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2022-2023學年江西省各地高三第二次??紨?shù)學試題試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在中,,,,則在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-32.若的二項式展開式中二項式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)的值為()A.7 B.6 C.5 D.43.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),是的奇函數(shù),且,則的值為()A. B. C. D.4.在正方體中,,分別為,的中點,則異面直線,所成角的余弦值為()A. B. C. D.5.設為拋物線的焦點,,,為拋物線上三點,若,則().A.9 B.6 C. D.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的()A.4 B.5 C.6 D.77.已知函數(shù),,當時,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.8.下列命題中,真命題的個數(shù)為()①命題“若,則”的否命題;②命題“若,則或”;③命題“若,則直線與直線平行”的逆命題.A.0 B.1 C.2 D.39.在中,,,,為的外心,若,,,則()A. B. C. D.10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入,則輸出的的值為()A. B. C. D.11.若,則下列不等式不能成立的是()A. B. C. D.12.已知實數(shù)集,集合,集合,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.五聲音階是中國古樂基本音階,故有成語“五音不全”.中國古樂中的五聲音階依次為:宮、商、角、徵、羽,如果把這五個音階全用上,排成一個五個音階的音序,且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè),可排成______種不同的音序.14.已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù),,且,若,則________.15.在中,角,,的對邊分別為,,.若;且,則周長的范圍為__________.16.已知實數(shù),滿足,則目標函數(shù)的最小值為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某公園準備在一圓形水池里設置兩個觀景噴泉,觀景噴泉的示意圖如圖所示,兩點為噴泉,圓心為的中點,其中米,半徑米,市民可位于水池邊緣任意一點處觀賞.(1)若當時,,求此時的值;(2)設,且.(i)試將表示為的函數(shù),并求出的取值范圍;(ii)若同時要求市民在水池邊緣任意一點處觀賞噴泉時,觀賞角度的最大值不小于,試求兩處噴泉間距離的最小值.18.(12分)己知的內(nèi)角的對邊分別為.設(1)求的值;(2)若,且,求的值.19.(12分)等差數(shù)列中,,,分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且其中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)請選擇一個可能的組合,并求數(shù)列的通項公式;(2)記(1)中您選擇的的前項和為,判斷是否存在正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,若有,請求出的值;若沒有,請說明理由.20.(12分)已知都是各項不為零的數(shù)列,且滿足其中是數(shù)列的前項和,是公差為的等差數(shù)列.(1)若數(shù)列是常數(shù)列,,,求數(shù)列的通項公式;(2)若是不為零的常數(shù)),求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)若(為常數(shù),),.求證:對任意的恒成立.21.(12分)數(shù)列滿足,且.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.22.(10分)已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得,再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解:如圖所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故選D.點睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應用問題,也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應用問題.2.C【解析】
