重慶市高三4月調(diào)研測(cè)試（二診）數(shù)學(xué)理試題

2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試4月調(diào)研測(cè)試卷理科數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A． B． C． D．4.“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5.已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，，則下列函數(shù)中符合上述條件的是（）A． B．C． D．6.已知向量，滿足且，若向量在向量方向上的投影為，則（）A． B． C． D．7.中國古代名著《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)”問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”即“有數(shù)被三除余二，被五除余三，被七除余二，問該數(shù)為多少？”為解決此問題，現(xiàn)有同學(xué)設(shè)計(jì)如圖所示的程序框圖，則框圖中的“”處應(yīng)填入（）A． B． C． D．8.如圖，在矩形中，，，兩個(gè)圓的半徑都是1，且圓心，均在對(duì)方的圓周上，在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．9.設(shè)函數(shù)與的圖象在軸右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的平行線交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，則線段的長度為（）A． B． C． D．10.某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖為等腰梯形，則該幾何體的表面積是（）A． B． C． D．11.已知雙曲線（，）的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的左支上，與雙曲線的右支交于點(diǎn)，若為等邊三角形，則該雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．12.已知函數(shù)，，若，，則的最小值是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.某公司對(duì)一批產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣的方法從100件產(chǎn)品中抽取5件進(jìn)行檢測(cè)，對(duì)這100件產(chǎn)品隨機(jī)編號(hào)后分成5組，第一組號(hào)，第二組號(hào)，…，第五組號(hào)，若在第二組中抽取的編號(hào)為24，則在第四組中抽取的編號(hào)為．14.已知實(shí)數(shù)，滿足若目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．15.根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門決定派出五位相關(guān)專家對(duì)三個(gè)貧困地區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)地區(qū)至少派遣一位專家，其中甲、乙兩位專家需要派遣至同一地區(qū)，則不同的派遣方案種數(shù)為（用數(shù)字作答）．16.設(shè)集合，，記，則點(diǎn)集所表示的軌跡長度為．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.設(shè)函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，若，，求的外接圓的面積．18.重慶市推行“共享吉利博瑞車”服務(wù)，租用該車按行駛里程加用車時(shí)間收費(fèi)，標(biāo)準(zhǔn)是“1元/公里0.2元/分鐘”．剛在重慶參加工作的小劉擬租用“共享吉利博瑞車”上下班，同單位的鄰居老李告訴他：“上下班往返總路程雖然只有10公里，但偶爾開車上下班總共也需花費(fèi)大約1小時(shí)”，并將自己近50天的往返開車的花費(fèi)時(shí)間情況統(tǒng)計(jì)如表：時(shí)間（分鐘）次數(shù)10181282將老李統(tǒng)計(jì)的各時(shí)間段頻率視為相應(yīng)概率，假定往返的路程不變，而且每次路上開車花費(fèi)時(shí)間視為用車時(shí)間．（1）試估計(jì)小劉每天平均支付的租車費(fèi)用（每個(gè)時(shí)間段以中點(diǎn)時(shí)間計(jì)算）；（2）小劉認(rèn)為只要上下班開車總用時(shí)不超過45分鐘，租用“共享吉利博瑞車”為他該日的“最優(yōu)選擇”，小劉擬租用該車上下班2天，設(shè)其中有天為“最優(yōu)選擇”，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．19.如圖，在三棱柱中，，平面，側(cè)面是正方形，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在棱、上，且，．（1）證明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值．20.橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，左右頂點(diǎn)分別為，，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），且直線與的斜率的乘積為．（1）求橢圓的方程；（2）過作兩條互相垂直的直線與（均不與軸重合）分別與橢圓交于，，，四點(diǎn)，線段、的中點(diǎn)分別為、，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．21.已知函數(shù)，（，）.（1）若，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，記，記，分別是，的導(dǎo)函數(shù)，證明：．請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）記曲線和在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，點(diǎn)在曲線上，且，求的面積．23.選修45：不等式選講已知函數(shù)．（1）若關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若正實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)?。?）中最大值時(shí)，求的最小值．2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試4月調(diào)研測(cè)試卷理科數(shù)學(xué)答案一、選擇題15:610:11、12：二、填空題13.14.15.16.三、解答題17.解：（1），令，解得，，單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2），，，外接圓直徑，，外接圓面積．18.解：（1）由題可得如下用車花費(fèi)與相應(yīng)頻率的數(shù)表：估計(jì)小劉平均每天用車費(fèi)用為．（2）可能的取值為0,1,2，用時(shí)不超過45分鐘的概率為0.8，，，，，0120.040.320.64．19.解：（1）設(shè)，則，，，，，，又，所以，，，，為直三棱柱，∴平面，∴，平面，平面平面．（2）由，以為原點(diǎn)，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，由解得．平面的法向量，設(shè)所求二面角平面角為，．20.解：（1）設(shè)，由題，整理得，，整理得，結(jié)合，得，，所求橢圓方程為．（2）設(shè)直線：，聯(lián)立橢圓方程，得，得，，∴，，由題，若直線關(guān)于軸對(duì)稱后得到直線，則得到的直線與關(guān)于軸對(duì)稱，所以若直線經(jīng)過定點(diǎn)，該定點(diǎn)一定是直線與的交點(diǎn)，該點(diǎn)必在軸上．設(shè)該點(diǎn)為，，，由，得，代入，坐標(biāo)化簡(jiǎn)得，經(jīng)過定點(diǎn)為．21.解