張學(xué)奇 《微積分（第4版）學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答（下冊）》補充習(xí)題解答

微積分（微積分（4版）（下冊：補充習(xí)題解答PAGEPAGE18微積分（第4版）學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答（下冊）補充習(xí)題解答目 錄TOC\o"1-2"\h\z\u第七章 元數(shù)積分 2習(xí)題7.3 2習(xí)題7.4 3習(xí)題7.5 3第八章 窮數(shù) 5習(xí)題8.1 5習(xí)題8.2 5習(xí)題8.3 7習(xí)題8.4 8習(xí)題8.5 9第九章 微方程 習(xí)題9.1 習(xí)題9.2 習(xí)題9.3 15習(xí)題9.4 16第十章 分程 20習(xí)題10.1 20習(xí)題10.2 20習(xí)題10.3 21第七章 多元函數(shù)微積分習(xí)題7.31.（偶數(shù)號題解答）z（2）x

y1(xy)x1(xy)2

y2；(xy)2x1(xy)yy (xy)2

x2；(xy)2（4）zxzy

1sin(x2y)1sin(x2y)

cos(x2y)1cot(x2y)；cos(x2y)(2)2cot(x2y).（6）兩邊取對數(shù)，得lnzyln(1xy)，兩邊分別對x求偏導(dǎo)數(shù)，得1z

y 1 y

y2，則

2z y 2zz y 2

(1xy)

y1.zx

1xy

1xy

1xy兩邊分別對y求偏導(dǎo)數(shù)，得1zln(1xy)y 1

xln(1xy) xy .zy

1xy

1xy y

xy則y

xy)

ln(1xy)1xy. （8）uez)cos(xyez)；ux2cos(xyez)x y微積分（微積分（4版）（下冊：補充習(xí)題解答uxezcos(xyez).z習(xí)題7.41.（偶數(shù)號題解答）1 1 1x（2）zx 2x 2 2，1 1 1x1x2y22

1x2y2

1xy1 1 1yzy 2y 2 2，1 1 1y1x2y22

1x2y2

1xydz

xdxydy.1x2y2x y z（4）uexy2zxyexy2z，ux2exy2z，u2xexy2x y zduexy2zxy)dxx2dy2xdz].習(xí)題7.51.（偶數(shù)號題解答）dz du dv1v)21v)2

1 3

12x2dx dx dx1(uv)21(1(uv)21(uv)21(3x4x3)22x2y2

312x2zeuvv 1

2x

euvu 1

(

y)xvyueuv（4）x2x2y2

y 2 x2y2 1()2 xxz 1z x2y2 ex2y2

2y

euvu 1

1xuyveuvx5.（偶數(shù)號題解答）

2x2y2y1(2x2y2y

x2y2（2）對y1yx兩邊取對數(shù)，得ln(y1)xlny方程邊別對x求，1 dylnyxdyy1dx ydx化簡得

dy yxlny.dx 1xyx1（4）方程兩邊分別對x求偏導(dǎo)，得cosyy(sinz)xxcosxz(sinx)0，化簡得zzsinxcosy；x cosxysinz方程兩邊分別對y求偏導(dǎo)，得xsinycoszy(sinz)zzcosx0，y y化簡得zxsinycosz.y cosxysinz微積分（微積分（4版）（下冊：補充習(xí)題解答第八章 無窮級數(shù)習(xí)題8.14.（偶數(shù)號題解答） n8n 8 8數(shù)是公為q 的等比數(shù)因為q 以數(shù)nn1 9 9 9n

8nn收斂.nnn1 9

1 3

1 3（4）因為等比級數(shù)2n與5n收斂，由級數(shù)的性質(zhì)知2n5n收斂.n（6）因為limunn習(xí)題8.2

n1lim2nsinn

n12n

limn

sin2n2n

n1 0，所以級數(shù)發(fā)散.1.（偶數(shù)號題解答）

1n（級數(shù)

1n2

1n2

n2n2

11n11n

n

1n1n

nn1

n1n發(fā)散，由比較判別法的極限形式可知級數(shù)nnnn11nnnn

發(fā)散.2（4）級數(shù)

nn3

un1 1nnn1

時，n

而數(shù) 發(fā)n3散，故級數(shù)n3

nnn

發(fā)散，由性質(zhì)3可以得到增加級數(shù)的有限項，級數(shù)的斂散性不變，故級數(shù)n1

nnn

發(fā)散.2.（偶數(shù)號題解答）n 2n（2）級數(shù)為n

正項級數(shù)，因為n13(n(n1)23n1n23n

1n12 1

n2limn1lim

lim 1，故級數(shù)