由二項式系數(shù)性質(zhì),的展開式中所有二項式系數(shù)和為計算.【詳解】的二項展開式中二項式系數(shù)和為,.故選:C.【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.3.B【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設中關(guān)于與關(guān)系,轉(zhuǎn)換成關(guān)于的關(guān)系式,通過變形求解出的周期,進而算出.【詳解】為上的奇函數(shù),,而函數(shù)是上的偶函數(shù),,,故為周期函數(shù),且周期為故選:B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的周期性的應用,屬于基礎題.4.D【解析】
連接,,因為,所以為異面直線與所成的角(或補角),不妨設正方體的棱長為2,取的中點為,連接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【詳解】連接,,因為,所以為異面直線與所成的角(或補角),不妨設正方體的棱長為2,則,,在等腰中,取的中點為,連接,則,,所以,即:,所以異面直線,所成角的余弦值為.故選:D.【點睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值,利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式,還考查空間思維和計算能力.5.C【解析】
設,,,由可得,利用定義將用表示即可.【詳解】設,,,由及,得,故,所以.故選:C.【點睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題,考查學生等價轉(zhuǎn)化的能力,是一道容易題.6.C【解析】
根據(jù)程序框圖程序運算即可得.【詳解】依程序運算可得:,故選:C【點睛】本題主要考查了程序框圖的計算,解題的關(guān)鍵是理解程序框圖運行的過程.7.D【解析】
由變形可得,可知函數(shù)在為增函數(shù),由恒成立,求解參數(shù)即可求得取值范圍.【詳解】,即函數(shù)在時是單調(diào)增函數(shù).則恒成立..令,則時,單調(diào)遞減,時單調(diào)遞增.故選:D.【點睛】本題考查構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問題,考查恒成立時求解參數(shù)問題,考查學生的分析問題的能力和計算求解的能力,難度較難.8.C【解析】
否命題與逆命題是等價命題,寫出①的逆命題,舉反例排除;原命題與逆否命題是等價命題,寫出②的逆否命題后,利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗證正確;寫出③的逆命題判,利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【詳解】①的逆命題為“若,則”,令,可知該命題為假命題,故否命題也為假命題;②的逆否命題為“若且,則”,該命題為真命題,故②為真命題;③的逆命題為“若直線與直線平行,則”,該命題為真命題.故選:C.【點睛】本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路:(1)判斷一個命題的真假時,首先要弄清命題的結(jié)構(gòu),即它的條件和結(jié)論分別是什么,然后聯(lián)系其他相關(guān)的知識進行判斷.(2)當一個命題改寫成“若,則”的形式之后,判斷這個命題真假的方法:①若由“”經(jīng)過邏輯推理,得出“”,則可判定“若,則”是真命題;②判定“若,則”是假命題,只需舉一反例即可.9.B【解析】
首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出,,即可求出的值.【詳解】如圖所示過做三角形三邊的垂線,垂足分別為,,,過分別做,的平行線,,由題知,則外接圓半徑,因為,所以,又因為,所以,,由題可知,所以,,所以.故選:D.【點睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì),正弦定理,平面向量分解定理,屬于一般題.10.C【解析】
由程序語言依次計算,直到時輸出即可【詳解】程序的運行過程為當n=2時,時,,此時輸出.故選:C【點睛】本題考查由程序框圖計算輸出結(jié)果,屬于基礎題11.B【解析】
根據(jù)不等式的性質(zhì)對選項逐一判斷即可.【詳解】選項A:由于,即,,所以,所以,所以成立;選項B:由于,即,所以,所以,所以不成立;選項C:由于,所以,所以,所以成立;選項D:由于,所以,所以,所以,所以成立.故選:B.【點睛】本題考查不等關(guān)系和不等式,屬于基礎題.12.A【解析】
可得集合,求出補集,再求出即可.【詳解】由,得,即,所以,所以.故選:A【點睛】本題考查了集合的補集和交集的混合運算,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】
按照“角”的位置分類,分“角”在兩端,在中間,以及在第二個或第四個位置上,即可求出.【詳解】①若“角”在兩端,則宮、羽兩音階一定在角音階同側(cè),此時有種;②若“角”在中間,則不可能出現(xiàn)宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè);③若“角”在第二個或第四個位置上,則有種;綜上,共有種.故答案為:1.【點睛】本題主要考查利用排列知識解決實際問題,涉及分步計數(shù)乘法原理和分類計數(shù)加法原理的應用,意在考查學生分類討論思想的應用和綜合運用知識的能力,屬于基礎題.14.【解析】
設等差數(shù)列的公差為,根據(jù),且,可得,解得,進而得出結(jié)論.【詳解】設公差為,因為,所以,所以,所以故答案為:【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式、需熟記公式,屬于基礎題.15.【解析】
