06材料力學(xué)剪切與扭轉(zhuǎn)

第6章剪切與扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)1扭轉(zhuǎn)目錄6.1外力偶矩的計(jì)算·扭矩及扭矩圖6.2薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)6.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算6.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和剛度計(jì)算6.5圓軸的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能6.6圓軸扭轉(zhuǎn)超靜定問題6.7非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念2一、連接件的受力特點(diǎn)和變形特點(diǎn)：1、連接件在構(gòu)件連接處起連接作用的部件，稱為連接件。例如：螺栓、鉚釘、鍵等。連接件雖小，卻起著傳遞載荷的作用。特點(diǎn)：可傳遞一般力，可拆卸。PP螺栓剪切§5.9連接件的實(shí)用強(qiáng)度計(jì)算3PP鉚釘特點(diǎn)：可傳遞一般力，不可拆卸。如橋梁桁架結(jié)點(diǎn)處用它連接。無間隙m軸鍵齒輪特點(diǎn)：傳遞扭矩。m剪切42、受力特點(diǎn)和變形特點(diǎn)：剪切nn（合力）（合力）PP以鉚釘為例：①受力特點(diǎn)：構(gòu)件受兩組大小相等、方向相反、作用線相距很近（差一個(gè)幾何平面）的平行力系作用。②變形特點(diǎn)：構(gòu)件沿兩組平行力系的交界面發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。5剪切nn（合力）（合力）PP③剪切面：構(gòu)件將發(fā)生相互的錯(cuò)動(dòng)面，如n–n

。④剪切面上的內(nèi)力：

內(nèi)力—剪力Q

，其作用線與剪切面平行。PnnQ剪切面6剪切nn（合力）（合力）PP3、連接處破壞的三種形式：

①剪切破壞沿鉚釘?shù)募羟忻婕魯?，如沿n–n面剪斷

。

②擠壓破壞鉚釘與鋼板在相互接觸面上因擠壓而使?jié)哼B接松動(dòng)，發(fā)生破壞。

③拉伸破壞PnnQ剪切面鋼板在受鉚釘孔削弱的截面處，應(yīng)力增大，易在連接處拉斷。7剪切二、剪切的實(shí)用計(jì)算

1、實(shí)用計(jì)算方法：根據(jù)構(gòu)件的破壞可能性，采用能反映受力基本特征，并簡(jiǎn)化計(jì)算的假設(shè)，計(jì)算其名義應(yīng)力，然后根據(jù)直接試驗(yàn)的結(jié)果，確定其相應(yīng)的許用應(yīng)力，以進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。

2、

適用：構(gòu)件體積不大，真實(shí)應(yīng)力相當(dāng)復(fù)雜情況，如連接件等。

3、實(shí)用計(jì)算假設(shè)：假設(shè)剪應(yīng)力在整個(gè)剪切面上均勻分布，等于剪切面上的平均應(yīng)力。8剪切1)、剪切面--AQ：錯(cuò)動(dòng)面。

剪力--Q：剪切面上的內(nèi)力。2)、名義剪應(yīng)力--

：3)、剪切強(qiáng)度條件（準(zhǔn)則）：nn（合力）（合力）PPPnnQ剪切面工作應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力。9三、擠壓的實(shí)用計(jì)算1)、擠壓力―Pjy

：接觸面上的合力。剪切1、擠壓：構(gòu)件局部面積的承壓現(xiàn)象。2、擠壓力：在接觸面上的壓力，記Pjy

。假設(shè)：擠壓應(yīng)力在有效擠壓面上均勻分布。102)、擠壓面積：接觸面在垂直Pjy方向上的投影面的面積。3)、擠壓強(qiáng)度條件（準(zhǔn)則）：