發(fā)散.nun n

nn1

n3n 3

n13nn1（4）級數(shù)(n1)!n1(n1)n2nn(n1)n2nn1(n(n1)!

lim1

1n

n1e1nun

n

n

n n24.（偶數(shù)號題解答）

n1（2）級數(shù)

n1

為正項級數(shù)，因為

n(n

n2n2

1，而級n1n(n2)

n1n

nnn1 n1數(shù)發(fā)散n，由比較判別法知，級數(shù)n(n2)發(fā)散.n1

nn1

n1 1（4）將正項級數(shù)(n1)n2與n1比較，因為nn1

n11

nn1

n1

nn1

n1 1limn(n n1

n21

n1

limn(n1)

limnn1nn1

1n

n1

.e而級數(shù)n1發(fā)散，所以級數(shù)(n1)n2發(fā)散.n1 n16.（偶數(shù)號題解答）（2）

(1)n1

1 ,因為 1 1,而級數(shù)

1收斂，所n1n(n1)

n1n(n

n(nn

n1n2 1 (1)n1以n(n1)收斂，故級數(shù)n(n1)絕對收斂.n1

ncosn

n1(1)nn

(1)nn（4）

limunlim

不存在，所以，級n1

2n1

n1

2n1

n

n

2n1數(shù)n1

ncosn2n1

發(fā)散.((1)nnp

1 1np1時，nn1

pn1

數(shù) p收斂故原數(shù)對nn1n當(dāng)0p1時

(1)np

為交錯級數(shù)，因為un1un且lim

10，所以pp(1)n

n1nnnnp

nnnn級數(shù) pnnn1

收斂，而n1

pn1

發(fā)散，故原級數(shù)條件收斂.p0時，因為limunlim

p

不存在，所以級數(shù)

np

發(fā)散.n

nn

n1n習(xí)題8.31.（偶數(shù)號題解答）a n2（2）因為limn1lim

1，所以，冪級數(shù)的收斂半徑R1，nan1

n(n1)2

(1)nx1n2x1n2

收斂，所以收斂域為[1,1].n1tn a nn令tx5則級變?yōu)?為limn1lim 以ntn

n1

nan

n

n1n R1t1，即nn1

x51，故4x6；當(dāng)x4時，級數(shù)n1

(1)n

x61nnn1nn

發(fā)散，故收斂域為[4,6).習(xí)題8.42.（偶數(shù)號題解答）

n1xn（2）利用公式ln(1x)(1)n1ln(2x)21x

, (1x，得n 2 (1)n1xn

(1)n1xn2n1

2n 2

ln2n1

n2n

, (2x 2n 2n2（）f(x)x2ex2x2(x)x

(x)' x

n0 n!n

n0 n!x2n（6）f

(x)

(1)xn0x

，所以(2n1)!xsinx

x

(1)nx2nf(x)0

xx0(2n)!xn0 x2n1n0(2n1)(2n1)!(x)n0習(xí)題8.51.（偶數(shù)號題解答）由e

1xx22!2

xnn!n

(xx

1時的函數(shù)值，21n!21n!2ne即e

2n1 2n1e1n!2e1n!2n

2 2!21取1

1 ,2 2!22則誤差rn

n!2n1

1 1nk1nk!2nk 1 1 1 n1! (n1)!(n(n1)!(n1)k1 1 1 1 2 2

[1n1! n

1 (n

n1

k ]

1 1(n1)!1 1

1.n!nn1要求精確到103，則只需

1

103，即n!n103，由于6!6103，所以取n6，即

11 1

1 1

1 1

1.6484e2 2!22e

3!23 4!24

5!25 6!262（4）由cosx1x22!

x(1)n44!4

x2n(2n)!

n0

n

x2n(2n)!

，得 12 14

1

2n2cos

1

.90 90 90

(2n)!901

2n2

1

2n4則誤差r (1)n2

104，n (2n2)!90 (2n4)!9014 因為ru ，取n2. 2 3 4!

