寒假作業(yè)13線段中的動(dòng)點(diǎn)問題

限時(shí)練習(xí)：30min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)13線段中的動(dòng)點(diǎn)問題一、解題常用的數(shù)學(xué)思想分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，方程思想．二、解題方法：1．通過審題了解動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)起止位置、運(yùn)動(dòng)路徑、速度、以及與其它點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系，利用已知條件表示運(yùn)動(dòng)路徑長.注意：動(dòng)點(diǎn)與圖形中的臨界點(diǎn)的相對(duì)位置變化，可能引起表達(dá)式的變化．2．根據(jù)已知條件列方程、關(guān)系式即可．1．如圖，直線l上有A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A的左側(cè)沿直線l從左向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，點(diǎn)P就稱為這兩個(gè)點(diǎn)的黃金伴侶點(diǎn)，例：若PA＝PB，則點(diǎn)為點(diǎn)和的黃金伴侶點(diǎn)，在點(diǎn)P從左向右運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)P成為黃金伴侶點(diǎn)的機(jī)會(huì)有（）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次【答案】C【解析】由題意知，點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，恰好點(diǎn)P是其中一條線段的中點(diǎn)，圖中共有六條線段：AB、BC、CD、AC、AD、BD，∴點(diǎn)P成為黃金伴侶點(diǎn)的機(jī)會(huì)有六次，故選C．2．如圖，線段的長為，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段的長度（

）A．隨之變化 B．不改變，且為C．不改變，且為 D．不改變，且為【答案】D【解析】∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴DC=AC，CE=BC，∴DE=DC+CE=AC+BC=AB=m，故選D．3．如圖所示，數(shù)軸上O，A兩點(diǎn)的距離為8，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到AO的中點(diǎn)A1處，第2次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A1O的中點(diǎn)A2處，第3次從A2點(diǎn)跳動(dòng)到A2O的中點(diǎn)A3處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整數(shù)）處，問經(jīng)過這樣2023次跳動(dòng)后的點(diǎn)與A1A的中點(diǎn)的距離是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，點(diǎn)A1表示的數(shù)為8×＝4，點(diǎn)A2表示的數(shù)為8××＝2，點(diǎn)A3表示的數(shù)為8××＝1，…，點(diǎn)An表示的數(shù)為，∵A1A的中點(diǎn)表示的數(shù)為（8+4）÷2＝6，∴2023次跳動(dòng)后的點(diǎn)與A1A的中點(diǎn)的距離是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣，故選D．4．已知點(diǎn)M是線段上一點(diǎn)，若，點(diǎn)N是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，且，則．【答案】或1【解析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)N在線段上，如圖：，，，，，，；②當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長線上，如圖：，，，．綜上所述，的值為或1．故答案為：或1．5．如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線l，在直線l上有A，B，C，D四點(diǎn)，且AB＝BC＝CD．點(diǎn)P沿直線l從右向左移動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線l上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P最多有個(gè)．【答案】5【解析】根據(jù)題意可知：當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過任意一條線段中點(diǎn)時(shí)會(huì)發(fā)出報(bào)警，∵圖中共有線段DC，DB，DA，CB，CA，BA，且BC和AD的中點(diǎn)是同一個(gè)，∴發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P最多有5個(gè)．故答案為：5．6．如圖，，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，則．【答案】5【解析】∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，N是CB的中點(diǎn)，∴MC=AC，CN=CB，∴MN=MC+CN=AC+CB=（AC+CB）=×10=5．故答案為：5．7．如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），點(diǎn)D，E，P分別是線段AC，BC，DE的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①圖中的點(diǎn)D，P，C，E都是動(dòng)點(diǎn)；②ADBE；③AB=2DE；④當(dāng)AC=BC時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合．其中正確的是．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【答案】①③④【解析】①∵點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），點(diǎn)D，E，P分別是線段AC，BC，DE的中點(diǎn)，∴D，E隨著C的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P隨著D，E的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此，隨著C的運(yùn)動(dòng)，D，P，E都在動(dòng)，∴本選項(xiàng)正確；②∵∴當(dāng)C點(diǎn)在AB中點(diǎn)左邊（不含中點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于AC<BC，∴AD<BE，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③由題意可知：，∴，即AB=2DE，∴本選項(xiàng)正確；④由③可知，當(dāng)AC=BC時(shí)，DC=EC，所以C為DE的中點(diǎn)，又P也為DE的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∴本選項(xiàng)正確．故答案為①③④．8．如圖，動(dòng)點(diǎn)B在線段AD上，沿以2cm/s的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，C是線段BD的中點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)時(shí)，①________cm；②求線段CD的長度．(2)用含t的代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)過程中線段AB的長度．【解析】（1）①當(dāng)時(shí)，；故答案為：4；②∵，，∴．∵C是線段BD的中點(diǎn)，∴．（2）∵B是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，沿以2m/s的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，∴當(dāng)點(diǎn)B沿點(diǎn)A→D運(yùn)動(dòng)時(shí)，，點(diǎn)B沿點(diǎn)D→A運(yùn)動(dòng)時(shí)，．綜上所述，（）或（）．9．線段AB＝16，C，D是線段AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且CD＝2，E為BC的中點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)AC＝4時(shí)，求DE的長．