人教版八年級數(shù)學上冊 第十一章 三角形知識歸納與題型突破（10類題型清單）

第十一章三角形知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記一、三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．要點詮釋：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角；③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.（2）三角形的定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．二、三角形的三邊關系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短.（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關系．三、三角形的分類1.按角分類：要點詮釋：①銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個內角為鈍角的三角形.2.按邊分類：要點詮釋：①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;③等邊三角形：三邊都相等的三角形.四、三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．圖形語言作圖語言過點A作AD⊥BC于點D．取BC邊的中點D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．標示圖形符號語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點D是BC邊的中點．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語言因為AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因為AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點．一個三角形有三條中線，它們交于三角形內一點．一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內一點．五、三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性.要點詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個內角不會改變，大小固定指三條邊長不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結構，它就堅固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構成一個三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結構，也是這個道理．

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應用，如活動掛架，伸縮尺．有時我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．六、三角形的內角和三角形內角和定理：三角形的內角和為180°．要點詮釋：應用三角形內角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù)；②已知三角形三個內角的關系，可以求出其內角的度數(shù)；③求一個三角形中各角之間的關系．七、三角形的外角1．定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個外角.要點詮釋：(1)外角的特征：①頂點在三角形的一個頂點上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長線．（2）三角形每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角．所以三角形共有六個外角，通常每個頂點處取一個外角，因此，我們常說三角形有三個外角．2．性質：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角．要點詮釋：三角形內角和定理和三角形外角的性質是求角度及與角有關的推理論證明經常使用的理論依據(jù)．另外，在證角的不等關系時也常想到外角的性質．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要點詮釋：因為三角形的每個外角與它相鄰的內角是鄰補角，由三角形的內角和是180°，可推出三角形的三個外角和是360°．八、多邊形的概念1．定義：在平面內不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．2．相關概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點．內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內角，一個n邊形有n個內角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．凸多邊形凹多邊形3.多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形就是凸多邊形，如果整個多邊形不在直線的同一側，這個多邊形叫凹多邊形．如圖：凸多邊形凹多邊形要點詮釋：(1)正多邊形必須同時滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個條件，二者缺一不可；(2)過n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線，n邊形對角線的條數(shù)為；(3)過n邊形的一個頂點的對角線可以把n邊形分成(n-2)個三角形．九、多邊形內角和n邊形的內角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點詮釋：(1)內角和公式的應用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內角和；②已知多邊形內角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個內角都相等，都等于；十、多邊形的外角和多邊形的外角和為360°．要點詮釋：(1)在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關；(2)正n邊形的每個內角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于；(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．0303題型歸納題型一三角形的穩(wěn)定性例題：（23-24七年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，墻上置物架的底側一般會各設計一根斜桿，與水平和豎直方向的支架構成三角形，這是利用三角形的（

）A．全等性 B．對稱性 C．穩(wěn)定性 D．靈活性鞏固訓練1．（23-24八年級上·云南昆明·期末）我國建造的港珠澳大橋全長55公里，集橋、島、隧于一體，是世界最長的跨海大橋．如圖，這是港珠澳大橋的斜拉索，它能拉住橋面，并將橋面向下的力通過鋼索傳給索塔，確保橋面的穩(wěn)定性和安全性．那么港珠澳大橋斜拉索建設運用的數(shù)學原理是（

）A．三角形的不穩(wěn)定性 B．三角形的穩(wěn)定性C．四邊形的不穩(wěn)定性 D．四邊形的穩(wěn)定性3．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，松花江大橋的鋼架結構采用三角形的形狀，這其中運用的數(shù)學道理是.4．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，建高樓常需要用塔吊來吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形結構，這是因為三角形具有．題型二判斷三邊是否能構成三角形例題：（23-24七年級下·江蘇鹽城·期末）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長度(單位：)，其中能搭成三角形的是（

