241函數(shù)的奇偶性（2知識點(diǎn)7題型鞏固訓(xùn)練）（原卷版）

2.4.1函數(shù)的奇偶性課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義;學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì);學(xué)會判斷函數(shù)的奇偶性。2.通過函數(shù)奇偶性概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。3.通過函數(shù)的奇偶性教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的概括歸納問題的能力。1.函數(shù)的奇偶性及其幾何意義。2.判斷函數(shù)的奇偶性的方法與格式。知識點(diǎn)01函數(shù)奇偶性的概念奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)條件設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I結(jié)論f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)圖象特點(diǎn)關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱注意：判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：1.定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；2.判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系．在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式f(x)＋f(x)＝0(奇函數(shù))或f(x)f(x)＝0(偶函數(shù))是否成立．3.若f(x)≠0，則奇(偶)函數(shù)定義的等價形式如下：①f(x)為奇函數(shù)?f(x)＝f(x)?f(x)＋f(x)＝0?f(-x)f(x)＝②f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(x)?f(x)f(x)＝0?f(-x)f(x)＝【即學(xué)即練1】（2324高一上·北京·期中）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A．y=x BC．y=x2【即學(xué)即練2】（2324高一下·全國·課堂例題）下列函數(shù)圖象中，可以表示偶函數(shù)的有（）A． B．C． D．知識點(diǎn)02函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論1.如果一個奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0.2.如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．3奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．4在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．5.若y＝f(x＋a)是奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則f(－x＋a)＝f(x＋a)．【即學(xué)即練3】（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知y=fx是奇函數(shù)，定義域是R，y=gx是偶函數(shù)，定義域是D．設(shè)F【即學(xué)即練4】（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）下列命題中正確的是．（填序號）①對于函數(shù)y=fx，若f②若y=fx是奇函數(shù)，fx定義域?yàn)棰廴艉瘮?shù)y=fx的圖像不關(guān)于y難點(diǎn)：含參問題示例1：（2324高一下·云南昆明·期末）已知奇函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fx在區(qū)間-1，1上單調(diào)遞增，f1=2，且f1-x為偶函數(shù).若關(guān)于x的不等式A．a(chǎn)>1 B．C．a(chǎn)≥0 D．【題型1：函數(shù)奇偶性的判斷】例1．（多選）（2425高一上·全國·隨堂練習(xí)）（多選）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A．y=x，（x∈[0,1]）B．y=3x2變式1．（2425高一上·全國·課堂例題）判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)fx(2)fx(3)fx(4)fx變式2．（2324高一·上?！ふn堂例題）研究函數(shù)y=變式3．（2425高一上·上海·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)f((1)試證明函數(shù)f((2)畫出f(變式4．（2324高一下·上海楊浦·期中）函數(shù)y=xxA．

