是SA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在EF上，且滿足EGGF

所以SG=1所以SG=故答案為：1313．（2024高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，∠BAD=∠BA【解題思路】根據(jù)題設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，可選取AB，AD，AA1為一組基底，將【解答過(guò)程】設(shè)AB=a，AD=

設(shè)CP=λCD1，則則AP=由AB=AA1=2，AD=1可得a?b=∴AP=(=4λ2?2λ當(dāng)λ=14時(shí)，AP?故答案為：?114．（2324高一下·吉林通化·期末）如圖，在正四面體ABCD中，AB=3,E,F分別在棱AD,BC上，且BF=2CF,AD=3AE，若EF=xAB+yAC+zAD，則x+y+z=23

【解題思路】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則及基本定理求出x、y、z，再根據(jù)EF=【解答過(guò)程】依題意AE=13因?yàn)镋F=?=?1又EF=xAB+yAC+z則EF==1故答案為：23；5四、解答題15．（2324高二下·甘肅蘭州·期中）如圖所示，平行六面體ABCD?A1B(1)用向量AB,AD,AA(2)求直線BD1與直線【解題思路】（1）利用空間向量的運(yùn)算法則即可表示出結(jié)果，再將BD1平方可求得模長(zhǎng)為（2）易知AC=AB+AD，求出【解答過(guò)程】（1）BD