2024-2025學年新教材高中數學第六章導數及其應用6.3利用導數解決實際問題課時素養(yǎng)評價含解析新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE課時素養(yǎng)評價二十利用導數解決實際問題(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)1.用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架,若容器底面的長比寬多0.5m,A.0.5m B.0.7m 【解析】選C.設寬為xm,則長為(x+0.5)m,因為總長為14.8m,所以高為(3.2-2x)m,0<x<1.6,所以體積為V=x(0.5+x)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x,V′=-6x2+4.4x+1.6,當x=1時,V有極大值亦為最大值.2.若函數f(x)=x3-3x在區(qū)間(a,6-a2)上有最小值,則實數a的取值范圍是()A.(-QUOTE,1) B.[-QUOTE,1)C.[-2,1) D.(-QUOTE,-2]【解析】選C.由于函數f(x)在開區(qū)間(a,6-a2)上有最小值,則函數f(x)的微小值點在(a,6-a2)內,且在(a,6-a2)上的單調性是先減再增.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),當-1<x<1時,f′(x)<0,當x>1,f′(x)>0,所以函數f(x)的微小值為f(1).又函數f(x)=x3-3x在區(qū)間(a,6-a2)上有最小值,所以f(a)≥f(1),由QUOTE解得-2≤a<1.3.函數y=f(x)=xsinx在[-π,π]上的圖象大致為 ()【解析】選C.fQUOTE=QUOTE·sinQUOTE=xsinx=f(x),為偶函數,則B,D錯誤;又當x∈QUOTE時,f′(x)=sinx+xcosx,當f′(x)=sinx+xcosx=0時,得x=-tanx,由,則極值點x0∈QUOTE,故A錯誤.4.(多選題)若f(x)是定義在(0,+∞)上的可導函數,且對于隨意x∈(0,+∞),有xf′(x)>f(x)>0,設a>b>0,則下列不等式肯定成立的是 ()A.af(a)>bf(b) B.af(a)<bf(b)C.af(b)>bf(a) D.af(b)<bf(a)【解析】選AD.因為x∈(0,+∞),有xf′(x)>f(x)>0,令g(x)=QUOTE,則g′(x)=QUOTE>0,所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增,由a>b>0,可得g(a)>g(b)即QUOTE>QUOTE,所以bf(a)>af(b),故D正確;因為xf′(x)>f(x)>0,令h(x)=xf(x),則h′(x)=xf′(x)+f(x)>0,所以h(x)在(0,+∞)上單調遞增,由a>b>0,可得h(a)>h(b),即af(a)>bf(b),故A正確.二、填空題(每小題5分,共10分)5.若曲線f(x)=QUOTEx2-alnx在點(1,f(1))處的切線與直線x+3y+1=0垂直,則常數a=________.

【解析】由函數f(x)=QUOTEx2-alnx,可得f′(x)=x-QUOTE,所以f′(1)=1-a,即在點(1,f(1))處的切線斜率為k=1-a,又由在點(1,f(1))處的切線與直線x+3y+1=0垂直,所以(1-a)×QUOTE=-1,解得a=-2.答案:-26.某商場從生產廠家以每件20元購進一批商品,若該商品定價為P元,則銷售量Q(單位:件)與定價P(單位:元)有如下關系:Q=8300-170P-P2,則該商品定價為________元時,毛利潤L最大為________元.

