2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.3利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)二十利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架,若容器底面的長(zhǎng)比寬多0.5m,A.0.5m B.0.7m 【解析】選C.設(shè)寬為xm,則長(zhǎng)為(x+0.5)m,因?yàn)榭傞L(zhǎng)為14.8m,所以高為(3.2-2x)m,0<x<1.6,所以體積為V=x(0.5+x)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x,V′=-6x2+4.4x+1.6,當(dāng)x=1時(shí),V有極大值亦為最大值.2.若函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間(a,6-a2)上有最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-QUOTE,1) B.[-QUOTE,1)C.[-2,1) D.(-QUOTE,-2]【解析】選C.由于函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,6-a2)上有最小值,則函數(shù)f(x)的微小值點(diǎn)在(a,6-a2)內(nèi),且在(a,6-a2)上的單調(diào)性是先減再增.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),當(dāng)-1<x<1時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x>1,f′(x)>0,所以函數(shù)f(x)的微小值為f(1).又函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間(a,6-a2)上有最小值,所以f(a)≥f(1),由QUOTE解得-2≤a<1.3.函數(shù)y=f(x)=xsinx在[-π,π]上的圖象大致為 ()【解析】選C.fQUOTE=QUOTE·sinQUOTE=xsinx=f(x),為偶函數(shù),則B,D錯(cuò)誤;又當(dāng)x∈QUOTE時(shí),f′(x)=sinx+xcosx,當(dāng)f′(x)=sinx+xcosx=0時(shí),得x=-tanx,由,則極值點(diǎn)x0∈QUOTE,故A錯(cuò)誤.4.(多選題)若f(x)是定義在(0,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù),且對(duì)于隨意x∈(0,+∞),有xf′(x)>f(x)>0,設(shè)a>b>0,則下列不等式肯定成立的是 ()A.af(a)>bf(b) B.af(a)<bf(b)C.af(b)>bf(a) D.af(b)<bf(a)【解析】選AD.因?yàn)閤∈(0,+∞),有xf′(x)>f(x)>0,令g(x)=QUOTE,則g′(x)=QUOTE>0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,由a>b>0,可得g(a)>g(b)即QUOTE>QUOTE,所以bf(a)>af(b),故D正確;因?yàn)閤f′(x)>f(x)>0,令h(x)=xf(x),則h′(x)=xf′(x)+f(x)>0,所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,由a>b>0,可得h(a)>h(b),即af(a)>bf(b),故A正確.二、填空題(每小題5分,共10分)5.若曲線f(x)=QUOTEx2-alnx在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+3y+1=0垂直,則常數(shù)a=________.

【解析】由函數(shù)f(x)=QUOTEx2-alnx,可得f′(x)=x-QUOTE,所以f′(1)=1-a,即在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為k=1-a,又由在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+3y+1=0垂直,所以(1-a)×QUOTE=-1,解得a=-2.答案:-26.某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元購(gòu)進(jìn)一批商品,若該商品定價(jià)為P元,則銷售量Q(單位:件)與定價(jià)P(單位:元)有如下關(guān)系:Q=8300-170P-P2,則該商品定價(jià)為________元時(shí),毛利潤(rùn)L最大為________元.