12故21 2!第九章 常微分方程習(xí)題9.11.（偶數(shù)號題解答）（2）ye2xy2e2x,

y''4e2x,代入方程左端得4e2x2e2x2e2x0，所以ye2x是y''y'2y0的解.（4）對yxex求一、二階導(dǎo)數(shù)，得y'xexex,y''xex2ex，代入方程左端得

exex0

，所以

yxex不是y''y'2y0的解.習(xí)題9.21.（偶數(shù)號題解答）（2）方程變形為

xydy(1y2)dx.分離變量，得

ydy(1y2)

dx.x兩邊積分，得

ydy(1y2)

?dx.x求積分，得

ln(1y2)lnxlnC.所以微分方程的通解為

x(1y2)C.（4）y

1x2dyx

1y2dx.分離變量，得

x . .1y2 1x2兩邊積分，得

x

dx.1y1y21x21y2

C .1y1y21x21x2

C.（6）方程變形為

cos2xcotydytanxsin2ydx.分離變量，得

cotysin2y

dytanxcos2x

dx.兩邊積分，得

coty

dy

tanxdx.sin2y cos2x求積分，得

1cot2y1tan2xC.2 2 1所以微分方程的通解為

tan2xcot2yC(C).12.（偶數(shù)號題解答）1（2）方變?yōu)?y.分離變量，得

dycosxdx.y sinx兩邊積分，得

dycosxdx.y sinx求積，得 yxC.所以微分方程的通解為yCsinx.y x由 1代上得C1，因所特解為yxy x2（4）方程變形為

xdyylnydx.分離變量，得

dy dx.兩邊積分，得

ylny x dydx ylny x求積，得 ylnxlnC.所以微分方程的通解為yeCx.x1由y 1代上得C0，因所特解為y1x13.（偶數(shù)號題解答）（2）原方程變形為

dyy

(y)2.dx x xy dy du令u ，即y，則x

xdx

uxduuuu2dx

即 xduu2.dxdu dx分離變量取積分，得1

u2

x .1求積分得y

xCu

，即xCeu.x將u 回，到微方的通為xCey.xdy y y（4）原方程變形為

.dx x xy 令u ，即y，得x

uuu.dx分離變量取積分，得

du dx.u(lnu1) x求積得 uxC即u.微積分（微積分（4版）（下冊：補充習(xí)題解答y將uyx

回代，得到原微分方程的通解為yxeCx1.4.（偶數(shù)號題解答）2（2）令P(x)2x,Q(x)2xex，將其代入一階線性微分方程通解公式，得yeP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdxC)e2dx(2ex2e2dxdxC)ex2(2dxC)ex2(x2C).yex2(x2C).（4）y'

2x yx21

cosxx21

.P(x)

2x,x21

Q(x)

cosx，x21將其代入一階線性微分方程通解公式，得yeP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdxC)2xdx

x

2xdx

1 sinxCex21

(x2

ex211

C)

x21

(cosC)

.x21y

sinxC.x211 2x（6）令P(x) ,Q(x) ，將其入階線性分程通公，x x得yeP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdxC)1dxex

(

2lnxex

1dxx

dxC)x(

2lnxx2

dxC)2lnx2Cx.將初始條件

1y2lnx2得C1，xx1

y2lnxx2.5.（偶數(shù)號題解答）（2）將原方程變形為

y'1x

y1.P(x)1,x

Q(x)1，將其代入一階線性微分方程通解公式，得1yeP(x)dx(1

Q(x)eP(x)dxdxC)11dx1ex

(

1dxex

dx)x(

xdx)xlnCx

Ce1).即原方程的通解為yxlnCx.（4）令P(x)cosxQ(x)sinxcosx，將其代入一階線性微分方程通解公式，得yeP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdxC)

ecosxdx(sinxcosxecosdxdxC)esinx(sinxesinxdsinxC)Cesinx(sinx1).xx0

y 1yCesinxsinx1，得C2.原方程的特解為

y2esinxsinx1.（6）該方程為伯努利方程，方程兩邊同除y2，得y2dyy1cosxsinx.dxzy1dzy2dy，代入原方程，有dx dx線性微分方程，由通解公式，得

zsinxx，這是一階dxz((sinxcosx)edxC)Cexsinx.將zy1代入上式，得原方程的通解為y1Cexsinx.習(xí)題9.31.（偶數(shù)號題解答）（2）對微分方程兩邊積分，得1y'1

1x2

dxarctanxC1.再積分一次得通解yxC)dxxx1x2)CxC 1 2 1 24令y'(，則yp()xp'(x)p(x)x20，即p'(x)p(x)x.x根據(jù)一階線性微分方程通解公式，得p(x)e

