第一章 特殊平行四邊形 單元練習(xí) 2024-2025學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊

第一章特殊平行四邊形一、單選題1．如圖，已知△ABC中，AB=5,BC=12,AC=13，那么AC邊上的中線BD的長為（

）

A．52 B．6 C．1322．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，添加下列條件不能判定四邊形ABCD為菱形的是（A．BD⊥ACB．BC=CDC．AC=BDD．∠ABD=∠CBD3．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=BC，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，則對四邊形EFGH的形狀描述最準(zhǔn)確的是（

）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形4．如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)C和點(diǎn)C′重合，若AB=2，則C′D

A．1 B．2 C．3 D．45．如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，如果EF=2，那么菱形ABCD的周長是（

）A．8 B．12 C．14 D．166．如圖所示的木質(zhì)活動衣帽架是由三個全等的菱形組成，根據(jù)實(shí)際需要可調(diào)節(jié)A，E間的距離，已知菱形ABCD的邊長為20cm，若A，E間的距離調(diào)節(jié)到60cm時，則這個活動衣帽架所圍成的面積為（A．600cm2 B．6003cm2 7．如圖，在菱形ABCD中，∠B=45°，BC=23，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動點(diǎn)，連接AE和EF，G，H分別為AE，EF的中點(diǎn)，連接GH，則GH

A．3 B．62 C．638．小明同學(xué)手中有一張矩形紙片ABCD，AD=12cm，CD=10第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平．第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△ADN沿AN折疊得到△AD′N，AD′交折痕MN于點(diǎn)EA．8cm B．16924cm C．1679．在矩形ABCD中，點(diǎn)A關(guān)于角B的角平分線的對稱點(diǎn)為E，點(diǎn)E關(guān)于角C的角平分線的對稱點(diǎn)為F，若AD＝3AB＝3，則S△ADF＝（）A．23 B．33?152 C．310．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是邊CB延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，BE＝BF，連接EF并延長交線段AD于點(diǎn)G，連接CF交BD于點(diǎn)M，連接CG交BD于點(diǎn)N．則下列結(jié)論：①AE＝CF；②∠BFM＝∠BMF；③∠CGF﹣∠BAE＝45°；④當(dāng)∠BAE＝15°時，MN＝43其中正確的個數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則CD=．12．如圖，菱形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O，若AC=24，BD=10，則菱形ABCD的面積是．13．如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF=45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．若AE=1，14．如圖，AC是矩形ABCDAB<BC的對角線，EF垂直平分AC，分別交BC、AD于點(diǎn)E、F，連接AE．若BA=BE=1，則AF的長為15．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE=5，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若OF的長為72，則△CEF的周長為16．如圖，在菱形ABCD中，AB=5，BD=8，點(diǎn)P為線段BD上不與端點(diǎn)重合的一個動點(diǎn)．過點(diǎn)P作直線BC、直線CD的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F．連結(jié)PA，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，PE+PA+PF的最小值等于

17．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別是邊AD、CD的中點(diǎn)，連接MN、OM．若MN=3，S菱形ABCD=24，則OM18．如圖，在矩形ABCD中，BC＝20cm，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別從點(diǎn)B和點(diǎn)D出發(fā)，按逆時針方向沿矩形ABCD的邊運(yùn)動，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的速度分別為3cm/s和2cm/s，則最快s后，四邊形ABPQ成為矩形．三、解答題19．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，AD的垂直平分線分別交AB，AD，AC于點(diǎn)E，O，F(xiàn)，連接DE，DF．(1)求證：四邊形AEDF是菱形；(2)若∠BAC=30°，∠C=45°，DE=12，求CF的長．20．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．(1)求證：四邊形OEFG是矩形；(2)若AD=10，EF=4，求OE和BO的長．21．如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)B′處，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，且(1)求CN的長；(2)求△B22．以△ABC的三邊在BC同側(cè)分別作三個等邊三角形△ABD，△BCE，△ACF，試回答下列問題：（1）四邊形ADEF是什么四邊形？請證明：（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形？（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是菱形？（4）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，能否構(gòu)成正方形？（5）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，無法構(gòu)成四邊形？23．如圖，已知在正方形ABCD中，AB=22，E為對角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形(1)求證：矩形DEFG是正方形；(2)試探究CE+(3)當(dāng)點(diǎn)E從A點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)時，則點(diǎn)G運(yùn)動的路徑長為．參考答案：1．C2．C3．B4．B5．D6．B7．B8．B9．C10．B11．512．12013．2.514．215．1816．7.817．2.518．解：∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=∠B=90°，AD=BC=20cm，設(shè)最快x秒，四邊形ABPQ成為矩形，則AQ=20-2x，BP=3x∵四邊形ABPQ是矩形∴AQ=BP∴3x=20-2x∴x=419．（1）證明：∵EF垂直平分線段AD，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC，∴∠EDA=∠DAC，∴DE∥AC，同理可得，DF∥AE，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵AE=DE，∴四邊形AEDF是菱形；（2）解：過D作DH⊥CF于H，∵四邊形AEDF是菱形，∴DF=DE=12，DF∥AB，∴∠DFC=∠BAC=30°，∴DH=12DF=6∵∠C=45°，∴DH=CH=6，∴CF=FH+CH=6320．（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴OB=OD，∵點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，∴AE=DE，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG為平行四邊形，∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°，∴平行四邊形OEFG為矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=10，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴OE=AE=1∵∠AFE=90°，EF=4，∴AF=A由（1）知，四邊形OEFG是矩形，∴OG=EF=4，F(xiàn)G=OE=5，∴BG=AB?AF?FG=2，∵∠OGB=90°，∴BO=O21．（1）根據(jù)折疊知，BN=B設(shè)CN＝a，則在Rt△B′∴(9?a)2解得x=4，即CN的長為4．（2）如圖，連接BM，MB′．因?yàn)锽′設(shè)DM=x，則AM=9?x，在Rt△ABM中，B在Rt△B′根據(jù)折疊知，BM=B′M即62解得x=7．∴S△所以△B22．解：（1）∵△BCE、△ABD是等邊三角形，∴∠DBA=∠EBC=60°，AB=BD，BE=BC，∴∠DBE=∠ABC，∴△DBE≌△ABC，

∴DE=AC，又△ACF是等邊三角形，

∴AC=AF，∴DE=AF，同理可證：AD=EF，

∴四邊形ADEF是平行四邊形．（2）假設(shè)四邊形ADEF是矩形，則∠DAF=90°，又∠DAB=∠FAC=60°，

∠DAB+∠FAC+∠DAF+∠BAC=360°∴∠BAC=150°．因此當(dāng)△ABC中的∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形．（3）假設(shè)四邊形ADEF是菱形，則AD=DE=EF=AF∵AB=AD，AC=AF，∴AB=AC因此當(dāng)△ABC中的AB=AC時，四邊形ADEF是菱形．（4）結(jié)合（2）（3）問可知當(dāng)∠BAC=150°且AB=AC時，四邊形ADEF是正方形．（5）由圖知道：∠DAB+∠FAC+∠DAF+∠BAC=360°∴當(dāng)∠BAC=60°時，D、A、F為同一直線，與E點(diǎn)構(gòu)不成四邊形，即以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在．23．（1）證明：作EK⊥BC于點(diǎn)K，EL⊥CD于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時，如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在邊BC的延長線上時，如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB，AD∴∠BCA=∠BAC∴∠BCA∴EK∵∠EKC∴四邊形E