）A．4，5，10 B．5，5，10 C．5，8，10 D．5，10，15鞏固訓練1．（23-24七年級下·海南儋州·期末）下列長度的三條線段中，能構成三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2．（23-24七年級下·河北邢臺·階段練習）甲同學對下列三角形的邊長分別進行標注，那么他標注錯誤的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2024·河北邯鄲·二模）將一根吸管按如圖所示的位置擺放在單位長度為1的數(shù)軸（不完整）上，吸管左端對應數(shù)軸上的“”處，右端對應數(shù)軸上的“5”處．若將該吸管剪成三段圍成三角形，第一刀剪在數(shù)軸上的“”處，則第二刀可以剪在（

）A．“”處 B．“”處 C．“”處 D．“2”處題型三已知三角形的兩邊長，求第三邊的取值范圍例題：（23-24七年級下·重慶·期末）已知兩邊長分別為4與5，第三邊的長為奇數(shù)，則第三邊的長的最大值為．鞏固訓練1．（23-24七年級下·江蘇無錫·期末）已知三角形的兩邊長為3和4，則第三條邊長可以為．（請寫出一個符合條件的答案）2．（23-24七年級下·黑龍江大慶·期中）一個三角形的兩邊長為2和6，第三邊為奇數(shù)，則這個三角形的周長為．3．（23-24七年級下·內蒙古包頭·期中）一個三角形的兩邊長分別為5和7，若x為最長邊且為整數(shù)，則此三角形的周長為．4．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知一個三角形的第一條邊長為，第二條邊長為(1)求第三條邊長的取值范圍；（用含，的式子表示）(2)若，滿足，第三條邊長為整數(shù)，求這個三角形周長的最大值題型四判斷是否三角形的高線例題：下列各圖中，正確畫出邊上的高的是（

）A．

B．

C．

D．

鞏固訓練1．下面四個圖形中，線段是的高的圖形是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023秋·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是鈍角，下列圖中作邊上的高線，正確的是（

）A．B．C．D．3．如圖，，，，點，，是垂足，下列說法錯誤的是（

）A．中，是邊上的高 B．中，是邊上的高C．中，是邊上的高 D．中，是邊上的高題型五根據(jù)三角形的中線求面積例題：（2023春·廣東茂名·七年級?？茧A段練習）如圖，的面積為20，點，，分別為的中點，則陰影部分的面積為（）

A．4 B．5 C．6 D．10鞏固訓練1．（2023春·山西太原·七年級山西大附中?？计谥校┤鐖D，是的中線，則下列結論中，正確的個數(shù)有（）（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，是的中線，點E、F分別為的中點，若的面積為，則的面積是________．

3．（2023春·江蘇南京·七年級?？茧A段練習）如圖，為的中線，點，分別在，上，且滿足，．若四邊形（圖中陰影部分）的面積為16，則的面積為________．

題型六與平行線有關的三角形內角和問題例題：（23-24七年級下·上海虹口·期中）如圖，已知，，，，那么．鞏固訓練1．（23-24七年級下·陜西渭南·期中）如圖，在三角形中，點D，H，E分別是邊，，上的點，連接，，F(xiàn)為上一點，連接，若，，．則的度數(shù)為．2．（23-24七年級下·陜西咸陽·期中）如圖，平分，平分，于點C，，則下列說法：①；②；③；④，其中正確的是．（填序號）3．（23-24七年級下·上海浦東新·期中）如圖，將一副直角三角板放在同一條直線上，其中．將三角尺繞點O以每秒的速度順時針方向旋轉一周，設旋轉的時間為t秒．在旋轉的過程中，邊恰好與邊平行，t的值為．題型七與角平分線有關的三角形內角和問題例題：（23-24七年級下·江蘇南京·期末）如圖，在中，平分，過點作．若，，則．鞏固訓練1．（23-24七年級下·上海浦東新·階段練習）如圖，在中，，如果與的平分線交于點D，那么度．2．（23-24七年級下·遼寧大連·期中）如圖，在中，分別平分分別平分三角形的兩個外角，則．3．（23-24七年級下·湖南衡陽·期末）如圖，在中，，，平分，于點．(1)求的度數(shù)．(2)求的度數(shù)．題型八三角形的外角的定義及性質例題：（23-24七年級下·四川樂山·期末）如圖，在中，點在的延長線上，，，則鞏固訓練1．（23-24七年級下·浙江杭州·階段練習）如圖，已知直線，，，則度．2．（23-24七年級下·江蘇淮安·期末）如圖，的兩個外角的平分線交于點P．若，則．3．（23-24七年級下·江西南昌·期末）已知直線，將含角的直角三角板按如圖所示擺放．若，則=．