【解析】由題意得毛利潤(rùn)L=P·Q-20Q=-P3-150P2+11700P-166000(P≥20),所以L′=-3P2-300P+11700.令L′=0,得P=30或P=-130(舍去).當(dāng)P∈[20,30)時(shí),L′>0;當(dāng)P∈(30,+∞)時(shí),L′<0,所以當(dāng)P=30時(shí),L取得極大值,也是最大值.故當(dāng)定價(jià)為30元時(shí),毛利潤(rùn)最大為L(zhǎng)=23000元.答案:3023000三、解答題(每小題10分,共20分)7.某工廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品最多不超過40件,并且在生產(chǎn)過程中產(chǎn)品的正品率P與每日生產(chǎn)量x(x∈N+)件之間的關(guān)系為P=QUOTE,每生產(chǎn)一件正品盈利4000元,每出現(xiàn)一件次品虧損2000元.(注:正品率=產(chǎn)品中的正品件數(shù)÷產(chǎn)品總件數(shù)×100%)(1)將日利潤(rùn)y(元)表示成日產(chǎn)量x(件)的函數(shù).(2)求該廠的日產(chǎn)量為多少件時(shí),日利潤(rùn)最大?并求出日利潤(rùn)的最大值.【解析】(1)因?yàn)閥=4000×QUOTEx-20001-QUOTEx=3600x-QUOTEx3,所以所求的函數(shù)關(guān)系式是y=-QUOTEx3+3600x(x∈N+,1≤x≤40).(2)明顯y′=3600-4x2.令y′=0,解得x=30.所以當(dāng)1≤x<30時(shí),y′>0;當(dāng)30<x≤40時(shí),y′<0.所以函數(shù)y=-QUOTEx3+3600x(x∈N+,1≤x≤40)在[1,30)上單調(diào)遞增,在(30,40]上單調(diào)遞減.所以當(dāng)x=30時(shí),函數(shù)y=-QUOTEx3+3600x(x∈N+,1≤x≤40)取得最大值,ymax=-QUOTE×303+3600×30=72000(元).所以該廠的日產(chǎn)量為30件時(shí),日利潤(rùn)最大,其最大值為72000元.8.已知f(x)=lnx-x+a,x∈(0,2].(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)若f(x)<a2-3對(duì)隨意的x∈(0,2]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)f′(x)=QUOTE-1,令f′(x)=0,得x=1.當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)1<x≤2時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(1,2].(2)由(1)知x=1時(shí),f(x)取得最大值,即f(x)max=a-1.因?yàn)閒(x)<a2-3對(duì)隨意的x∈(0,2]恒成立,所以a-1<a2-3,解得a>2或a<-1.故a的取值范圍為(-∞,-1)∪(2,+∞).(20分鐘·40分)1.(5分)已知圓柱的表面積為定值S,則當(dāng)圓柱的容積V最大時(shí),圓柱的高h(yuǎn)的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則S=2πr2+2πrh.所以h=QUOTE.又圓柱的體積V(r)=πr2h=QUOTE(S-2πr2)=QUOTE.而V′(r)=QUOTE,令V′(r)=0,得S=6πr2,得h=2r,又r=QUOTE,所以h=2QUOTE=QUOTE.即當(dāng)圓柱的容積V最大時(shí),圓柱的高h(yuǎn)為QUOTE.2.(5分)已知函數(shù)f(x)=aQUOTE-2lnx(a∈R),g(x)=-QUOTE,若至少存在一個(gè)x0∈[1,e],使f(x0)>g(x0)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.QUOTE B.(0,+∞)C.[0,+∞) D.QUOTE【解析】選B.由題意得f(x)-g(x)>0在[1,e]上有解,即ax-2lnx>0在[1,e]上有解,所以a>QUOTE.設(shè)y=QUOTE,則y′=QUOTE≥0,所以y=QUOTE在[1,e]上單調(diào)遞增,所以ymin=QUOTE=0,故得a>0.3.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若對(duì)于隨意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.

【解析】因?yàn)閤∈(0,1],f(x)≥0可化為a≥QUOTE-QUOTE.設(shè)g(x)=QUOTE-QUOTE,則g′(x)=QUOTE,令g′(x)=0,得x=QUOTE.當(dāng)0<x<QUOTE時(shí),g′(x)>0;當(dāng)QUOTE<x≤1時(shí),g′(x)<0.所以g(x)在(0,1]上有極大值gQUOTE=4,它也是最大值,所以a≥4.答案:[4,+∞)4.(5分)已知函數(shù)f(x)=ex-x2-1,若f(x)≥kx對(duì)隨意的x∈(0,+∞)恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為__________.

