人教版 九年級 數(shù)學(xué) 下冊 第二十七章《位似》教學(xué)課件

27.3位似第二十七章相似逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2位似圖形的定義位似圖形的性質(zhì)位似圖形的畫法平面直角坐標系中的位似變換知識點位似圖形的定義知1－講1位似圖形與位似中心如果兩個圖形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點,并且這點與對應(yīng)頂點所連線段成比例，那么這兩個圖形叫做位似圖形,這個交點叫做位似中心位似多邊形對于兩個多邊形,如果它們的對應(yīng)頂點的連線相交于一點,并且這點與對應(yīng)頂點所連線段成比例，那么這兩個多邊形就是位似多邊形知1－講續(xù)表位似多邊形如圖①，△ABC與△A′B′C′是以點O為位似中心的位似圖形；如圖②，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′是以點A(A′)為位似中心的位似圖形；如圖③，五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′是以點O為位似中心的位似圖形知1－講續(xù)表位似與相似的區(qū)別與聯(lián)系(1)相似僅要求兩個圖形形狀完全相同，而位似是在相似的基礎(chǔ)上要求對應(yīng)頂點的連線相交于一點，并且這點與對應(yīng)頂點所連線段成比例;(2)位似圖形是相似圖形的特例，如果兩個圖形是位似圖形,那么這兩個圖形一定是相似圖形,但相似的兩個圖形不一定是位似圖形知1－講特別提醒1.兩個位似圖形的位似中心有且只有一個.2.位似中心可能位于兩個位似圖形的同側(cè)，也可能位于兩個位似圖形之間，還可能位于兩個位似圖形的內(nèi)部或邊上或某一個頂點處(如圖27.3－1所示).知1－練例1判斷如圖27.3－2所示的各圖中的兩個圖形是不是位似圖形，如果是，請指出其位似中心.知1－練解題秘方：緊扣“位似圖形的定義”進行判斷，關(guān)鍵看對應(yīng)點的連線是否交于一點.解：(1)是位似圖形，位似中心為點A.(2)不是位似圖形.(3)是位似圖形，位似中心為點O.知1－練1－1.如圖是幻燈機放映圖片的示意圖，在幻燈機放映圖片的過程中，這兩張圖片之間的關(guān)系是()A.對稱

B.平移C.旋轉(zhuǎn)

D.位似D知2－講知識點位似圖形的性質(zhì)2性質(zhì)1位似圖形上任意一組對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比性質(zhì)2位似圖形上任意一組對應(yīng)點的連線都經(jīng)過位似

中心性質(zhì)3位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或在同一條直線上性質(zhì)4位似圖形是特殊的相似圖形，具有相似圖形的所有性質(zhì)知2－講續(xù)表示例知2－講特別解讀利用位似圖形的性質(zhì)可解決：1.多邊形的放大或縮?。?.確定位似中心；3.求周長或面積.知2－練找出如圖27.3－3所示的位似圖形的位似中心.例2解題秘方：緊扣“位似圖形每組對應(yīng)頂點的連線都經(jīng)過位似中心”進行查找.解：如圖27.3－3，點P1，P2，P3即為所求的位似中心.知2－練2－1.如圖，正方形網(wǎng)格圖中的△ABC

與△A′B′C是位似關(guān)

系，則位似中心是(

)A.點D

B.點EC.點F

D.點GA知2－練如圖27.3－4，△ABC

與△A

′B′C′關(guān)于點O位似，AO＝3，A′O＝6.解題秘方：緊扣位似圖形相似比的性質(zhì)進行計算.例3知2－練(1)若AC＝5，求A′C′的長；

知2－練(2)若△ABC的面積為7，求△A′B′C′的面積.

知2－練3－1.如圖，以點O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，△ABC的面積為4，則△DEF的面積為()A.2B.8C.16D.24C知2－練3－2.[中考·長春]如圖，△ABC和△A′B′C′是以點O為位似中心的位似圖形，點A在線段OA′上.若OA∶AA′＝1∶2，則△ABC和△A′B′C′的周長之比為_______.1∶3知3－講知識點位似圖形的畫法31.位似變換:利用位似圖形的性質(zhì)將一個圖形放大或縮小叫做位似變換.知3－講2.位似圖形的畫法知3－講特別提醒以一點為位似中心畫位似圖形時，符合要求的圖形往往不唯一，一般情況下，同一個位似中心的兩側(cè)各有一個符合要求的圖形.知3－練如圖27.3－5，已知四邊形ABCD，將四邊形ABCD放大，使放大后的圖形與原圖形是位似圖形，且放大后的圖形與原圖形對應(yīng)線段的比為2∶1.例4解題秘方：緊扣“位似圖形的定義和性質(zhì)”，按畫位似圖形的步驟作圖(畫法不唯一).知3－練解：(畫法不唯一)根據(jù)位似中心的不同位置情況進行作圖.畫法一：位似中心在四邊形的頂點上，如圖27.3－6，以點A為位似中心，四邊形AB1C1D1就是所求作的圖形.知3－練畫法二：位似中心在四邊形的邊上，如圖27.3－7，以AD邊上一點為位似中心，四邊形A1B1C1D1就是所求作的圖形.知3－練4－1.如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點O