題型九多邊形的內角和與外角和例題：（23-24七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）足球的表面是由12個正五邊形和20個正六邊形組成的.如圖，將足球上的一個正六邊形和它相鄰的一個正五邊形展開放平，則圖中的．鞏固訓練1．（23-24九年級下·重慶開州·階段練習）如圖，和是四邊形的外角，若，，則．2．（23-24八年級下·江西萍鄉(xiāng)·期末）一個多邊形的內角和是它的外角和的倍，則這個多邊形的邊數(shù)為．3．（23-24七年級下·河南駐馬店·階段練習）如圖，已知，正五邊形的頂點、在射線上，頂點在射線上，則的度數(shù)為．題型十在網格中畫三角形的中線、高線及求三角形的面積例題：（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第六十九中學校?？计谥校┫聢D為的網格，每一小格均為正方形，已知．

(1)畫出中邊上的中線；(2)畫出中邊上的高．(3)直接寫出的面積為_________．鞏固訓練1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學?？计谥校┤鐖D所示方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點A，點B，點C在小正方形的頂點上．

(1)畫出中邊上的高；(2)畫出中邊上的中線；(3)直接寫出的面積為______．2.（23-24七年級下·江蘇連云港·階段練習）如圖，在方格紙內將水平向右平移4個單位得到．

(1)畫出；(2)若連接，，則這兩條線段之間的關系是_________；(3)畫出邊上的中線；（利用網格點和直尺畫圖）(4)圖中能使的格點P有_________個（點P異于點A）．3．（23-24七年級下·江蘇揚州·階段練習）如圖，方格紙中每個小正方形邊長均為1，在方格紙內將的點C平移至點得到．

(1)畫出；(2)線段和的關系是_______．(3)借助方格畫出邊上的中線和高；(4)四邊形面積為_______．

第十一章三角形知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記一、三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．要點詮釋：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角；③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.（2）三角形的定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．二、三角形的三邊關系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短.（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關系．三、三角形的分類1.按角分類：要點詮釋：①銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個內角為鈍角的三角形.2.按邊分類：要點詮釋：①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;③等邊三角形：三邊都相等的三角形.四、三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．圖形語言作圖語言過點A作AD⊥BC于點D．取BC邊的中點D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．標示圖形符號語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點D是BC邊的中點．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語言因為AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因為AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點．一個三角形有三條中線，它們交于三角形內一點．一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內一點．五、三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性.要點詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個內角不會改變，大小固定指三條邊長不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結構，它就堅固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構成一個三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結構，也是這個道理．