B．

C．

D．

變式5．（多選）（2425高一上·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)fx為定義在R上的奇函數(shù)，且f-2=1A．f0B．fC．fx的圖象關(guān)于yD．fx變式6．（多選）（2223高一上·福建莆田·期中）設(shè)函數(shù)f(x)=A．f(B．f(C．g[D．若g(a變式7．（2324高一上·北京·期中）已知函數(shù)f((1)判斷并證明f((2)證明f(x)(3)求f(x)【方法技巧與總結(jié)】判斷分段函數(shù)的奇偶性，可以用定義法，也可以用圖象法.定義法必須驗(yàn)證在每一段內(nèi)都有或成立，而不能只驗(yàn)證一段解析式。在判斷時，要特別注意與的范圍，然后選擇合適的解析式代入.【題型2：利用奇偶性求解析式】例2．（2526高一上·全國·課后作業(yè)）奇函數(shù)fx在0,+∞上的解析式是fx=x1-x，則函數(shù)A．fx=-xC．fx=-x變式1．（2324高一上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=變式2．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知奇函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，當(dāng)x>0時，fx變式3．（2425高一上·全國·課堂例題）fx是奇函數(shù)，gx是偶函數(shù)，且fx+g變式4．（2324高一上·安徽淮北·期中）已知二次函數(shù)f(x)(1)求f((2)若g(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時g(變式5．（2024高一·全國·專題練習(xí)）函數(shù)f(x)=ax+b1+變式6．（2324高一·上?！ふn堂例題）已知函數(shù)y=fx為偶函數(shù)，y=gx為奇函數(shù)，且fx變式7．（2324高一上·江蘇南京·期中）定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，g(1)求函數(shù)f(x)(2)求函數(shù)f(x)+【方法技巧與總結(jié)】求給定哪個區(qū)間的解析式就設(shè)這個區(qū)間上的變量為x，然后把x轉(zhuǎn)化為－x，此時－x成為了已知區(qū)間上的解析式中的變量，通過應(yīng)用奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義，適當(dāng)推導(dǎo)，即可得所求區(qū)間上的解析式．【題型3：利用奇偶性求值】例3．（2324高一上·天津·期末）已知函數(shù)fx是定義城為R的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，fx=3x2A．474 B．-474 C．23變式1．（2425高一上·全國·隨堂練習(xí)）已知定義在R上的偶函數(shù)fx滿足當(dāng)x∈[0,+∞)時，f(x變式2．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)y=f(x+1)為偶函數(shù)，當(dāng)-1≤x≤0時，變式3．（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)fx=ax3+bx+4變式4．（2425高一·上?！ふn堂例題）若函數(shù)fx=x2023+a變式5．（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，y=2x，則x變式6．（2023高一下·吉林·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，若fa=2，則f-變式7．（2324高一下·河南洛陽·期末）已知函數(shù)fx=ax+bx2【方法技巧與總結(jié)】利用奇偶性求函數(shù)值的思路：1.已知f(a)求f(-a)：判斷fx的奇偶性與構(gòu)造已知就行的函數(shù)，利用奇偶性找出fa與2.已知兩個函數(shù)的奇偶性，求由這兩個函數(shù)的和、差構(gòu)造出的新函數(shù)的函數(shù)值，可用-x替換x后使用奇偶性變形，進(jìn)而與原函數(shù)聯(lián)立，解方程即可?！绢}型4：利用奇偶性求參】例4．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx=a5xA．5 B．0 C．10 D．14變式1．（2425高一上·全國·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x2A．-1 B．1 C．0 D．2變式2．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax2變式3．（2324高三上·山東濰坊·開學(xué)考試）設(shè)fx=ax2+bx是定義在a-1,2a上的偶函數(shù)，則a+變式4．（2011高一上·江蘇淮安·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)f(x)=變式5．（2425高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知定義在a-2,a2上的函數(shù)y=fx變式6．（1213高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)fx在區(qū)間-1,a-2變式7．（2324高一·上?！ふn堂例題）已知實(shí)數(shù)b<2，而函數(shù)y=x2+ax+1變式8（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)函數(shù)fx=x3+x+2x【方法技巧與總結(jié)】若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，gx=fx+k【題型5：利用奇偶性與單調(diào)性解不等式】例5．（2324高一上·北京·期中）定義在R上的奇函數(shù)fx滿足，當(dāng)0<x≤2時，fx<0，當(dāng)x>2時，fA．2,+∞ B．-2,0C．-∞,-2∪2,+∞ D變式1．（2425高一上·全國·隨堂練習(xí)）已知定義在R上的奇函數(shù)fx，且當(dāng)x∈[0,+∞)時，fx單調(diào)遞增，則不等式fA．(-∞,1) B．(-1,+∞) C．[-1,+∞) D．(-∞,1]變式2．（多選）（2324高一下·全國·單元測試）定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，且f(3)=0，則滿足xf(xA．(-∞,-3) B．(-3,0) C．0,3 D．(3,+∞)變式3．（2324高一上·上?！て谀┮阎瘮?shù)y=fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f-1=0.若對任意的x1、x2∈0,+∞變式4．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx=x2+2x,x變式5．（2425高一上·江西上饒·開學(xué)考試）若函數(shù)f(x)的定義域是R，且對任意的x(1)試判斷f((2)若當(dāng)x>0時，f(x(3)在條件（2）前提下，解不等式f(變式6．（2324高一上·安徽淮北·期中）已知函數(shù)f(x)=(1)判定函數(shù)f((2)利用單調(diào)性的定義證明：f(x)(3)解不等式f(1-變式7.（2122高一上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）圖中給出了奇函數(shù)fx的局部圖像，已知fx

