2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.5.2平行關(guān)系的性質(zhì)學(xué)案含解析北師大版必修2

PAGE5.2平行關(guān)系的性質(zhì)考綱定位重難突破1.理解直線與平面平行和平面與平面平行的性質(zhì)定理的含義．2.能用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言精確地描述兩個(gè)平行關(guān)系的性質(zhì)定理．3.能運(yùn)用兩個(gè)平行關(guān)系的性質(zhì)定理證明一些空間線面平行、面面平行關(guān)系的簡(jiǎn)潔問題.重點(diǎn)：直線與平面平行和平面與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用．難點(diǎn)：利用直線與平面平行的性質(zhì)定理時(shí)，“協(xié)助平面”的作法，以及利用面面平行性質(zhì)定理時(shí)，“第三個(gè)平面”的選擇．疑點(diǎn)：解題時(shí)易把異面直線當(dāng)成同一平面內(nèi)的直線而出錯(cuò).授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第16頁(yè)[自主梳理]一、直線與平面平行的性質(zhì)文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)語(yǔ)言假如一條直線與一個(gè)平面平行，那么過該直線的隨意一個(gè)平面與已知平面的交線與該直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,aβ,α∩β＝b,))?a∥b二、平面與平面平行的性質(zhì)文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)語(yǔ)言假如兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,γ∩α＝a,γ∩β＝b))?a∥b[雙基自測(cè)]1．已知直線a，b和平面α，β，則下列結(jié)論正確的是()A．若a∥β，α∥β，則a∥αB．若α∥β，aα，則a∥βC．若α∥β，aα，bβ，則a∥bD．若a∥β，b∥α，α∥β，則a∥b解析：選項(xiàng)A中a可能在α內(nèi)；選項(xiàng)C中a，b可能異面；選項(xiàng)D中，a，b也可能異面或相交；選項(xiàng)B中，α∥β，aα，則a與β無(wú)公共點(diǎn)，所以a∥β.答案：B2．兩個(gè)平行平面與另兩個(gè)平行平面相交所得四條直線的位置關(guān)系是()A．兩兩相互平行B．兩兩相交于同一點(diǎn)C．兩兩相交但不肯定交于同一點(diǎn)D．兩兩相互平行或交于同一點(diǎn)解析：依據(jù)面面平行的性質(zhì)，知四條交線兩兩相互平行，故選A.答案：A3．如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，若過A、C、B1三點(diǎn)的平面與底面A1B1C1D1的交線為l，則l與解析：因?yàn)锳C∥平面A1B1C1D1，由線面平行的性質(zhì)定理知l∥AC.答案：平行4.如圖，過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)B1，D1與棱AB的中點(diǎn)P的平面與底面ABCD所在平面的交線記為l，則l與B1D1的位置關(guān)系為________．解析：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面B1D1P∩平面A1B1C1D＝B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝l，所以l∥B1D1.答案：l∥B1D15.如圖，異面直線AB，CD被三個(gè)平行平面α，β，γ所截．A，D∈α，B，C∈γ，AC，AB，DB，DC分別交β于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，試推斷四邊形EFGH的形態(tài)，并說明理由．解析：四邊形EFGH是平行四邊形．理由如下：∵β∥γ，平面ABC∩β＝EF，平面ABC∩γ＝BC，∴EF∥BC.同理GH∥BC.∴EF∥HG.同理可證EH∥FG.∴四邊形EFGH是平行四邊形．授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第17頁(yè)探究一線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用[典例1]如圖，已知ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.[證明]如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，∵ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)．又M是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM.依據(jù)直線和平面平行的判定定理，知PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，依據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理，得PA∥GH.利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟1.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，當(dāng)BD∥平面EFGH時(shí)，下面結(jié)論正確的是()A．E，F(xiàn)，G，H肯定是所在邊的中點(diǎn)B．G，H肯定分別是CD，DA的中點(diǎn)C．EB∶AE＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC解析：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，則AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC，故選D.答案：D探究二面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用[典例2]已知α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點(diǎn)S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34，求當(dāng)S在α，β之間時(shí)SC的長(zhǎng)．[解析]如圖所示．∵AB與CD相交于S，∴AB，CD可確定平面γ，且α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.∵α∥β，∴AC∥BD，∴eq\f(SA,SB)＝eq\f(SC,SD)，∵eq\f(SA,SA＋SB)＝eq\f(SC,CD)，即eq\f(SC,34)＝eq\f(8,17)，解得SC＝16.利用面面平行的性質(zhì)定理證明線線平行的基本步驟(1)先找兩個(gè)平面，使這兩個(gè)平面分別經(jīng)過這兩條直線中的一條；(2)判定這兩個(gè)平面平行；(3)再找一個(gè)平面，使這兩條直線都在這個(gè)平面內(nèi)；(4)由定理得出結(jié)論．2．如圖，已知α∥β，點(diǎn)P是平面α，β外的一點(diǎn)(不在α與β之間)，直線PB，PD分別與α，β相交于點(diǎn)A，B和C，D.