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應用，如活動掛架，伸縮尺．有時我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．六、三角形的內角和三角形內角和定理：三角形的內角和為180°．要點詮釋：應用三角形內角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù)；②已知三角形三個內角的關系，可以求出其內角的度數(shù)；③求一個三角形中各角之間的關系．七、三角形的外角1．定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個外角.要點詮釋：(1)外角的特征：①頂點在三角形的一個頂點上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長線．（2）三角形每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角．所以三角形共有六個外角，通常每個頂點處取一個外角，因此，我們常說三角形有三個外角．2．性質：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角．要點詮釋：三角形內角和定理和三角形外角的性質是求角度及與角有關的推理論證明經常使用的理論依據(jù)．另外，在證角的不等關系時也常想到外角的性質．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要點詮釋：因為三角形的每個外角與它相鄰的內角是鄰補角，由三角形的內角和是180°，可推出三角形的三個外角和是360°．八、多邊形的概念1．定義：在平面內不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．2．相關概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點．內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內角，一個n邊形有n個內角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．凸多邊形凹多邊形3.多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形就是凸多邊形，如果整個多邊形不在直線的同一側，這個多邊形叫凹多邊形．如圖：凸多邊形凹多邊形要點詮釋：(1)正多邊形必須同時滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個條件，二者缺一不可；(2)過n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線，n邊形對角線的條數(shù)為；(3)過n邊形的一個頂點的對角線可以把n邊形分成(n-2)個三角形．九、多邊形內角和n邊形的內角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點詮釋：(1)內角和公式的應用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內角和；②已知多邊形內角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個內角都相等，都等于；十、多邊形的外角和多邊形的外角和為360°．要點詮釋：(1)在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關；(2)正n邊形的每個內角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于；(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．0303題型歸納題型一三角形的穩(wěn)定性例題：（23-24七年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，墻上置物架的底側一般會各設計一根斜桿，與水平和豎直方向的支架構成三角形，這是利用三角形的（

）A．全等性 B．對稱性 C．穩(wěn)定性 D．靈活性【答案】C【分析】本題主要考查了三角形具有穩(wěn)定性，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，即可進行解答．【詳解】解：墻上置物架的底側一般會各設計一根斜桿，與水平和豎直方向的支架構成三角形，這是利用三角形的穩(wěn)定性，故選；C．鞏固訓練1．（23-24八年級上·云南昆明·期末）我國建造的港珠澳大橋全長55公里，集橋、島、隧于一體，是世界最長的跨海大橋．如圖，這是港珠澳大橋的斜拉索，它能拉住橋面，并將橋面向下的力通過鋼索傳給索塔，確保橋面的穩(wěn)定性和安全性．那么港珠澳大橋斜拉索建設運用的數(shù)學原理是（

）A．三角形的不穩(wěn)定性 B．三角形的穩(wěn)定性C．四邊形的不穩(wěn)定性 D．四邊形的穩(wěn)定性【答案】B【分析】本題主要考查了三角形的特性，解題的關鍵是熟練掌握三角形的穩(wěn)定性；根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進行解答即可．【詳解】解：港珠澳大橋斜拉索建設運用的數(shù)學原理是：三角形的穩(wěn)定性．故選：B．3．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，松花江大橋的鋼架結構采用三角形的形狀，這其中運用的數(shù)學道理是.【答案】三角形的穩(wěn)定性【分析】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性．根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，即可求解．【詳解】解：松花江大橋的鋼架結構采用三角形的形狀，其中的數(shù)學道理是三角形的穩(wěn)定性，故答案為：三角形的穩(wěn)定性．4．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，建高樓常需要用塔吊來吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形結構，這是因為三角形具有．【答案】穩(wěn)定性【解析】略題型二判斷三邊是否能構成三角形例題：（23-24七年級下·江蘇鹽城·期末）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長度(單位：)，其中能搭成三角形的是（

）A．4，5，10 B．5，5，10 C．5，8，10 D．5，10，15【答案】C【分析】本題考查三角形三邊關系，關鍵是掌握三角形三邊關系定理．在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形，由此即可判斷．【詳解】解：A、，長度是4，5，10的小木棒不能搭成三角形，故本選項不符合題意；B、，長度是5，5，10的小木棒不能搭成三角形，故本選項不符合題意；C、，長度是8，5，10的小木棒能搭成三角形，故本選項符合題意；D、，長度是15，5，10的小木棒不能搭成三角形，故本選項不符合題意．故選：C．鞏固訓練1．（23-24七年級下·海南儋州·期末）下列長度的三條線段中，能構成三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【分析】題目主要考查了三角形三邊關系，理解題意，熟練運用三角形三邊關系是解題關鍵．根據(jù)“三角形三邊的關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，依次判斷即可．【詳解】解：A、，不能構成三角形；B、，不能構成三角形；C、，不能夠組成三角形；D、，能構成三角形．故選：D．2．（23-24七年級下·河北邢臺·階段練習）甲同學對下列三角形的邊長分別進行標注，那么他標注錯誤的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查的是三角形的三邊關系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關鍵．根據(jù)三角形的三邊關系求解即可．【詳解】A．∵，故標注正確；B．∵，故標注正確；C．∵，故標注錯誤；D．∵，故標注正確．故選：C．3．（2024·河北邯鄲·二模）將一根吸管按如圖所示的位置擺放在單位長度為1的數(shù)軸（不完整）上，吸管左端對應數(shù)軸上的“”處，右端對應數(shù)軸上的“5”處．若將該吸管剪成三段圍成三角形，第一刀剪在數(shù)軸上的“”處，則第二刀可以剪在（