工作擠壓應(yīng)力不得超過材料的許用擠壓應(yīng)力。剪切擠壓面積11四、應(yīng)用剪切12剪切

[例19]圖(a)為拖拉機(jī)掛鉤，已知牽引力F＝15kN，掛鉤的厚度為mm，被連接的板件厚度為mm，插銷的材料為20鋼，材料的許用切應(yīng)力為，直徑d＝20mm。試校核插銷的剪切強(qiáng)度。13剪切解插銷受力如圖(b)所示。根據(jù)受力情況，插銷中段相對(duì)于上、下兩段，沿m-m、n-n兩個(gè)面向右錯(cuò)動(dòng)。所以有兩個(gè)剪切面，成為雙剪切。由平衡方程可求得剪力插銷橫截面上的切應(yīng)力為故插銷的剪切強(qiáng)度足夠。

14

[例20]

木榫接頭如圖所示，a=b

=12cm，h=35cm，c=4.5cm,P=40KN，試求接頭的剪應(yīng)力和擠壓應(yīng)力。解：

受力分析如圖∶

剪應(yīng)力和擠壓應(yīng)力剪切面和剪力為∶擠壓面和擠壓力為：剪切PPPPPPbachh15解：

鍵的受力分析如圖

[例21]

齒輪與軸由平鍵（b×h×L=20×12×100）連接，它傳遞的扭矩m=2KNm，軸的直徑d=70mm，鍵的許用剪應(yīng)力為[

]=60MPa，許用擠壓應(yīng)力為[

jy]=100MPa，試校核鍵的強(qiáng)度。

剪切mbhLmdP16綜上，鍵滿足強(qiáng)度要求。

剪應(yīng)力和擠壓應(yīng)力的強(qiáng)度校核剪切bhLdmQ17解：

鍵的受力分析如圖

[例22]

齒輪與軸由平鍵（b=16mm，h=10mm）連接，它傳遞的扭矩m=1600Nm，軸的直徑d=50mm，鍵的許用剪應(yīng)力為[

]=80MPa，許用擠壓應(yīng)力為[

jy]=240MPa，試設(shè)計(jì)鍵的長(zhǎng)度。

剪切bhLmdPmm18剪切bhL

剪應(yīng)力和擠壓應(yīng)力的強(qiáng)度條件

綜上dmQ19解：

受力分析如圖

[例23]

一鉚接頭如圖所示，受力P=110kN，已知鋼板厚度為t=1cm，寬度

b=8.5cm，許用應(yīng)力為[

]=160MPa；鉚釘?shù)闹睆絛=1.6cm，許用剪應(yīng)力為[

]=140MPa，許用擠壓應(yīng)力為[

jy]=320MPa，試校核鉚接頭的強(qiáng)度。（假定每個(gè)鉚釘受力相等）

剪切bPPttdPPP112233P/420

鋼板的2--2和3--3面為危險(xiǎn)面

剪應(yīng)力和擠壓應(yīng)力的強(qiáng)度條件綜上，接頭安全。剪切ttdPPP112233P/421剪切

[例24]已知鋼板的厚度為mm，其剪切極限為

MPa。用沖床將鋼板沖出直徑為d=20mm的孔，問需要多大的沖剪力F？解剪切面是鋼板內(nèi)被沖頭沖出的圓餅體的圓柱形側(cè)面，如圖b)所示。其面積為

m2沖孔所需的沖剪力應(yīng)為F≥kN22

[例25]

已知螺栓材料的許用剪應(yīng)力[τ]與許用拉應(yīng)力[σ]之間的關(guān)系為[τ]=0.6[σ]，試求螺栓直徑d與螺栓頭高度h的合理比值。

剪切解：23本章結(jié)束24扭轉(zhuǎn)軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機(jī)器中的傳動(dòng)軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。扭轉(zhuǎn)角（

）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生的角位移。剪應(yīng)變（

）：直角的改變量。ABOmm

OBA

§6.1外力偶矩的計(jì)算·扭矩和扭矩圖25扭轉(zhuǎn)一、傳動(dòng)軸的外力偶矩

傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)數(shù)與外力偶矩的關(guān)系：其中：P—功率，千瓦（kW）

n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）其中：P—功率，馬力（PS）

n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）1PS=735.5N·m/s，1kW=1.36PS263扭矩的符號(hào)規(guī)定：

