必修二課后作業(yè)章末檢測（一）

章末檢測(一)(時間：120分鐘滿分：160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)1.下列幾何體是旋轉(zhuǎn)體的是________.(填序號)①圓柱；②六棱錐；③正方體；④球體；⑤四面體.答案①④2.一個球的大圓面積為9π，則該球的體積為__________.答案36π解析由題意可知該球的半徑r＝3，故V＝eq\f(4,3)πr3＝36π.3.給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；④棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是________.答案0解析①不一定，只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線；②不一定，因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”，如圖1所示；③不一定，當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖2所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；④錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等.圖1圖24.已知用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖的面積為18eq\r(2)，那么原正方形的面積為________.答案72解析正方形的直觀圖是平行四邊形，設(shè)正方形的邊長為a，則eq\f(a,2)×eq\f(\r(2),2)×a＝18eq\r(2)，所以a2＝4×18＝72，故S正方形＝a2＝72.5.如圖，正方形ABCD的邊長為1，所對的圓心角∠CDE＝90°，將圖形ABCE繞AE所在直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體的表面積為________.答案5π解析由題意知，形成的幾何體是組合體：上面是半球、下面是圓柱，∵正方形ABCD的邊長為1，∠CDE＝90°，∴球的半徑是1，圓柱的底面半徑是1，母線長是1，∴形成的幾何體的表面積S＝π×12＋2π×1×1＋eq\f(1,2)×4π×12＝5π，故答案為5π.6.如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線交點為O，M為PB的中點，給出五個結(jié)論：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正確的個數(shù)是________.答案3解析顯然OM∥PD，又PD?平面PCD，PD?平面PDA，∴OM∥平面PCD，OM∥平面PDA，∴①②③正確.7.若一個圓柱、一個圓錐的底面直徑和高都等于一個球的直徑，則圓柱、球、圓錐的體積之比是________.答案3∶2∶1解析設(shè)球的半徑為R，圓柱、圓錐的底面半徑為r，高為h，則r＝R，h＝2R，V圓柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，V圓錐＝eq\f(1,3)πR2×2R＝eq\f(2,3)πR3，所以V圓柱∶V球∶V圓錐＝2πR3∶eq\f(4,3)πR3∶eq\f(2,3)πR3＝3∶2∶1.8.已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，有以下四個說法：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確的是________.(填序號)答案①③解析若α∥β，l⊥α，則l⊥β.又m?β，所以l⊥m，所以①正確；若α⊥β，l⊥α，m?β，則l與m可能異面，所以②不正確；若l∥m，l⊥α，則m⊥α，又m?β，則α⊥β，所以③正確；若l⊥α，l⊥m，m?β，則α與β可能相交，所以④不正確.9.已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P為平面ABC外一點，且PA＝PB＝PC，則平面PBC與平面ABC的位置關(guān)系是__________.答案垂直解析∵PA＝PB＝PC，∴P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上.又外心在BC上，設(shè)為O，則PO⊥平面ABC.又PO?平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABC.10.在圓錐VO中，O為底面圓的圓心，A，B為底面圓上兩點，且OA⊥OB，OA＝VO＝1，則O到平面VAB的距離為________.答案eq\f(\r(3),3)解析由題意，可得三棱錐V—AOB的體積為VV—AOB＝eq\f(1,3)S△AOB·VO＝eq\f(1,6).△VAB是邊長為eq\r(2)的等邊三角形，其面積為eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝eq\f(\r(3),2).設(shè)點O到平面VAB的距離為h，則VO—VAB＝eq\f(1,3)S△VABh＝eq\f(\r(3),6)h＝VV—AOB＝eq\f(1,6)，解得h＝eq\f(\r(3),3)，即點O到平面VAB的距離為eq\f(\r(3),3).11.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，給出以下四個結(jié)論：①直線D1C∥平面A1ABB1；②直線A1D1與平面BCD1相交；③直線AD⊥平面D1DB；④平面BCD1⊥平面A1ABB1.其中正確結(jié)論的序號為________.答案①④解析因為平面A1ABB1∥平面D1DCC1，D1C?平面D1DCC1，所以D1C∥平面A1ABB1，①正確；直線A1D1在平面BCD1內(nèi)，②不正確；顯然AD不垂直于BD，所以AD不垂直于平面D1DB，③不正確；因為BC⊥平面A1ABB1，BC?平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，④正確.12.若正方體外接球的表面積是eq\f(32,3)π，則正方體的棱長為________.答案eq\f(4\r(2),3)解析設(shè)正方體的棱長為a，外接球的直徑為正方體的體對角線l，所以πl(wèi)2＝eq\f(32,3)π，即l2＝eq\f(32,3).又l2＝a2＋a2＋a2，所以eq\f(32,3)＝3a2，即a2＝eq\f(32,9)，所以a＝eq\f(4\r(2),3).13.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________.答案eq\r(7)解析設(shè)新的底面半徑為r，由題意得eq\f(1,3)πr2·4＋πr2·8＝eq\f(1,3)π×52×4＋π×22×8，解得r＝eq\r(7).14.如圖所示，在正四棱錐S—ABCD(頂點S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中，E是BC的中點，P點在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運動，并且總是保持PE⊥AC.則動點P的軌跡與△SCD組成的相關(guān)圖形最有可能是圖中的________.