）A．“”處 B．“”處 C．“”處 D．“2”處【答案】C【分析】本題主要考查了構成三角形的條件，有理數(shù)與數(shù)軸，分別求出第二刀位置在四個選項中的位置時三段的長，再根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊進行求解即可．【詳解】解：A、第二刀剪在“”處時，則剪成的三段的長分別為，∵，∴此時不能構成三角形，不符合題意；B、第二刀剪在“”處時，則剪成的三段的長分別為，∵，∴此時不能構成三角形，不符合題意；C、第二刀剪在“”處時，則剪成的三段的長分別為，∵，∴此時能構成三角形，符合題意；D、第二刀剪在“2”處時，則剪成的三段的長分別為，∵，∴此時不能構成三角形，不符合題意；故選：C．題型三已知三角形的兩邊長，求第三邊的取值范圍例題：（23-24七年級下·重慶·期末）已知兩邊長分別為4與5，第三邊的長為奇數(shù)，則第三邊的長的最大值為．【答案】7【分析】此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．首先設第三邊長為x，根據(jù)三角形的三邊關系可得，再解不等式可得x的范圍，然后再確定x的值即可．【詳解】解：設第三邊長為x，由題意得：，解得：，∵第三邊的長為奇數(shù)，∴、5或7，∴第三邊的長的最大值為7．故答案為：7．鞏固訓練1．（23-24七年級下·江蘇無錫·期末）已知三角形的兩邊長為3和4，則第三條邊長可以為．（請寫出一個符合條件的答案）【答案】5（不唯一）【分析】本題考查三角形的三邊關系（三角形的第三邊小于兩邊之和大于且大于兩邊之差）．解題的關鍵是根據(jù)三角形的三邊關系列出關于的一元一次不等式組，求解后即可得出符合條件的值即可．【詳解】解：設三角形第三邊長為，∵三角形兩邊長分別為3和4，∴，∴，∴三角形第三邊長為：5．故答案為：5（不唯一）．2．（23-24七年級下·黑龍江大慶·期中）一個三角形的兩邊長為2和6，第三邊為奇數(shù)，則這個三角形的周長為．【答案】13或15【分析】根據(jù)三角形三邊的關系確定出第三邊的取值范圍，再根據(jù)第三邊為奇數(shù)結合三角形周長公式進行求解即可．本題主要考查了三角形三邊的關系的應用，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵．【詳解】解：∵一個三角形的兩邊長為2和6，設第三邊長為x，∴，即∵第三邊為奇數(shù)，∴第三邊長為5或7當?shù)谌呴L為5時，該三角形的周長是；當?shù)谌呴L為7時，該三角形的周長是；綜上所述，這個三角形的周長為13或15．故答案為：13或15．3．（23-24七年級下·內蒙古包頭·期中）一個三角形的兩邊長分別為5和7，若x為最長邊且為整數(shù)，則此三角形的周長為．【答案】19或20或21或22或23【分析】本題主要考查了三角形三邊關系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．利用三角形三邊關系定理，先確定第三邊的范圍，就可以求出第三邊的長，從而求得三角形的周長．【詳解】解：由三角形三邊關系定理得：，∴，∵x為最長邊且為整數(shù)，∴，∴x的值是7或8或9或10或11，∵，，，，，∴此三角形的周長為19或20或21或22或23．故答案為：19或20或21或22或23．4．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知一個三角形的第一條邊長為，第二條邊長為(1)求第三條邊長的取值范圍；（用含，的式子表示）(2)若，滿足，第三條邊長為整數(shù)，求這個三角形周長的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形三邊關系定理即可得出結論；（1）根據(jù)絕對值和平方的非負性可確定，的值，從而得出的最大值，即可得出結論．【詳解】（1）解：∵三角形的第一條邊長為，第二條邊長為，∴第三條邊長的取值范圍是，即，∴第三條邊長的取值范圍是；（2）∵，滿足，第三條邊長為整數(shù)，∴，∴，∴，即，則三角形的周長為：，∵為整數(shù)，∴可取最大值為，此時這個三角形周長的最大值為，∴這個三角形周長的最大值為．【點睛】本題考查三角形三邊關系定理，絕對值和平方的非負性，不等式組的整數(shù)解，三角形的周長．掌握三角形三邊關系定理是解題的關鍵．題型四判斷是否三角形的高線例題：下列各圖中，正確畫出邊上的高的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)三角形高的定義判斷即可得到答案．【詳解】解：中邊上的高即為過點B作的垂線段，該垂線段即為邊上的高，四個選項中只有選項D符合題意，故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形高線定義，解題的關鍵是熟知過三角形一個頂點作對邊的垂線得到的線段叫三角形的高．鞏固訓練1．下面四個圖形中，線段是的高的圖形是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)三角形的高的定義逐項分析即可解答．【詳解】解：A．線段是的高，選項不符合題意；B．線段是的高，選項不符合題意；C．線段是的高，選項不符合題意；D．線段是的高，選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查三角形的高的定義，從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點到垂足之間的線段叫做三角形的高．2．（2023秋·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是鈍角，下列圖中作邊上的高線，正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的高的定義判斷即可．【詳解】解：在中，是鈍角，邊上的高線就是過點A作邊的垂線得到的線段，如圖，故選：D．【點睛】本題考查了三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．掌握定義是解題的關鍵．3．如圖，，，，點，，是垂足，下列說法錯誤的是（