“T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負(fù)。扭轉(zhuǎn)二、扭矩及扭矩圖

1扭矩：

構(gòu)件受扭時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。

2截面法求扭矩mmmTx27扭轉(zhuǎn)4扭矩圖：

表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。

目的①扭矩變化規(guī)律；②|T|max值及其截面位置強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）。xT

m28扭轉(zhuǎn)

[例1]已知一傳動(dòng)軸，n=300r/min，主動(dòng)輪輸入P1=500kW，從動(dòng)輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nABCDm2

m3

m1

m4解：①計(jì)算外力偶矩29扭轉(zhuǎn)nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）x30扭轉(zhuǎn)③繪制扭矩圖BC段為危險(xiǎn)截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37

–31扭轉(zhuǎn)§6.2薄壁圓筒的剪切

薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）一、實(shí)驗(yàn)：1.實(shí)驗(yàn)前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對(duì)外力偶m。32扭轉(zhuǎn)2.實(shí)驗(yàn)后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。3.結(jié)論：

①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。②各縱向線均傾斜了同一微小角度

。

③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。33扭轉(zhuǎn)

acddxbdy′′

①無正應(yīng)力②橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力

，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。4.

與的關(guān)系：

微小矩形單元體如圖所示：34扭轉(zhuǎn)二、薄壁圓筒剪應(yīng)力

大?。?/p>

A0：平均半徑所作圓的面積。35扭轉(zhuǎn)三、剪應(yīng)力互等定理：

上式稱為剪應(yīng)力互等定理。該定理表明：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb

dy′′tz

36扭轉(zhuǎn)四、剪切胡克定律：

單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。l37扭轉(zhuǎn)

T=m

剪切胡克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)（τ≤τp)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。38扭轉(zhuǎn)式中：G是材料的一個(gè)彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因

無量綱，故G的量綱與

相同，不同材料的G值可通過實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的G值約為80GPa。彈性模量、剪切彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：可見，在三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，第三個(gè)量就可以推算出來。39扭轉(zhuǎn)§6.3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算等直圓桿橫截面應(yīng)力①變形幾何方面②物理關(guān)系方面③靜力學(xué)方面

1.橫截面變形后仍為平面；

2.軸向無伸縮；

3.縱向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：40扭轉(zhuǎn)41扭轉(zhuǎn)二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力：1.變形幾何關(guān)系：距圓心為

任一點(diǎn)處的

與該點(diǎn)到圓心的距離

成正比?！まD(zhuǎn)角沿長(zhǎng)度方向變化率。42扭轉(zhuǎn)Ttmaxtmax2.物理關(guān)系：虎克定律：代入上式得：43扭轉(zhuǎn)3.靜力學(xué)關(guān)系：令代入物理關(guān)系式得：TOτp

dA44扭轉(zhuǎn)橫截面上距圓心為

處任一點(diǎn)剪應(yīng)力計(jì)算公式。4.公式討論：①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。

—該點(diǎn)到圓心的距離。

Ip—截面極慣性矩，純幾何量，無物理意義。45扭轉(zhuǎn)單位：mm4，m4。③盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是IP值不同。a.對(duì)于實(shí)心圓截面：D

d

O46扭轉(zhuǎn)b.對(duì)于空心圓截面：dDO

d

47扭轉(zhuǎn)④應(yīng)力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實(shí)心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。48扭轉(zhuǎn)⑤確定最大剪應(yīng)力：由知：當(dāng)WP—抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對(duì)于實(shí)心圓截面：對(duì)于空心圓截面：49扭轉(zhuǎn)三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45

的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。50扭轉(zhuǎn)1.點(diǎn)M的應(yīng)力單元體如圖(b)：(a)M(b)tt′tt′(c)2.斜截面上的應(yīng)力；取分離體如圖(d)：(d)

t′t

tasax51扭轉(zhuǎn)(d)

t′t

tasaxnt轉(zhuǎn)角

規(guī)定：x軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線逆時(shí)針：為“+”順時(shí)針：為“–”由平衡方程：解得：52扭轉(zhuǎn)分析：當(dāng)

=0°時(shí)，當(dāng)

=45°時(shí)，當(dāng)

=–45°時(shí)，當(dāng)