【解析】由題意得毛利潤L=P·Q-20Q=-P3-150P2+11700P-166000(P≥20),所以L′=-3P2-300P+11700.令L′=0,得P=30或P=-130(舍去).當P∈[20,30)時,L′>0;當P∈(30,+∞)時,L′<0,所以當P=30時,L取得極大值,也是最大值.故當定價為30元時,毛利潤最大為L=23000元.答案:3023000三、解答題(每小題10分,共20分)7.某工廠每天生產某種產品最多不超過40件,并且在生產過程中產品的正品率P與每日生產量x(x∈N+)件之間的關系為P=QUOTE,每生產一件正品盈利4000元,每出現一件次品虧損2000元.(注:正品率=產品中的正品件數÷產品總件數×100%)(1)將日利潤y(元)表示成日產量x(件)的函數.(2)求該廠的日產量為多少件時,日利潤最大?并求出日利潤的最大值.【解析】(1)因為y=4000×QUOTEx-20001-QUOTEx=3600x-QUOTEx3,所以所求的函數關系式是y=-QUOTEx3+3600x(x∈N+,1≤x≤40).(2)明顯y′=3600-4x2.令y′=0,解得x=30.所以當1≤x<30時,y′>0;當30<x≤40時,y′<0.所以函數y=-QUOTEx3+3600x(x∈N+,1≤x≤40)在[1,30)上單調遞增,在(30,40]上單調遞減.所以當x=30時,函數y=-QUOTEx3+3600x(x∈N+,1≤x≤40)取得最大值,ymax=-QUOTE×303+3600×30=72000(元).所以該廠的日產量為30件時,日利潤最大,其最大值為72000元.8.已知f(x)=lnx-x+a,x∈(0,2].(1)求f(x)的單調區(qū)間.(2)若f(x)<a2-3對隨意的x∈(0,2]恒成立,求實數a的取值范圍.【解析】(1)f′(x)=QUOTE-1,令f′(x)=0,得x=1.當0<x<1時,f′(x)>0,f(x)單調遞增;當1<x≤2時,f′(x)<0,f(x)單調遞減.所以f(x)的單調增區(qū)間為(0,1),f(x)的單調減區(qū)間為(1,2].(2)由(1)知x=1時,f(x)取得最大值,即f(x)max=a-1.因為f(x)<a2-3對隨意的x∈(0,2]恒成立,所以a-1<a2-3,解得a>2或a<-1.故a的取值范圍為(-∞,-1)∪(2,+∞).(20分鐘·40分)1.(5分)已知圓柱的表面積為定值S,則當圓柱的容積V最大時,圓柱的高h的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設圓柱的底面半徑為r,高為h,則S=2πr2+2πrh.所以h=QUOTE.又圓柱的體積V(r)=πr2h=QUOTE(S-2πr2)=QUOTE.而V′(r)=QUOTE,令V′(r)=0,得S=6πr2,得h=2r,又r=QUOTE,所以h=2QUOTE=QUOTE.即當圓柱的容積V最大時,圓柱的高h為QUOTE.2.(5分)已知函數f(x)=aQUOTE-2lnx(a∈R),g(x)=-QUOTE,若至少存在一個x0∈[1,e],使f(x0)>g(x0)成立,則實數a的取值范圍為 ()A.QUOTE B.(0,+∞)C.[0,+∞) D.QUOTE【解析】選B.由題意得f(x)-g(x)>0在[1,e]上有解,即ax-2lnx>0在[1,e]上有解,所以a>QUOTE.設y=QUOTE,則y′=QUOTE≥0,所以y=QUOTE在[1,e]上單調遞增,所以ymin=QUOTE=0,故得a>0.3.(5分)設函數f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若對于隨意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立,則實數a的取值范圍為__________.

【解析】因為x∈(0,1],f(x)≥0可化為a≥QUOTE-QUOTE.設g(x)=QUOTE-QUOTE,則g′(x)=QUOTE,令g′(x)=0,得x=QUOTE.當0<x<QUOTE時,g′(x)>0;當QUOTE<x≤1時,g′(x)<0.所以g(x)在(0,1]上有極大值gQUOTE=4,它也是最大值,所以a≥4.答案:[4,+∞)4.(5分)已知函數f(x)=ex-x2-1,若f(x)≥kx對隨意的x∈(0,+∞)恒成立,則實數k的取值范圍為__________.