）A．中，是邊上的高 B．中，是邊上的高C．中，是邊上的高 D．中，是邊上的高【答案】B【分析】根據(jù)三角形高的定義依次判斷即可．【詳解】解：A、中，是邊上的高，故此選項正確，不符合題意；B、中，不是邊上的高，故此選項錯誤，符合題意；C、中，是邊上的高故此選項正確，不符合題意；D、中，是邊上的高，故此選項正確，不符合題意．故選B．【點睛】本題主要考查了三角形高的概念，應熟記三角形的高應具備的兩個條件：①經過三角形的一個頂點，②垂直于這個頂點的對邊．題型五根據(jù)三角形的中線求面積例題：（2023春·廣東茂名·七年級?？茧A段練習）如圖，的面積為20，點，，分別為的中點，則陰影部分的面積為（）

A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B【分析】根據(jù)三角形中線平分三角形面積，先證明，再證明即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，

為中點，.同理可得，，.的面積為20，.，.故選B．【點睛】本題主要考查了與三角形中線有關的面積問題，熟知三角形中線平分三角形面積是解題的關鍵．鞏固訓練1．（2023春·山西太原·七年級山西大附中校考期中）如圖，是的中線，則下列結論中，正確的個數(shù)有（）（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】如圖，首先證明（設為λ），（設為μ）；進而證明，，得到，進而得到，此為解決問題的關鍵性結論，運用該結論即可解決問題【詳解】解：∵是的中線，∴；∴（設為λ），（設為μ），，∴；同理可證：，即，；∴選項（1）、（2）、（3）均成立，選項（4）不成立，故選：C．【點睛】該題主要考查了三角形中線的定義、三角形的面積公式等幾何知識點及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用等底同高的兩個三角形的面積相等這一規(guī)律，來分析、判斷、推理或解答．2．（2023春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，是的中線，點E、F分別為的中點，若的面積為，則的面積是________．

