直線過定點(diǎn)問題講義 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

直線過定點(diǎn)問題對于直線過定點(diǎn)問題，一般可以通過以下幾種方法來解決：一、特殊值法1.選取特殊的參數(shù)值：給參數(shù)賦兩個不同的特殊值，得到兩條具體的直線方程。2.求解交點(diǎn)：聯(lián)立這兩條直線方程，求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)。3.驗(yàn)證定點(diǎn)：將交點(diǎn)坐標(biāo)代入含參數(shù)的直線方程，驗(yàn)證對于任意參數(shù)值該點(diǎn)都在直線上，從而確定定點(diǎn)。二、分離參數(shù)法1.對含參數(shù)的直線方程進(jìn)行變形：將參數(shù)與變量分離到等式兩邊。2.確定定點(diǎn)條件：使得等式成立的條件是參數(shù)的系數(shù)為0，同時與參數(shù)無關(guān)的式子也為0，解方程組確定定點(diǎn)坐標(biāo)。例如，直線方程(m+1)x-(2m-1)y-3m=0，變形為m(x-2y-3)+(x+y)=0。令x-2y-3=0，x+y=0，解方程組得x=1，y=-1，所以直線過定點(diǎn)(1,-1)。三、將方程轉(zhuǎn)化為直線方程的點(diǎn)斜式，即可找到定點(diǎn)1.將含參數(shù)的直線方程轉(zhuǎn)化含參數(shù)的點(diǎn)斜式方程。2.通過點(diǎn)斜式的定義即可確定定點(diǎn)。直線過定點(diǎn)問題在解析幾何中具有重要地位，它常常與圓錐曲線等知識結(jié)合考查，需要你熟練掌握這些方法，并能靈活運(yùn)用。例1：已知直線(a+1)x+y-2a-1=0，求該直線所過的定點(diǎn)。解：將直線方程變形為a(x-2)+(x+y-1)=0。令x-2=0，x+y-1=0解方程組得x=2，y=-1所以直線過定點(diǎn)(2,-1)。例2：若直線：m(x+y-4)+(2x-y-2)=0，無論m取何值直線l都過定點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：由直線方程可得x+y-4=0，2x-y-2=0，將兩方程聯(lián)立求解解得x=2,y=2所以定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)。例3：直線kx-y+1-3k=0，當(dāng)k變動時，所有直線都過定點(diǎn)___。解：將直線方程變形為k(x-3)-y+1=0。y-1=k(x-3)所以直線過定點(diǎn)(3,1)。練習(xí)題：一、選擇題1.直線(m+2)x+(m-2)y-2m=0，無論m取何值，該直線恒過定點(diǎn)（）A.(-2,2)B.(2,-2)C.(1,-1)D.(-1,1)2.直線ax+(a+1)y+2=0恒過定點(diǎn)（）A.(2,-2)B.(-2,2)C.(-2,0)D.(0,-2)二、填空題1.若直線l：mx+ny-m-n=0恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為____。2.直線(k+1)x+ky-2k-3=0恒過定點(diǎn)____。三、解答題1.已知直線l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，求證：無論m取何值，直線l恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)。2.若直線l：kx+y+k-2=0恒過定點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。當(dāng)直線l繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，求所得直線的方程。已知直線l：(2k-1)x+(k+3)y-k+11=0，當(dāng)k變化時，直線l是否恒過定點(diǎn)？若恒過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過定點(diǎn)，請說明理由。答案：一、選擇題1.把直線方程(m+2)x+(m-2)y-2m=0變形為m(x+y-2)+2x-2y=0。-令x+y-2=0，2x-2y=0，解方程組。x=1，則y=1。-所以該直線恒過定點(diǎn)(1,1)，無正確選項(xiàng)。2.直線ax+(a+1)y+2=0可變形為a(x+y)+y+2=0。-令x+y=0，y+2=0，解方程組。-y=-2，x=2。-所以直線恒過定點(diǎn)(2,-2)，答案是B。二、填空題1.直線mx+ny-m-n=0變形為m(x-1)+n(y-1)=0。-令x-1=0，y-1=0，解得x=1，y=1。-定點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)。2.直線(k+1)x+ky-2k-3=0變形為k(x+y-2)+x-3=0。-令x+y-2=0，x-3=0，解方程組-x=3，代入x+y-2=0，得3+y-2=0，解得y=-1。-定點(diǎn)為(3,-1)。三、解答題1.將直線l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0變形為(m(2x+y-7)+x+y-4=0。-令2x+y-7=0，x+y-4=0，即2x+y-7-x-y+4=0，解得x=3，y=1。-所以無論m取何值，直線l恒過定點(diǎn)(3,1)。2.直線kx+y+k-2=0變形為k(x+1)+y-2=0。-令x+1=0，y-2=0，解得x=-1，y=2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,2)。-直線kx+y+k-2=0的斜率為k，當(dāng)直線l繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，所得直線的斜率為。-由點(diǎn)斜式可得所得直線方程為y-2=(x+1)。3.將直線l：(2k-1)x+(k+3)y-k+11