和點A1在格點上，△ABC是格點三角形(頂點在網(wǎng)格線交點上).(1)畫出△ABC以點O為位似中心的位似圖形△A1B1C1，點A，B，C

的對應(yīng)點分別為點A1，B1，C1；(2)△A1B1C1與△ABC的周長之比為_______.解：如圖，△A1B1C1即為所求．3∶1知4－講1.位似變換時對應(yīng)點的坐標的變化規(guī)律一般地,在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(x，y)對應(yīng)的位似圖形上的點的坐標為(kx，ky)或(－kx，－ky).知識點平面直角坐標系中的位似變換4知4－講

知4－講2.位似變換與平移、軸對稱、中心對稱三種變換的異同：變換方式點P(x，y)的坐標變化規(guī)律平移當(dāng)點P向左平移a(a>0)個單位長度時，點P的坐標變?yōu)?x－a，y)當(dāng)點P向右平移a(a>0)個單位長度時，點P的坐標變?yōu)?x＋a，y)當(dāng)點P向上平移a(a>0)個單位長度時，點P的坐標變?yōu)?x，y＋a)當(dāng)點P向下平移a(a>0)個單位長度時，點P的坐標變?yōu)?x，y－a)知4－講續(xù)表軸對稱當(dāng)點P

關(guān)于x

軸對稱時，點P

的坐標變?yōu)?x，－y)當(dāng)點P

關(guān)于y

軸對稱時，點P

的坐標變?yōu)?－x，y)中心對稱當(dāng)點P

關(guān)于原點對稱時，點P

的坐標變?yōu)?－x，－y)知4－講續(xù)表位似變換當(dāng)位似圖形與原圖形的相似比為k，且原圖形上的點P

與其對應(yīng)點在原點同側(cè)時，點P

的坐標變?yōu)?kx，ky)當(dāng)位似圖形與原圖形的相似比為k，且原圖形上的點P

與其對應(yīng)點在原點異側(cè)時，點P

的坐標變?yōu)?－kx，－ky)知4－講特別提醒1.在平面直角坐標系中，以原點為位似中心，位似圖形與原圖形的相似比為k，那么當(dāng)位似圖形與原圖形在原點的同側(cè)時，原圖形上的點(x，y)對應(yīng)的位似圖形上的點的坐標為(kx，ky)；當(dāng)位似圖形與原圖形在原點的兩側(cè)時，原圖形上的點(x，y)對應(yīng)的位似圖形上的點的坐標為(-kx，-ky).2.當(dāng)k>1時，圖形擴大為原來的k倍；當(dāng)0<k<1時，圖形縮小為原來的k.知4－練如圖27.3－9，已知O

是坐標原點，B，C

兩點的坐標分別為(3，－1)，(2，1).解題秘方：根據(jù)位似中心及相似比作圖，再利用位似變換時對應(yīng)點的坐標的變化規(guī)律求對應(yīng)點的坐標.例5知4－練(1)畫出以點O為位似中心，在y軸的左側(cè)將△OBC放大為原來的2倍(即新圖與原圖的相似比為2)的位似圖形△OB′C′；解：如圖27.3－9，延長BO到點B′，使OB′＝2OB；延長CO到點C′，使OC′＝2OC，連接B′C′，則△OB′C′就是要畫的圖形.知4－練(2)分別寫出B，C兩點的對應(yīng)點B′，C′的坐標；(3)如果△OBC內(nèi)部一點M的坐標為(x，y)，試寫出點M的對應(yīng)點M′的坐標.解：點B′，C′的坐標分別為(－6，2)，(－4，－2).點M(x，y)的對應(yīng)點M′的坐標為(－2x，－2y).知4－練方法點撥：位似變換作圖的思路有兩種：一種是先求出變換后對應(yīng)點的坐標，再描點畫圖；另一種是先根據(jù)對應(yīng)邊的比畫出位似變換后的圖形，再確定對應(yīng)點的坐標.知4－練5－1.[模擬·蕪湖]如圖，在平面直角坐標系中，A(0，1)，B(2，2)，C(1，3).知4－練(1)將△ABC繞點O