【答案】8【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答即可．【詳解】∵點F是的中點，的面積為，∴．∵點E是的中點，∴，．∴．∴，故答案是8．【點睛】本題主要考查了三角形的面積，主要利用三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，原理是等底同高的三角形面積相等．3．（2023春·江蘇南京·七年級?？茧A段練習）如圖，為的中線，點，分別在，上，且滿足，．若四邊形（圖中陰影部分）的面積為16，則的面積為________．

【答案】36【分析】根據(jù)三角形中線與面積的關系，等高模型進行求解即可．【詳解】設的面積為，∵，，∴，，∴，，∴，∵為的中線，∴，∴，則，解得，∴，故答案為：36．【點睛】本題考查了三角形的中線，三角形的面積，熟練掌握三角形的中線與面積的關系是解題的關鍵．題型六與平行線有關的三角形內角和問題例題：（23-24七年級下·上海虹口·期中）如圖，已知，，，，那么．【答案】/28度【分析】此題考查了三角形內角和定理，平行線的性質，首先根據(jù)三角形內角和定理得到，然后由平行線的性質得到，然后根據(jù)三角形內角和定理求解即可．【詳解】∵，，∴，∵，∴，∵，∴．故答案為：．鞏固訓練1．（23-24七年級下·陜西渭南·期中）如圖，在三角形中，點D，H，E分別是邊，，上的點，連接，，F(xiàn)為上一點，連接，若，，．則的度數(shù)為．【答案】【分析】由，，得到，根據(jù)平行線的判定，得到，根據(jù)平行線的性質，得到，根據(jù)三角形內角和定理，求出的度數(shù)，即可求解，本題考查了，平行線的性質與判定，三角形內角和定理，解題的關鍵是：熟練掌握相關性質定理．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：．2．（23-24七年級下·陜西咸陽·期中）如圖，平分，平分，于點C，，則下列說法：①；②；③；④，其中正確的是．（填序號）【答案】①②③【分析】本題考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義，垂直的定義，三角形內角和定理．根據(jù)垂直的定義得出，即可判斷①，根據(jù)角平分線的性質得出，根據(jù)，得出，即可判斷，得出②正確；根據(jù)平行線的性質以及角平分線的定義得出，即可判斷③，根據(jù)三角形內角和定理可得，再根據(jù)，得到，即可判斷④．【詳解】解：∵，∴，故①正確；∵平分平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故②正確；∵，平分，∴，∵，∴，故③正確；∵，∴，∵，∴，故④錯誤；綜上所述，正確的說法有①②③．故答案為：①②③．3．（23-24七年級下·上海浦東新·期中）如圖，將一副直角三角板放在同一條直線上，其中．將三角尺繞點O以每秒的速度順時針方向旋轉一周，設旋轉的時間為t秒．在旋轉的過程中，邊恰好與邊平行，t的值為．【答案】或【分析】本題考查了旋轉性質以及平行線的性質，三角形的內角和為180度，先根據(jù)旋轉的方向，再逐一把滿足條件的圖作出來，再結合圖形以及運用平行線的性質列式計算，即可作答．【詳解】解：如圖：當與邊平行時，∵，∴，，∴，即，∵將三角尺繞點O以每秒的速度順時針方向旋轉一周，設旋轉的時間為t秒．∴，∴；如圖：當與邊平行時，∵，∴，，∴，即，∵將三角尺繞點O以每秒的速度順時針方向旋轉一周，設旋轉的時間為t秒．∴，∴；綜上：邊恰好與邊平行，t的值為或故答案為：10.5或28.5題型七與角平分線有關的三角形內角和問題例題：（23-24七年級下·江蘇南京·期末）如圖，在中，平分，過點作．若，，則．【答案】/70度【分析】本題考查了平行線的性質，三角形內角和，角平分線的相關求解，先根據(jù)兩直線平行同旁內角互補求出的度數(shù)，從而求出的度數(shù)，根據(jù)角平分線以及三角形內角和即可得出結果．