(1)求證：AC∥BD；(2)若PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的長(zhǎng)．解析：(1)證明：∵PB∩PD＝P，∴直線PB和PD確定一個(gè)平面γ，則α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又∵α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴eq\f(PA,AB)＝eq\f(PC,CD).∴eq\f(4,5)＝eq\f(3,CD)，∴CD＝eq\f(15,4)(cm)．∴PD＝PC＋CD＝eq\f(27,4)(cm)．探究三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用[典例3]如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求證：l∥BC；(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論．[解析](1)證明：因?yàn)锳D∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD＝l，所以l∥AD∥BC.(2)平行．證明如下：設(shè)Q是CD的中點(diǎn)，連接NQ，MQ，因?yàn)镸、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，所以MQ∥AD，NQ∥PD.因?yàn)镸Q平面PAD，NQ平面PAD，AD平面PAD，PD平面PAD，且MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，所以平面MNQ∥平面PAD.因?yàn)镸N平面MNQ，所以MN∥平面PAD.證明面面平行，轉(zhuǎn)化為證明線面平行，而要證線面平行，轉(zhuǎn)化為證明線線平行．在立體幾何中，通過線線、線面、面面間的位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，使問題順當(dāng)?shù)玫浇鉀Q．嫻熟駕馭這種轉(zhuǎn)化的思想方法，就能找到解題的突破口．這是高考重點(diǎn)考查的證明平行的方法，應(yīng)引起重視．3.如圖所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時(shí)，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．解析：(1)如圖所示，連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知，四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)．∵BC1平面A1BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1，BC1∥平面AB1D1，∴BC1∥OD1.又在△A1BC1中，點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)，∴D1為A1C1的中點(diǎn)．故當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.(2)∵平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，∴BC1∥D1O，同理可得AD1∥DC1，∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，∴eq\f(A1O,OB)＝eq\f(DC,AD)，又eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.函數(shù)思想在線面平行中的應(yīng)用[典例]如圖所示，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD，試問截面在什么位置時(shí)其截面面積最大．[解析]因?yàn)锳B∥平面EFGH，平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG、EH.所以AB∥FG，AB∥EH，所以FG∥EH.同理可得EF∥GH，所以截面EFGH是平行四邊形．設(shè)AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α(α即為異面直線AB和CD所成的角或其補(bǔ)角)．又設(shè)FG＝x，GH＝y(tǒng)，則由平面幾何學(xué)問可得eq\f(x,a)＝eq\f(CG,BC)，eq\f(y,b)＝eq\f(BG,BC)，兩式相加得eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即y＝eq\f(b,a)(a－x)，所以S?EFGH＝FG·GH·sinα＝x·eq\f(b,a)·(a－x)·sinα＝eq\f(bsinα,a)x(a－x)＝eq\f(b,a)sinαeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋\f(a2,4)))(0<x<a)．所以當(dāng)x＝eq\f(a,2)時(shí)，S?EFGH最大＝eq\f(absinα,4)，即當(dāng)截面EFGH的頂點(diǎn)E、F、G、H分別為棱AD、AC、BC、BD的中點(diǎn)時(shí)，截面面積最大．[感悟提高](1)對(duì)于立體幾何中的有關(guān)最值問題，當(dāng)利用幾何性質(zhì)不能斷定時(shí)，常轉(zhuǎn)化為考慮函數(shù)方法求解．(2)利用函數(shù)思想解立體幾何問題時(shí)，首先應(yīng)把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用函數(shù)的有關(guān)學(xué)問解決相應(yīng)問題．[隨堂訓(xùn)練]對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第18頁(yè)1．下列說法中正確的是()①一條直線假如和一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的多數(shù)條直線平行；②一條直線和一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的任何直線無(wú)公共點(diǎn)；③過直線外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面和已知直線平行；④假如直線l和平面α平行，那么過平面α內(nèi)一點(diǎn)和直線l平行的直線在α內(nèi)．A．①②③④ B．①②③C．②④ D．①②④解析：由線面平行的性質(zhì)定理知①④正確；由直線與平面平行的定義知②正確；經(jīng)過直線外一點(diǎn)可作一條直線與已知直線平行，而經(jīng)過這條直線可作多數(shù)個(gè)平面，故③錯(cuò)．選D.答案：D2．與兩個(gè)相交平面的交線平行的直線和這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是()A．都平行 B．都相交C．在兩個(gè)平面內(nèi) D．至少和其中一個(gè)平行解析：它可以在一個(gè)平面內(nèi)與另一個(gè)平面平行，也可以和兩個(gè)平面都平行．答案：D3.如圖是長(zhǎng)方體被一個(gè)平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形態(tài)為________．解析：由于原來的幾何體是長(zhǎng)方體，所以平面ABFE∥平面DCGH，從而可得EF∥HG，同理可得HE∥GF，故EFGH是平行四邊形．答案：平行四邊形4.如圖，在四棱錐O-ABCD