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；解：如圖，△A1B1C1即為所作．知4－練(2)以點O為位似中心，在y

軸右側(cè)，將△ABC放大為原來的2倍得到△DEF，畫出△DEF；(3)經(jīng)過(2)的變換后，若在△

ABC

內(nèi)有一點P(a，b)，則點P

放大后的對應(yīng)點的坐標是________.解：如圖，△DEF即為所作．(2a，2b)位似位似圖形定義性質(zhì)畫法坐標規(guī)律題型網(wǎng)格中的位似變換1如圖27.3－10，在邊長為1的正方形網(wǎng)格紙中，△ABC為格點三角形(頂點都在格點上).例6思路引導(dǎo)：(1)求△ABC的面積；

思路引導(dǎo)：

解：△ABC的位似圖形如圖27.3－10中的△A′B′C′和△A″B″C″.技巧點撥畫位似圖形的技巧：1.對應(yīng)點可以在位似中心的同側(cè)，也可以在位似中心的異側(cè)，所以一個圖形按照給定的相似比可以畫出它的兩個位似圖形.2.在網(wǎng)格中畫位似圖形時，可采用數(shù)格的方法確定關(guān)鍵點的位置.3.在坐標系內(nèi)畫位似圖形時，可計算對應(yīng)點的坐標確定關(guān)鍵點的位置.題型位似中心是坐標原點的位似變換2如圖27.3－11，已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(－2，－2)，B(－5，－4)，C(－1，－5).例7(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；解題秘方：利用關(guān)于x

軸對稱的點的特征得出對應(yīng)點的位置即可；解：如圖27.3－11所示，△A1B1C1即為所求.(2)以點O為位似中心，在y軸右側(cè)，將△ABC放大得到△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC的相似比為2∶1.請在圖中畫出△A2B2C2，并寫出點B2的坐標.解題秘方：利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點的坐標，進而得出答案.解：如圖27.3－11所示，△A2B2C2即為所求.B2(10，8).方法點撥以原點為位似中心進行位似變換時，一定要注意橫、縱坐標符號的變化，即如果兩圖形在原點同側(cè)，符號相同；如果兩圖形在原點異側(cè)，符號相反.題型位似中心不是坐標原點的位似變換3[期末·長春綠園區(qū)]如圖27.3－12，△ABC和△A′B′C是以點C為位似中心的位似圖形，且△A′B′C和△ABC的面積之比為1∶4，點C的坐標為(1，0)，若點A的對應(yīng)點A′的橫坐標為－2，則點A的橫坐標為______.例87解題秘方：作出輔助線，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出所求點的坐標.

知識拓展位似圖形中坐標的變化規(guī)律：將一個圖形按照一定的相似比(k)放大或縮小，設(shè)位似中心的坐標為(a，b)，如果圖形中某個點的坐標為A(m，n)，那么變換后對應(yīng)點A′的橫坐標為k(m－a)＋a或k(a－m)＋a，縱坐標為k(n－b)＋b或k(b－n)＋b.題型位似變換的應(yīng)用4如圖27.3－13，△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個正方形DEFG，使正方形的邊DE落在BC上，頂點F，G分別落在AC，AB上.例9解題秘方：根據(jù)位似圖形的作法，緊扣“位似圖形的定義和性質(zhì)”說明理由.證明：∵四邊形DEFG

為正方形，∴

GD＝FE，∠

GDE

＝

∠

FED＝90°.∴∠

GDB＝

∠

FEC＝90°.∵△

ABC

是等邊三角形，∴∠

B

＝

∠

C＝60°.∴△

BDG

≌△

CEF.(1)求證：△BDG≌△CEF.(2)探究：怎樣在鐵片上準確地畫出正方形DEFG

？小聰和小明各給出了一種想法，請你在(a)和(b)兩個問題中選擇一個你喜歡的問題解答.(a)小聰想：只要能計算出正方形的邊長就能求出BD

和CE的長，從而確定D

點和E

點，再畫正方形DEFG

就容易了.設(shè)△ABC的邊長為2，請你幫小聰求出正方形的邊長(結(jié)果用含根號的式子表示).(b)小明想：不求正方形的邊長也能畫出正方形DEFG.具體作法如圖27.3－13所示：①在AB邊上任取一點G′，作正方形G′D′E′F′(點D′，E′在BC邊上)；②連接BF′并延長,交AC于點F；③作FE∥F′E′，交BC

于點E，F(xiàn)G∥F′G′，交AB

于點G，GD∥G′D′，交BC于點D，則四邊形DEFG

即為所求.