1dxx(xe

1dxx

dx)

1x23

C1.x即 y'1x2.3 x再將其積分得方程的通解為y1x2dx1x3C|x|C.3 x 9 1 2習(xí)題9.41.（偶數(shù)號題解答）（2）特征方程r210r250對應(yīng)的微分方程為y''10y'25y0，其特征根為rr5y''10y25y0yCCx)e5CC為1 2 1 2 1 2任意常數(shù)）.（4）特征根r0，r1對應(yīng)的微分方程為y''y'0，通解為yCCex1 2 1 2（C2）.3.（偶數(shù)號題解答）（2）

y5y0r20微積分（微積分（4版）（下冊：補充習(xí)題解答r,r5，所以該方程的通解為yCCe5x（CC）.1 2 1 2 1 2（4）微分方程yay0的特征方程為r2a0.a0

0

yC2x

（C2為；a0，其特征根為

aai,r2aa

i，方程的通解為y

ax

ax（1,C2；aa0，其特征根為a,a

，方程的通解為1 2yCeaxCeax1 2

（C2）.5.（偶數(shù)號題解答）（2）所給方程為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，方程的非齊次項為f(x)ex(x1)，屬于f(x)P(x)ex類型（其中P(x)x1,1）.m m

y2yy0的特征方程為r22r10，其特征根為r1r21，因為1為特征方程的重根，故可令所求方程的待定特解為pyx2(axb)ex.p（4）所給方程為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，方程的非齊次項為f(x)2e2x，屬于f(x)P(x)ex類型（其中P(x)2,2）.m mp因為方程y4y4y0的特征方程為r240，其特征根為2為特征方程的重根，故可令所求方程的待定特解為yax2e2xp（6）所給方程為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，方程的非齊次項為f(x)e2x(cos2xsin2x)，屬于f(x)ex(AcosxBsinx)類型（其中2,2,AB1）.1 2因為方程yy0的特征方程為r210，其特征根為ri,ri，因為1 2pii非特征根，所求方程的待定特解可設(shè)為ye2x(acos2xbsin2x).p6.（偶數(shù)號題解答）（2）二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的非齊次項為f(x)xexf(x)P(x)ex類型（其中P(x)x,1）.m m1 2方程yy0的特征方程為r2r0，其特征根為r1,r0，因為1 2p1是特征方程的單根，故可令所求方程的待定特解為將Q(x)x(axb)代入下式p

yx(axb)ex.mQ''(x)(2p)Q'(x)(x2pxq)Q(x)P(x)m得2a(21)(2axb)x比較上式同次項得系數(shù)，可解得a

1,b1.2yp

1(x22x)ex.2（4）二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的非齊次項為f(x)exsin2x，屬于f(x)ex(AcosxBsinx)類型（其中1,2,A0,B1）.1方程y2y'5y0的特征方程為r22r50，其特征根為r12i,1r212i，這樣i12i是特征根，故可令所求方程的待定特解為ypxex(acos2xbsin2x)，將其代入微分方程,并消去ex,得4bcos2x4asin2xsin2x比較上式兩端的系數(shù),可解得a

1,b0.4yp7.（偶數(shù)號題解答）

1xexcos2x48y8xy''8y0.r28r0,特征根為rr8y''8y0yCCe8x.1 2 c 1 2f(x8x中的0是特征根,ypx(axb為原微分1 1方程的一個特解,將其代入原方程得a ,b .即y1 12 8

1x21x為所求方2 8程的一個特解.所以原方程的通解為yCCe8x1x21x.1 2 2 8（4）微分方程yy4xex所對應(yīng)的齊次微分方程為y''y0.其特征方程為r210,特征根為

1.所以,

yy0yc

CexCex.1 2pp因為非齊次項f(x)4xex中的1是特征根,故可令yx(axb)ex為原微分方程的一個特解,將其代入原方程,得a1,b1.即y(x2x)ex為所求方程的一個特解.1 2pp1 2因此，yy4xex的通解為y(x2xC)exCex.1 2將初始條件C21.

yx0

0，y

x0

1代入式得C20 ,即C1C211所求微分方程滿足初始條件的特解為

y(x2x1)exex.第十章 差分方程習(xí)題10.11.（偶數(shù)號題解答）t t2 tt