答案①解析如圖所示，連結(jié)BD與AC相交于點O，連結(jié)SO，取SC的中點F，取CD的中點G，連結(jié)EF，EG，F(xiàn)G.因為E，F(xiàn)分別是BC，SC的中點，所以EF∥SB，又EF?平面SBD，SB?平面SBD，所以EF∥平面SBD，同理可證EG∥平面SBD，又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面SBD，由題意得SO⊥平面ABCD，AC⊥SO，因為AC⊥BD，又SO∩BD＝O，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥平面EFG，所以AC⊥GF，所以點P在直線GF上.二、解答題(本大題共6小題，共90分)15.(14分)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為AB，A1D1的中點，判斷MN與平面A1BC1的位置關(guān)系，并證明.解直線MN∥平面A1BC1.證明如下：∵MD/∈平面A1BC1，ND/∈平面A1BC1.∴MN?平面A1BC1.如圖，取A1C1的中點O1，連結(jié)NO1、BO1.∵NO1綊eq\f(1,2)D1C1，MB綊eq\f(1,2)D1C1，∴NO1綊MB，∴四邊形NO1BM為平行四邊形，∴MN∥BO1.又∵BO1?平面A1BC1，MN?平面A1BC1，∴MN∥平面A1BC1.16.(14分)如圖所示，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.求證：(1)BC∥平面PDA；(2)BC⊥PD.證明(1)∵在長方形ABCD中，BC∥AD，BC?平面PDA，AD?平面PDA，∴BC∥平面PDA.(2)取CD的中點H，連結(jié)PH.∵PD＝PC，∴PH⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PH?平面PDC，∴PH⊥平面ABCD.又BC?平面ABCD，∴PH⊥BC.∵在長方形ABCD中，BC⊥CD，PH∩CD＝H，∴BC⊥平面PDC.又PD?平面PDC，∴BC⊥PD.17.(14分)如圖1所示的等邊△ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC，BC邊的中點.現(xiàn)將△ABC沿CD折疊，使平面ADC⊥平面BDC，如圖2所示.(1)試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求四面體A—DBC的外接球體積與四棱錐D—ABFE的體積之比.解(1)AB∥平面DEF，理由如下：∵E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，∴AB∥EF，∵AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF.(2)以DA，DB，DC為棱補成一個長方體，則四面體A—DBC的外接球即為長方體的外接球.設(shè)球的半徑為R，則a2＋a2＋3a2＝(2R)2，∴R2＝eq\f(5,4)a2，于是球的體積V1＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(5\r(5),6)πa3.又VA—BDC＝eq\f(1,3)S△BDC·AD＝eq\f(\r(3),6)a3，VE—DFC＝eq\f(1,3)S△DFC·eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),24)a3，∴eq\f(V1,VD—ABFE)＝eq\f(V1,VA—BDC－VE—CDF)＝eq\f(20\r(15)π,9).18.(16分)如圖所示，在三角形ABC中，AC＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，四邊形ABED是邊長為1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點.(1)求證：GF∥平面ABC；(2)求證：AC⊥平面EBC；(3)求該五面體的體積.(1)證明連結(jié)AE.∵四邊形ADEB為正方形，∴AE∩BD＝F，且F是AE的中點，∴GF∥AC.又AC?平面ABC，GF?平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)證明∵四邊形ADEB為正方形，∴EB⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.∵CA2＋CB2＝AB2，∴AC⊥BC.又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面EBC.(3)解取AB的中點N，連結(jié)CN.∵AC＝BC，∴CN⊥AB.又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，CN?平面ABC，∴CN⊥平面ABED.∵△ABC是等腰直角三角形，∴CN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2).∵五面體C－ABED是四棱錐，∴V四棱錐C－ABED＝eq\f(1,3)S四邊形ABED·CN＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).19.(16分)如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.證明(1)由已知，DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，又由三棱柱的性質(zhì)可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D?平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又B1D?平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.20.(16分)如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為CD的中點，以AE為折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.(1)求證：AD′⊥BE；(2)求四棱錐D′－ABCE的體積；(3)在棱ED′上是否存在一點P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出點P的位置，若不存在，請說明理由.(1)證明根據(jù)題意可知，在長方形ABCD中，△DAE和△CBE為等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠CEB＝45°，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D′AE，∵AD′?平面D′AE，∴AD′⊥BE.(2)解取AE的中點F，連結(jié)D′F，則D′F⊥AE.∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，∴D′F⊥平面ABCE，∴VD′－ABCE＝eq\f(1,3)S四邊形ABCE·D′F＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×1×eq\f(\r(2)