【解析】f(x)≥kx對隨意的x∈(0,+∞)恒成立等價于QUOTE≥k對隨意的x∈(0,+∞)恒成立.令φ(x)=QUOTE,x>0,則φ′(x)=QUOTE=QUOTE,當x∈(0,+∞)時,ex-x-1>0恒成立,令φ′(x)>0,得x>1;令φ′(x)<0,得0<x<1,所以函數φ(x)的單調增區(qū)間為(1,+∞),單調減區(qū)間為(0,1),所以φ(x)min=φ(1)=e-2,所以k≤φ(x)min=e-2,故實數k的取值范圍為(-∞,e-2].答案:(-∞,e-2]5.(10分)已知函數f(x)=QUOTEx3+ax+b(a,b∈R)在x=2處取得微小值-QUOTE.(1)求f(x)的單調遞增區(qū)間.(2)若f(x)≤m2+m+QUOTE在[-4,3]上恒成立,求實數m的取值范圍.【解析】(1)f′(x)=x2+a,由f′(2)=0得a=-4;再由f(2)=-QUOTE,得b=4.所以f(x)=QUOTEx3-4x+4,f′(x)=x2-4.令f′(x)=x2-4>0,得x>2或x<-2.所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,-2),(2,+∞).(2)因為f(-4)=-QUOTE,f(-2)=QUOTE,f(2)=-QUOTE,f(3)=1,所以函數f(x)在[-4,3]上的最大值為QUOTE.要使f(x)≤m2+m+QUOTE在[-4,3]上恒成立,只需m2+m+QUOTE≥QUOTE,解得m≥2或m≤-3.所以實數m的取值范圍是(-∞,-3]∪[2,+∞).6.(10分)(2024·江蘇高考)某地打算在山谷中建一座橋梁,橋址位置的豎直截面圖如圖所示:谷底O在水平線MN上,橋AB與MN平行,OO′為鉛垂線(O′在AB上),經測量,左側曲線AO上任一點D到MN的距離h1(米)與D到OO′的距離a(米)之間滿意關系式h1=QUOTEa2;右側曲線BO上任一點F到MN的距離h2(米)與F到OO′的距離b(米)之間滿意關系式h2=-QUOTEb3+6b.已知點B到OO′的距離為40米.(1)求橋AB的長度;(2)安排在谷底兩側建立平行于OO′的橋墩CD和EF.且CE為80米,其中C,E在AB上(不包括端點).橋墩EF每米造價k(萬元),橋墩CD每米造價QUOTEk(萬元)(k>0),問O′E為多少米時,橋墩CD與EF的總造價最低?【解析】(1)過A,B分別作MN的垂線,垂足為A′,B′,則AA′=BB′=-QUOTE×403+6×40=160(米).令QUOTEa2=160,得a=80,所以AO′=80,AB=AO′+BO′=80+40=120(米).(2)設O′E=x,則CO′=80-x,由QUOTE,得0<x<40.設總造價為y,則y=QUOTE+kQUOTE=QUOTE(x3-30x2+160×800),y′=QUOTE(3x2-60x)=QUOTEx(x-20),因為k>0,所以令y′=0,得x=0或x=20,所以當0<x<20時,y′<0,y單調遞減;當20<x<40時,y′>0,y單調遞增.所以,當x=20時,y取最小值,即當O′E為20米時,造價最低.1.如圖,已知圓柱和半徑為QUOTE的半球O,圓柱的下底面在半球O底面所在平面上,圓柱的上底面內接于球O,則該圓柱體積的最大值為________.

【解析】設圓柱的底面圓半徑為r,高為h,球的半徑為R;則h2+r2=R2=3;所以圓柱的體積為V=πr2h=π(3-h2)h=π(3h-h3);則V′(h)=π(3-3h2),令V′(h)=0,解得h=1,所以h∈(0,1)時,V′(h)>0,V(h)單調遞增;h∈(1,QUOTE)時,V′(h)<0,V(h)單調遞減,所以當h=1時,V(h)取得最大值為V(1)=2π.答案:2π2.已知函數f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,證明:當x≥0時,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)上有兩個零點,求a的取值范圍.【解析】(1)當a=1時,函數f(x)=ex-x2,則f′(x)=ex-2x,令g(x)=ex-2x,則g′(x)=ex-2,令g′(x)=0,得x=ln2.當x∈QUOTE時,g′(x)<0,當x∈QUOTE時,g′(x)>0,所以g(x)在x=ln2時取微小值,也是最小值,g(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4=lnQUOTE>0,所以g(x)>0,所以f′(x)>0,所以f(x)在QUOTE上單調遞增,所以f(x)≥fQUOTE=1.(2)f(x)在QUOTE上有兩個零點?方程ex-ax2=0在QUOTE上有兩個根?a=QUOTE在QUOTE上有兩個根,即函數y=a與G(x)=QUOTE的圖象在QUOTE上有兩個交點.G′(x)=QUOTE,當x∈QUOTE時,G′(x)<0,G(x)在QUOTE上遞減,當x∈QUOTE時,G′(x)>0,G(x)在QUOTE上遞增,所以G(x)的最小值為GQUOTE=QUOTE,當x→0時,G(x)→+∞,當x→+∞時,G(x)→+∞,所以f(x)在QUOTE上有兩個零點時,a的取值范圍是QUOTE.3.(2024·全國Ⅲ卷)函數f(x)=x3+bx+c,曲線y=f(x)在點QUOTE處的切線與y軸垂直.(1)求b;(2)若f(x)有一個肯定值不大于1的零點,證明f(x)全部零點的肯定值都不大于1.【解析】(1)因為f′(x)=3x2+b,由題意,f′QUOTE=0,即3×QUOTE+b=0,則b=-QUOTE.(2)由(1)可得f(x)=x3-QUOTEx+c,f′(x)=3x2-QUOTE=3QUOTE,令f′(x)>0,得x>QUOTE或x<-QUOTE;令f′(x)<0,得-QUOTE