【詳解】解：，，，，平分，，，故答案為：．鞏固訓練1．（23-24七年級下·上海浦東新·階段練習）如圖，在中，，如果與的平分線交于點D，那么度．【答案】【分析】本題考查了三角形角平分線的定義、三角形內角和定理．根據(jù)三角形內角和定理可求得，從而可求，再根據(jù)三角形內角和定理可求解．【詳解】解：∵，，與的平分線相交于點，，，，，．故答案為：．2．（23-24七年級下·遼寧大連·期中）如圖，在中，分別平分分別平分三角形的兩個外角，則．【答案】132【分析】本題考查與角平分線有關的三角形的內角和問題，根據(jù)角平分線和三角形的內角和定理，推出，，進而得到，即可得出結果．【詳解】解：、分別平分、，，、分別平分三角形的兩個外角、，∴；故答案為：．3．（23-24七年級下·湖南衡陽·期末）如圖，在中，，，平分，于點．(1)求的度數(shù)．(2)求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查三角形內角和定理、角的平分線的性質、直角三角形的性質，解題的關鍵是熟知三角形內角和定理、角的平分線的性質、直角三角形的性質．（1）由三角形內角和定理可求得的度數(shù)，是角平分線，故；（2）在中，可求得的度數(shù)，于是．【詳解】（1）解：，，，平分，；（2）解：，，，，．題型八三角形的外角的定義及性質例題：（23-24七年級下·四川樂山·期末）如圖，在中，點在的延長線上，，，則【答案】50【分析】本題考查了三角形的外角性質，根據(jù)三角形的外角性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和即可解題．【詳解】解：由三角形的外角性質得：，，，故答案為：．鞏固訓練1．（23-24七年級下·浙江杭州·階段練習）如圖，已知直線，，，則度．【答案】46【分析】本題考查了平行線的性質，三角形外角的性質，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．根據(jù)兩直線平行，內錯角相等，外角等于不相鄰的兩個內角的和求解即可．【詳解】解：，，，即故答案為：46．2．（23-24七年級下·江蘇淮安·期末）如圖，的兩個外角的平分線交于點P．若，則．【答案】/52度【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形外角的性質，三角形的內角和定理．解題的關鍵在于找出角度的數(shù)量關系．利用角平分線的定義結合三角形外角的性質，可得，由，利用三角形內角和定理可得，即可得到，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，，，即，,故答案為：．3．（23-24七年級下·江西南昌·期末）已知直線，將含角的直角三角板按如圖所示擺放．若，則=．

【答案】/110度【分析】本題考查的是平行線的性質和外角和定理，對頂角角度相等，根據(jù)題意可知三角板的為，，再根據(jù)外角和定理及同位角和對頂角定理，即可得到答案．【詳解】解：∵角的直角三角板，，∴，又∵，根據(jù)平行線同位角相等得：，∵與為對頂角，∴，故答案為：．

題型九多邊形的內角和與外角和例題：（23-24七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）足球的表面是由12個正五邊形和20個正六邊形組成的.如圖，將足球上的一個正六邊形和它相鄰的一個正五邊形展開放平，則圖中的．【答案】/132度【分析】本題主要考查了多邊形內角和定理，熟知多邊形內角和計算公式是解題的關鍵．根據(jù)多邊形內角和公式進行求解即可．【詳解】正五邊形內角和為正六邊形內角和為正五邊形每個內角度數(shù)為，正六邊形每個內角度數(shù)為故答案為：鞏固訓練1．（23-24九年級下·重慶開州·階段練習）如圖，和是四邊形的外角，若，，則．【答案】/195度【分析】查看考查了多邊形內角和，平角的定義，首先根據(jù)四邊