=90°時(shí)，tt′smaxsmin45°由此可見：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，在橫截面和縱截面上的剪應(yīng)力為最大值；在方向角

=

45

的斜截面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力。根據(jù)這一結(jié)論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。53扭轉(zhuǎn)四、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：對(duì)于等截面圓軸：([

]

稱為許用剪應(yīng)力。)強(qiáng)度計(jì)算三方面：①校核強(qiáng)度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③計(jì)算許可載荷：54扭轉(zhuǎn)

[例2]

功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應(yīng)力[

]=30MPa,試校核其強(qiáng)度。Tm解：①求扭矩及扭矩圖②計(jì)算并校核剪應(yīng)力強(qiáng)度③此軸滿足強(qiáng)度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx55扭轉(zhuǎn)§6.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和剛度計(jì)算一、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形由公式知：長(zhǎng)為

l一段桿兩截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

為56扭轉(zhuǎn)二、單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角

：或三、剛度條件或

GIp

反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為圓軸的抗扭剛度。[

]稱為許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。57扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算的三方面：①校核剛度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③計(jì)算許可載荷：有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。58扭轉(zhuǎn)

[例3]

長(zhǎng)為L(zhǎng)=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，G=80GPa，許用剪應(yīng)力[

]=30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若[

]=2o/m，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：①設(shè)計(jì)桿的外徑59扭轉(zhuǎn)40NmxT代入數(shù)值得：D

0.0226m。②由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度60扭轉(zhuǎn)40NmxT③右端面轉(zhuǎn)角為：61

[例4]

某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n=500r/min，輸入功率N1=500馬力，輸出功率分別N2=200馬力及

N3=300馬力，已知：G=80GPa，[

]=70MPa，[

]=1o/m

，試確定：

①AB段直徑

d1和BC段直徑

d2

？②若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？

③主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？扭轉(zhuǎn)解：①圖示狀態(tài)下,扭矩如圖，由強(qiáng)度條件得：

500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)62扭轉(zhuǎn)由剛度條件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)63扭轉(zhuǎn)

綜上：②全軸選同一直徑時(shí)64扭轉(zhuǎn)

③軸上的絕對(duì)值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng)

該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時(shí),軸的最大直徑才

為75mm。Tx–4.21(kNm)2.81465扭轉(zhuǎn)

[例5]圖示階梯圓軸，受力如圖。已知該軸大端直徑為D=60mm，小端直徑為d=40mm，材料的許用應(yīng)力為，試校核該軸的強(qiáng)度。解：1．內(nèi)力分析：畫扭矩圖如圖所示。66扭轉(zhuǎn)2．應(yīng)力分析及強(qiáng)度條件：

故強(qiáng)度不夠。

67扭轉(zhuǎn)

[例6]橫截面相等的兩根圓軸，一根為實(shí)心，許用剪應(yīng)力為，另一根為空心，內(nèi)外直徑比，許用剪應(yīng)力為，若僅從強(qiáng)度條件考慮，哪一根圓軸能承受較大的扭矩。解：兩根圓軸橫截面相等，即

(1)∵∴

(2)68聯(lián)合(1)、(2)式得：說明第二根圓軸能承受較大的扭矩。

扭轉(zhuǎn)

[例7]圖示階梯圓軸，受力如圖。已知該軸大端直徑為D=60mm，小端直徑為d=30mm，已知G=80GPa，。試求：1)．校核該軸剛度；2)．A截面相對(duì)于C截面的扭轉(zhuǎn)角。解：1．內(nèi)力分析：畫扭矩圖如圖所。

69扭轉(zhuǎn)2．變形分析及剛度條件：70扭轉(zhuǎn)§6.5圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能一、應(yīng)變能與應(yīng)變能密度acddxb

dy′′dzz

xy單元體微功：應(yīng)變比能：71扭轉(zhuǎn)二、圓柱形密圈螺旋彈簧的計(jì)算1.應(yīng)力的計(jì)算=+tQtTQT近似值：PQT72扭轉(zhuǎn)2.彈簧絲的強(qiáng)度條件:精確值：（修正公式，考慮彈簧曲率及剪力的影響）其中：稱為彈簧