【解析】f(x)≥kx對(duì)隨意的x∈(0,+∞)恒成立等價(jià)于QUOTE≥k對(duì)隨意的x∈(0,+∞)恒成立.令φ(x)=QUOTE,x>0,則φ′(x)=QUOTE=QUOTE,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),ex-x-1>0恒成立,令φ′(x)>0,得x>1;令φ′(x)<0,得0<x<1,所以函數(shù)φ(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(0,1),所以φ(x)min=φ(1)=e-2,所以k≤φ(x)min=e-2,故實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,e-2].答案:(-∞,e-2]5.(10分)已知函數(shù)f(x)=QUOTEx3+ax+b(a,b∈R)在x=2處取得微小值-QUOTE.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)若f(x)≤m2+m+QUOTE在[-4,3]上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)f′(x)=x2+a,由f′(2)=0得a=-4;再由f(2)=-QUOTE,得b=4.所以f(x)=QUOTEx3-4x+4,f′(x)=x2-4.令f′(x)=x2-4>0,得x>2或x<-2.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-2),(2,+∞).(2)因?yàn)閒(-4)=-QUOTE,f(-2)=QUOTE,f(2)=-QUOTE,f(3)=1,所以函數(shù)f(x)在[-4,3]上的最大值為QUOTE.要使f(x)≤m2+m+QUOTE在[-4,3]上恒成立,只需m2+m+QUOTE≥QUOTE,解得m≥2或m≤-3.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-3]∪[2,+∞).6.(10分)(2024·江蘇高考)某地打算在山谷中建一座橋梁,橋址位置的豎直截面圖如圖所示:谷底O在水平線MN上,橋AB與MN平行,OO′為鉛垂線(O′在AB上),經(jīng)測(cè)量,左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1(米)與D到OO′的距離a(米)之間滿意關(guān)系式h1=QUOTEa2;右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2(米)與F到OO′的距離b(米)之間滿意關(guān)系式h2=-QUOTEb3+6b.已知點(diǎn)B到OO′的距離為40米.(1)求橋AB的長(zhǎng)度;(2)安排在谷底兩側(cè)建立平行于OO′的橋墩CD和EF.且CE為80米,其中C,E在AB上(不包括端點(diǎn)).橋墩EF每米造價(jià)k(萬元),橋墩CD每米造價(jià)QUOTEk(萬元)(k>0),問O′E為多少米時(shí),橋墩CD與EF的總造價(jià)最低?【解析】(1)過A,B分別作MN的垂線,垂足為A′,B′,則AA′=BB′=-QUOTE×403+6×40=160(米).令QUOTEa2=160,得a=80,所以AO′=80,AB=AO′+BO′=80+40=120(米).(2)設(shè)O′E=x,則CO′=80-x,由QUOTE,得0<x<40.設(shè)總造價(jià)為y,則y=QUOTE+kQUOTE=QUOTE(x3-30x2+160×800),y′=QUOTE(3x2-60x)=QUOTEx(x-20),因?yàn)閗>0,所以令y′=0,得x=0或x=20,所以當(dāng)0<x<20時(shí),y′<0,y單調(diào)遞減;當(dāng)20<x<40時(shí),y′>0,y單調(diào)遞增.所以,當(dāng)x=20時(shí),y取最小值,即當(dāng)O′E為20米時(shí),造價(jià)最低.1.如圖,已知圓柱和半徑為QUOTE的半球O,圓柱的下底面在半球O底面所在平面上,圓柱的上底面內(nèi)接于球O,則該圓柱體積的最大值為________.

【解析】設(shè)圓柱的底面圓半徑為r,高為h,球的半徑為R;則h2+r2=R2=3;所以圓柱的體積為V=πr2h=π(3-h2)h=π(3h-h3);則V′(h)=π(3-3h2),令V′(h)=0,解得h=1,所以h∈(0,1)時(shí),V′(h)>0,V(h)單調(diào)遞增;h∈(1,QUOTE)時(shí),V′(h)<0,V(h)單調(diào)遞減,所以當(dāng)h=1時(shí),V(h)取得最大值為V(1)=2π.答案:2π2.已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)=ex-x2,則f′(x)=ex-2x,令g(x)=ex-2x,則g′(x)=ex-2,令g′(x)=0,得x=ln2.當(dāng)x∈QUOTE時(shí),g′(x)<0,當(dāng)x∈QUOTE時(shí),g′(x)>0,所以g(x)在x=ln2時(shí)取微小值,也是最小值,g(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4=lnQUOTE>0,所以g(x)>0,所以f′(x)>0,所以f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增,所以f(x)≥fQUOTE=1.(2)f(x)在QUOTE上有兩個(gè)零點(diǎn)?方程ex-ax2=0在QUOTE上有兩個(gè)根?a=QUOTE在QUOTE上有兩個(gè)根,即函數(shù)y=a與G(x)=QUOTE的圖象在QUOTE上有兩個(gè)交點(diǎn).G′(x)=QUOTE,當(dāng)x∈QUOTE時(shí),G′(x)<0,G(x)在QUOTE上遞減,當(dāng)x∈QUOTE時(shí),G′(x)>0,G(x)在QUOTE上遞增,所以G(x)的最小值為GQUOTE=QUOTE,當(dāng)x→0時(shí),G(x)→+∞,當(dāng)x→+∞時(shí),G(x)→+∞,所以f(x)在QUOTE上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍是QUOTE.3.(2024·全國(guó)Ⅲ卷)函數(shù)f(x)=x3+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)QUOTE處的切線與y軸垂直.(1)求b;(2)若f(x)有一個(gè)肯定值不大于1的零點(diǎn),證明f(x)全部零點(diǎn)的肯定值都不大于1.【解析】(1)因?yàn)閒′(x)=3x2+b,由題意,f′QUOTE=0,即3×QUOTE+b=0,則b=-QUOTE.(2)由(1)可得f(x)=x3-QUOTEx+c,f′(x)=3x2-QUOTE=3QUOTE,令f′(x)>0,得x>QUOTE或x<-QUOTE;令f′(x)<0,得-QUOTE