(1)求f0(2)試補(bǔ)全其圖像；(3)并比較f1與f【方法技巧與總結(jié)】1.如果一個奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.2.如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．3.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對稱的非空數(shù)集．4.奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．5.偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)．【題型6：利用奇偶性與單調(diào)性比較大小】例6．（2324高一上·安徽淮北·期中）已知函數(shù)f(x)=ax2+b是定義在A．g(-2)>g(3)>C．g(2)>g(-2)>變式1．（2425高一上·全國·課堂例題）已知fx是奇函數(shù)，且在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增，則f-0.5，f-1，fA．f-0.5<fC．f0<f變式2．（2015高一·全國·競賽）已知fx是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x1,x2∈0,+∞A．f3<fC．f-2<f變式3．（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）若函數(shù)fx是奇函數(shù)，且f5f-3．（填“>”或“<”變式4．（2223高一·全國·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)fx對任意實(shí)數(shù)x都有f1+x=f(1)f1.2和f(2)f-1和f(3)f-2和f(4)f-2和變式5．（2324高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于y軸對稱，且對于y=fx(x∈R)，當(dāng)x1，x2A．-∞,2 B．(-2,2) C變式6．（2324高一上·廣東廣州·期中）已知函數(shù)fx=x3+A．a(chǎn)+b<0 B．a(chǎn)+b>0【題型7：奇偶性與函數(shù)圖像】例7．（多選）（2425高一上·全國·課后作業(yè)）下圖的四個函數(shù)圖象中為奇函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．變式1．（多選）（2425高一上·全國·課后作業(yè)）（多選）一個偶函數(shù)定義在區(qū)間-7,7上，它在0,7上的圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）A．這個函數(shù)有三個單調(diào)遞增區(qū)間B．這個函數(shù)有兩個單調(diào)遞減區(qū)間C．這個函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值7D．這個函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值-7變式2．（2425高一上·上?！ふn堂例題）已知偶函數(shù)fx和奇函數(shù)gx的定義域都是-4,4，它們在-4,0上的圖像分別是圖1和圖2，則關(guān)于x的不等式fxg變式3．（2324高一上·北京朝陽·期中）已知奇函數(shù)fx的定義域?yàn)?5,5，且在0,5上的圖像如圖所示，則fx的單調(diào)遞減區(qū)間為變式4．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx是定義在-3,0∪0,3上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，fx

變式5．（2425高一上·全國·課堂例題）已知函數(shù)y=fx是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≤0時，fx=x(1)請補(bǔ)全函數(shù)y=(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)y=(3)根據(jù)圖象寫出使fx<0的x變式6．（2324高一下·全國·課堂例題）已知函數(shù)y=f(x變式7．（2011高一上·江蘇淮安·學(xué)業(yè)考試）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x①對任意x∈R,f(-x)+(1)求f(x)(2)在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f((3)寫出f(x一、單選題1．（2324高一下·河南新鄉(xiāng)·期末）已知函數(shù)fx=x2-1A．0 B．1 C．-1 D．22．（2223高一上·福建莆田·期中）設(shè)函數(shù)f(x)=x2-4xA．4 B．2 C．-2 D．-43．（2223高一下·云南昭通·期末）定義在R上的奇函數(shù)fx在-∞,0上單調(diào)遞減，且f3=0，則滿足x+1fA．-3,-1∪0,+∞ BC．-3,-1∪0,3 D4．（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）下列四個命題：①偶函數(shù)的圖像一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖像一定通過原點(diǎn)；③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只能是fx④偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱．其中正確的命題是（）A．③ B．④ C．②③④ D．①②③5．（2223高三上·甘肅定西·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx是定義在-4,4上的偶函數(shù)，且f2>A．f2>fC．f-2>f6．（2324高一下·山東淄博·期中）fx，gx是定義在R上的函數(shù)，hx=fx+gx，則“fx，gA．充要 B．充分而不必要C．必要而不充分 D．既不充分也不必要7．（2324高一下·云南昆明·期末）“函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)”是“函數(shù)yA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2324高一上·云南曲靖·期末）若定義在R上的偶函數(shù)fx在-∞,0上單調(diào)遞減，且f2=0，則滿足m-1fA．-∞,4 B．-∞,0C．-1,0∪2,5 D二、多選題9．（2324高一下·湖南婁底·期末）已知函數(shù)y=fx是定義在RA．y=f|x| B．y=10．（2223高一下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=A．a(chǎn)=-2 B．C．f(f(-1))=-1 D．11．（23