(2)如圖2，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．點(diǎn)C，D在線段AB上移動(dòng)的過程中，線段EF的長度是否會(huì)發(fā)生變化，若會(huì)，請(qǐng)說明理由；若不會(huì)，請(qǐng)求出EF的長．【解析】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4，∴，,∵E為BC的中點(diǎn)，∴，∴；（2）線段EF的長度不會(huì)發(fā)生變化，，∵AB＝16，CD＝2，∴，∵F為AD的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，∴，∴．10．如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，．P，Q兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)C，B出發(fā)，分別以，的速度沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，兩點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng)．（1）的值是______；（2）取PQ的中點(diǎn)M，CQ的中點(diǎn)N，求的值．【解析】（1）∵P，Q兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)C，B出發(fā)，分別以，的速度沿直線AB向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，∴CP=t，BQ=2t，∴，∵，∴設(shè)BC=2a，AC=a，∴AP=ACCP=at，CQ=BCBQ=2a2t=2（at），∴AP=CQ，∴=．故答案為：；（2）如圖，∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，N是CQ的中點(diǎn)，∴MQ=，NQ=，∴，∵，∴，∴．11．電子跳蚤游戲盤（如圖）為△ABC，AB＝6，AC＝7，BC＝8．如果跳蚤開始時(shí)在BC邊的P0處，BP0＝2．跳蚤第一步從P0跳到AC邊的P1（第1次落點(diǎn)）處，且CP1＝CP0；第二步從P1跳到AB邊的P2（第2次落點(diǎn)）處，且AP2＝AP1；第三步從P2跳到BC邊的P3（第3次落點(diǎn)）處，且BP3＝BP2；……；跳蚤按上述規(guī)則一直跳下去，第n次落點(diǎn)為Pn（n為正整數(shù)），則點(diǎn)P2013與P2016之間的距離為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根據(jù)規(guī)律：CP1=CP0=82=6，AP1=AP2=76=1，BP2=BP3=61=5，CP3=CP4=85=3，AP4=AP5=73=4，…由此可得P0P3=CP0CP3=63=3，P1P4=AP4AP1=41=3，P2P5=AP5AP2=41=3，…∴P2013P2016=3．故選C．12．已知，B是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，沿A至D的方向以的速度運(yùn)動(dòng)，C是線段BD的中點(diǎn)，．在運(yùn)動(dòng)過程中，若線段AB的中點(diǎn)為E，則EC的長是（

）A． B． C．或 D．不能確定【答案】B【解析】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AB=2t，BD=102t，∵C是線段BD的中點(diǎn)，E為線段AB的中點(diǎn)，∴EB==t，BC==5t，∴EC=EB+BC=t+5t=5cm，故選B．13．已知多項(xiàng)式中，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)為a，四次項(xiàng)的系數(shù)為b，常數(shù)項(xiàng)為c，且a，b，c的值分別是點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向右以1單位/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．（1）a=__________，b=__________，c=__________；（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3單位/s，經(jīng)過多長時(shí)間P，Q兩點(diǎn)相距9；（3）O是數(shù)軸上的原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)在原點(diǎn)左側(cè)上時(shí)，分別取OP和AC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，試問的值是否變化，若變化，求出其范圍；若不變，求出其值．【解析】（1）∵多項(xiàng)式中，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)為a，四次項(xiàng)的系數(shù)為b，常數(shù)項(xiàng)為c，∴；（2）設(shè)經(jīng)過秒P，Q兩點(diǎn)相距9，根據(jù)題意得：，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)，，即，解得．當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)，，即，解得．綜上所述，經(jīng)過秒或5秒P，Q兩點(diǎn)相距9；（3）設(shè)，∴，∵點(diǎn)E為OP的中點(diǎn)，∴，∵A對(duì)應(yīng)的數(shù)為3，C對(duì)應(yīng)的數(shù)為2，AC的中點(diǎn)為F，∴點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的數(shù)為，OC=2，∴，∴，∴，∴的值不變，為2．14．已知：如下圖，點(diǎn)是線段上一定點(diǎn)，，，兩點(diǎn)分別從，出發(fā)以，的速度沿直線向左同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（在線段上，在線段上）．（1）若，當(dāng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)了，此時(shí)___________，____________；（直接填空）（2）若點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，求的值．（3）在（2）的條件下，是直線上一點(diǎn)，且，求的值．【解析】（1）根據(jù)題意知，，，∵，，∴，∴，，故答案為：，；（2）根據(jù)，的運(yùn)動(dòng)速度知：，∵，∴，即，∵，∴，∴cm；（3）①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，∵，，∴cm，∴（cm），∴；②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，如圖，∵，，∴cm，∴．綜上所述，的值為或1．15．如圖，點(diǎn)都在數(shù)軸上，為原點(diǎn).（1）線段的中點(diǎn)表示的數(shù)是__________；（2）若點(diǎn)以每秒個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)了秒，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左邊時(shí)，__________，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，__________；（3）若點(diǎn)分別以每秒個(gè)單位長度、個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)不動(dòng)，秒后，三個(gè)點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)是以另外兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，求的值.【解析】（1），故答案為1；（2）點(diǎn)在點(diǎn)左邊時(shí)，，點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，，故答案為，；（3）①當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，，；②當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，，；③當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，，．綜上所述，符合條件的的值是或.16．