你認為小明的作法正確嗎？說明理由.

解法提醒1.位似圖形的應(yīng)用：利用位似解決實際問題，關(guān)鍵是先將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，把實物圖轉(zhuǎn)化為幾何圖形，再結(jié)合位似圖形的性質(zhì)解決問題.2.利用位似可以將一個圖形放大或縮小，在一些作圖問題中，可以利用位似的知識作出題目要求的圖形.

例10易錯點未分類討論位似圖形與位似中心的位置而出錯錯解：C正解：△CDO與△ABO可以在位似中心的同側(cè)或異側(cè)，∴點C的坐標可以為(－1，2)或(1，－2).答案：D診誤區(qū)：當(dāng)位似圖形的位置不明確時，要考慮兩種情況:與原圖形位于位似中心的同側(cè)和異側(cè).[中考·阜新]如圖27.3－14，△ABC和△DEF是以點O

為位似中心的位似圖形，相似比為2∶3，則△ABC和△DEF的面積比是_______.4∶9考法利用位似圖形的性質(zhì)求面積比1例11試題評析：本題考查的是位似變換的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.解：∵

△ABC與△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，∴

△ABC∽△DEF.又∵

△ABC與△DEF的相似比為2∶3，∴

△ABC與△DEF的面積之比為22∶32＝4∶9.[中考·浙江]如圖27.3－15，在平面直角坐標系中，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，位似中心為點O.若點A(－3，1)的對應(yīng)點為A′(－6，2)，則點B(－2，4)的對應(yīng)點B′的坐標為(

)A.(－4，8)B.(8，－4)C.(－8，4)D.(4，－8)考法利用位似變換的性質(zhì)求坐標系中點的坐標2例12試題評析：此題主要考查了位似變換的點的坐標的變化規(guī)律，由已知點的坐標得出相似比是解題的關(guān)鍵.解：∵

△ABC與△A′B′C′是位似圖形，位似中心為點O，點A(－3，1)的對應(yīng)點為A′(－6，2)，∴△ABC與△A′B′C′的相

似比為1∶2，且在原點O的同側(cè).∵點B的坐標為(－2，4)，∴

點B的對應(yīng)點B′的坐標為(－2×2，4×2)，即(－4，8).答案：A[中考·涼山州]如圖27.3－16，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).考法利用圖形變換的特點在坐標系中作圖計算3例13試題評析：本題考查了位似變換、軸對稱變換的知識，解題的關(guān)鍵是理解位似變換、軸對稱變換的定義.解：如圖27.3－16，△A1B1C1就是所求作的三角形.(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；

(2)以原點O為位似中心，在x

軸上方畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且相似比為2，求出△A2B2C2的面積.

1.如圖，在正方形網(wǎng)格中，以點O為位似中心，△ABC的位似圖形可以是(

)A.△DEF

B.△DFHC.△GEH

D.△GDJC2.如圖，以點O為位似中心，把△ABC的各邊長擴大為原來的2倍得到△A′B′C′，下列說法中，錯誤的是(

)A.AO∶AA′＝1∶2B.AC∥A′C′C.S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶4D.A，O，A′三點在同一條直線上A3.如圖，在平面直角坐標系中，將△OAB以原點O為位似中心放大后得到△OCD,若B(0，1)，D(0，3)，則△OAB

與△OCD的相似比是()A.2∶1 B.1∶2C.3∶1 D.1∶3D

D5.[中考·朝陽]如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(2，2)，B(4，1)，以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點A的對應(yīng)點A′的坐標是(

)A.(1，1)B.(4，4)或(8，2)C.(4，4)D.(4，4)或(－4，－4)D6.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC

的頂點坐標分別是O(0，0)，A(1，0)，B(2，3)，C(－1，2)，若四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC

面積的4倍，則第一象限內(nèi)點B′的坐標為________.(4，6)7.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△AB′C′的相似比為1∶2，點A是位似中心，已知A(2，0)，C(a，b)，則點C′的坐標為____________(結(jié)果用含a，b的式子表示).(6－2a，－2b)8.[中考·巴中]△ABC在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，如圖所示.(1)以點C為位似中心，作出△ABC的位似圖形△A1B1C，使△ABC與△A