先求角,再用余弦定理找到邊的關(guān)系,再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解:所以三角形周長故答案為:【點睛】考查正余弦定理、基本不等式的應用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件;基礎題.16.-1【解析】
作出不等式對應的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識,通過平移即可求z的最大值.【詳解】作出實數(shù)x,y滿足對應的平面區(qū)域如圖陰影所示;由z=x+2y﹣1,得yx,平移直線yx,由圖象可知當直線yx經(jīng)過點A時,直線yx的縱截距最小,此時z最?。桑肁(﹣1,﹣1),此時z的最小值為z=﹣1﹣2﹣1=﹣1,故答案為﹣1.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,是基礎題三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)(i),;(ii).【解析】
(1)在中,由正弦定理可得所求;(2)(i)由余弦定理得,兩式相加可得所求解析式.(ii)在中,由余弦定理可得,根據(jù)的最大值不小于可得關(guān)于的不等式,解不等式可得所求.【詳解】(1)在中,由正弦定理得,所以,即.(2)(i)在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得,又所以,即.又,解得,所以所求關(guān)系式為,.(ii)當觀賞角度的最大時,取得最小值.在中,由余弦定理可得,因為的最大值不小于,所以,解得,經(jīng)驗證知,所以.即兩處噴泉間距離的最小值為.【點睛】本題考查解三角形在實際中的應用,解題時要注意把條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊或角,然后借助正余弦定理進行求解.解題時要注意三角形邊角關(guān)系的運用,同時還要注意所得結(jié)果要符合實際意義.18.(1)(2)【解析】
(1)由正弦定理將,轉(zhuǎn)化,即,由余弦定理求得,再由平方關(guān)系得再求解.(2)由,得,結(jié)合再求解.【詳解】(1)由正弦定理,得,即,則,而,又,解得,故.(2)因為,則,因為,故,故,解得,故,則.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式,考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19.(1)見解析,或;(2)存在,.【解析】
(1)滿足題意有兩種組合:①,,,②,,,分別計算即可;(2)由(1)分別討論兩種情況,假設存在正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,即,解方程是否存在正整數(shù)解即可.【詳解】(1)由題意可知:有兩種組合滿足條件:①,,,此時等差數(shù)列,,,所以其通項公式為.②,,,此時等差數(shù)列,,,所以其通項公式為.(2)若選擇①,.則.若,,成等比數(shù)列,則,即,整理,得,即,此方程無正整數(shù)解,故不存在正整數(shù),使,,成等比數(shù)列.若選則②,,則,若,,成等比數(shù)列,則,即,整理得,因為為正整數(shù),所以.故存在正整數(shù),使,,成等比數(shù)列.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和,涉及到等比數(shù)列的性質(zhì),是一道中檔題.20.(1);(2)詳見解析;(3)詳見解析.【解析】
(1)根據(jù),可求得,再根據(jù)是常數(shù)列代入根據(jù)通項與前項和的關(guān)系求解即可.(2)取,并結(jié)合通項與前項和的關(guān)系可求得再根據(jù)化簡可得,代入化簡即可知,再證明也成立即可.(3)由(2)當時,,代入所給的條件化簡可得,進而證明可得,即數(shù)列是等比數(shù)列.繼而求得,再根據(jù)作商法證明即可.【詳解】解:.是各項不為零的常數(shù)列,則,則由,及得,當時,,兩式作差,可得.當時,滿足上式,則;證明:,當時,,兩式相減得:即.即.又,,即.當時,,兩式相減得:.數(shù)列從第二項起是公差為的等差數(shù)列.又當時,由得,當時,由,得.故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列;證明:由,當時,,即,,,即,即,當時,即.故從第二項起數(shù)列是等比數(shù)列,當時,..另外,由已知條件可得,又,,因而.令,則.故對任意的恒成立.【點睛】本題主要考查了等差等比數(shù)列的綜合運用,需要熟練運用通項與前項和的關(guān)系分析數(shù)列的遞推公式繼而求解通項公式或證明等差數(shù)列等.同時也考查了數(shù)列中的不等式證明等,需要根據(jù)題意分析數(shù)列為等比數(shù)列并求出通項,再利用作商法證明.屬于難題.21.(1)證明見解析,;(2)【解析】
(1)利用,推出,然后利用等差數(shù)列的通項公式,即可求解;(2)由(1)知,利用裂項法,即可求解數(shù)列的前n項和.【詳解】(1)
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