在直角三角形中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始以的速度沿的方向移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始以的速度沿的方向移動(dòng)．如果點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，用表示移動(dòng)時(shí)間，解答下列問題．(1)如圖1，請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示（不用帶單位）：①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，______；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，______；③當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，______；④當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，______；(2)如圖2，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，試求出的值；(3)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)直接寫出當(dāng)時(shí)的值．【解析】（1）①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；③當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；④當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；（2）由題意得，，解得；（3）∵，∴當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，解得；當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，解得；當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，解得（不合題意）．綜上，或時(shí)．17．操作與探究：（1）如圖，已知線段長為，點(diǎn)從點(diǎn)A以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則______，______；（2）如圖，已知在長方形中，，，動(dòng)點(diǎn)以的速度從A點(diǎn)沿著運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，用含的式子表示______；拓展與延伸：（3）如圖，在（2）的基礎(chǔ)上，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為，，同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，為何值時(shí)，？【解析】（1）線段長為，點(diǎn)從點(diǎn)A以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，，，故答案為：，；（2），，動(dòng)點(diǎn)以的速度從A點(diǎn)沿著運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，．故答案為：或；（3）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時(shí)，，即，，，解得．當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，，解得．故為11或13時(shí)，．(1)當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t為何值時(shí)能使？(2)若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到距離O點(diǎn)16cm的點(diǎn)N處停止，在點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)前，點(diǎn)P能否追上點(diǎn)Q？如果能，求出t的值；如果不能，請(qǐng)說出理由；(3)若P，Q兩點(diǎn)不停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q均在射線上，t為何值時(shí)，它們相距1cm．【解析】（1）運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t（s）時(shí)，，若，則，解得；（2）點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，用的時(shí)間為（秒），此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為，，∴點(diǎn)P不能追上點(diǎn)Q；（3）當(dāng)P，Q均在射線上，它們相距1cm時(shí)，根據(jù)題意得：，即，解得或．19．已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)從左到右順次為A，B，C，其中b是最小的正整數(shù)，a在最大的負(fù)整數(shù)左側(cè)1個(gè)單位長度，BC=2AB．（1）填空：a=，b=，c=；（2）點(diǎn)D從點(diǎn)A開始，點(diǎn)E從點(diǎn)B開始，點(diǎn)F從點(diǎn)C開始，分別以每秒1個(gè)單位長度、1個(gè)單位長度、4個(gè)單位長度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F追上點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．試問：①當(dāng)三點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)以后，t為何值時(shí)，這三個(gè)點(diǎn)中恰好有一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)？②F在追上E點(diǎn)前，是否存在常數(shù)k，使得的值與它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間無關(guān)，為定值．若存在，請(qǐng)求出k和這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）∵最小正整數(shù)為1，最大的負(fù)整數(shù)為1，a在最大的負(fù)整數(shù)左側(cè)1個(gè)單位長度，∴點(diǎn)A表示的數(shù)a為11=2，點(diǎn)B表示的數(shù)b為1，∴AB=1（2）=3．∵，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為c=1+6=7，故答案為：2，1，7；（2）①依題意，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)距離為4t，點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的距離為t,∴點(diǎn)D，E，F(xiàn)表示的數(shù)分別為2t，1t，74t,當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)D時(shí)，必將超過點(diǎn)B，∴存在兩種情況，即DE=EF和DF=EF.如圖，當(dāng)DE=EF，即E為DF的中點(diǎn)時(shí)，，解得t=1.如圖，當(dāng)EF=DF，即F為DE中點(diǎn)時(shí)，，解得t=.綜上所述，當(dāng)ｔ=１秒和ｔ＝秒時(shí)，滿足題意．②存在.理由：點(diǎn)D，E，F(xiàn)表示的數(shù)分別為2t，1t，74t,如圖，F(xiàn)在追上E點(diǎn)前，，，，當(dāng)與t無關(guān)時(shí)，需滿足3+3k=0，即k=1時(shí)，滿足條件，此時(shí)的定值為3.20．如圖，點(diǎn)A，點(diǎn)B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離表示為．【探索新知】如圖1，點(diǎn)C將線段分成和兩部分，若，則稱點(diǎn)C是線段的圓周率點(diǎn)，線段稱作互為圓周率伴侶線段.(1)若，則______（用含的代數(shù)式表示）；(2)若點(diǎn)D也是圖1中線段的圓周率點(diǎn)（不同于C點(diǎn)），則______（填“<”、“”、“>”）．【深入研究】如圖2，現(xiàn)有一個(gè)直徑為1個(gè)單位長度的圓片，將圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，并把圓片沿?cái)?shù)軸向右無滑動(dòng)地滾動(dòng)1周，該點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C的位置．(3)若點(diǎn)M，N均為線段的圓周率點(diǎn)，求線段的長度．【