2025屆北京師大第二附中數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆北京師大第二附中數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為（）A. B.C. D.2．拋物線焦點坐標(biāo)為（）A. B.C. D.3．若，則圖像上的點的切線的傾斜角滿足（）A.一定為銳角 B.一定為鈍角C.可能為 D.可能為直角4．等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或5．甲、乙兩名同學(xué)8次考試的成績統(tǒng)計如圖所示，記甲、乙兩人成績的平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，則（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞6．設(shè)雙曲線與橢圓：有公共焦點，.若雙曲線經(jīng)過點，設(shè)為雙曲線與橢圓的一個交點，則的余弦值為（）A. B.C. D.7．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A. B.C.2 D.8．設(shè)等差數(shù)列，的前n項和分別是，若，則（）A. B.C. D.9．已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點，交橢圓于A，B兩點，則弦AB的長為（）A. B.C. D.10．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點A的坐標(biāo)為，點P是雙曲線在第二象限的部分上一點，且，點Q是線段的中點，且，Q關(guān)于直線PA對稱，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.11．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，且它們的離心率之積為1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.12．已知橢圓的短軸長為8，且一個焦點是圓的圓心，則該橢圓的左頂點為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數(shù)、滿足，則的最大值為__________14．已知雙曲線左、右焦點分別為，，點P是雙曲線左支上一點且，則______15．直線的一個法向量________.16．如圖，橢圓的左右焦點為，，以為圓心的圓過原點，且與橢圓在第一象限交于點，若過、的直線與圓相切，則直線的斜率______；橢圓的離心率______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知四邊形中，，，，且，求四邊形的面積18．（12分）在中，角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，的面積為，求.19．（12分）已知拋物線的方程為，點，過點的直線交拋物線于兩點（1）求△OAB面積的最小值（為坐標(biāo)原點）；（2）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由20．（12分）已知拋物線C:（1）若拋物線C上一點P到F的距離是4，求P的坐標(biāo)；（2）若不過原點O的直線l與拋物線C交于A、B兩點，且，求證：直線l過定點21．（12分）某公交公司為了方便市民出行，科學(xué)規(guī)劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站，為了研究車輛發(fā)車間隔時間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系，經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：間隔時間x/分101112131415等候人數(shù)y/人232526292831調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.檢驗方法如下：先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù)，再求與實際等候人數(shù)y的差，若差值的絕對值都不超過1，則稱所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.（1）若選取的是中間4組數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程=x+，并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”.（2）假設(shè)該起點站等候人數(shù)為24人，請你根據(jù)（1）中的結(jié)論預(yù)測車輛發(fā)車間隔多少時間合適?附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計分別為22．（10分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點（1）求證：D1F平面A1EC1；（2）求直線AC1與平面A1EC1所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】點關(guān)于x軸對稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此即可求解.【詳解】設(shè)(x，y)是與直線關(guān)于軸對稱的直線上任意一點，則(x，－y)在上，故，∴與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為.故選：D.2、C【解析】由拋物線方程確定焦點位置，確定焦參數(shù)，得焦點坐標(biāo)【詳解】拋物線的焦點在軸正半軸，，，，因此焦點坐標(biāo)為故選：C3、C【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而得出結(jié)論【詳解】，時，，遞減，時，，遞增，而，所以切線斜率可能為正數(shù)，也可能為負(fù)數(shù)，還可以為0，則傾斜角可為銳角，也可為鈍角，還可以為，當(dāng)時，斜率不存在，而存在，則不成立.故選：C4、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式及等比數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則因為，所以，即，解得或，所以或.故選：C.5、A【解析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖，結(jié)合均值、方差的實際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計圖知：甲總成績比乙總成績要高，則＞，又甲成績的分布比乙均勻，故＜.故選：A.6、A【解析】求出雙曲線方程，根據(jù)橢圓和雙曲線的第一定義求出的長度，從而根據(jù)余弦定理求出的余弦值【詳解】由題得，雙曲線中，所以，雙曲線方程為：，假設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得：，解得：，，所以根據(jù)余弦定理，故選：A7、A【解析】準(zhǔn)確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率【詳解】設(shè)與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心，又點在圓上，，即，故選A【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來8、C【解析】結(jié)合等差數(shù)列前項和公式求得正確答案.【詳解】依題意等差數(shù)列，的前n項和分別是，由于，故可設(shè)，，當(dāng)時，，，所以，所以.故選：C9、C【解析】根據(jù)題意求得直線l的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達定理求得，再利用弦長公式即可得出答案.【詳解】由橢圓知，，所以，所以右焦點坐標(biāo)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦AB長為.故選：C.10、C【解析】由角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可求雙曲線的離心率.【詳解】由題設(shè)，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C11、A【解析】計算雙曲線的焦點為，離心率，得到橢圓的焦點為，離心率，計算得到答案.【詳解】雙曲線的焦點為，離心率，故橢圓的焦點為，離心率，即.解得，故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：.【點睛】本題考查了橢圓和雙曲線的離心率，焦點，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，意在考查學(xué)生的計算能力.12、D【解析】根據(jù)橢圓的一個焦點是圓的圓心，求得c，再根據(jù)橢圓的短軸長為8求得b即可.【詳解】圓的圓心是，所以橢圓的一個焦點是，即c=3，又橢圓的短軸長為8，即b=4，所以橢圓長半軸長為，所以橢圓的左頂點為，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，當(dāng)即時等號成立.故答案為【點睛】本題考查了均值不等式，意在考查學(xué)生的計算能力.14、3【解析】根據(jù)雙曲線方程求出，再根據(jù)雙曲線的定義可知，即可得到、，再由正弦定理計算可得；【詳解】解：因為雙曲線為，所以、，因為點P是雙曲線左支上一點且，所以，所以，，在中，由正弦定理可得，所以；故答案為：15、（答案不唯一）【解析】根據(jù)給定直線方程求出其方向向量，再由法向量意義求解作答.【詳解】直線的方向向量為，而，所以直線的一個法向量.故答案為：16、①.②.【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得，由此求得，結(jié)合橢圓的定義求得離心率.【詳解】連接，由于是圓的切線，所以.在中，，所以，所以，所以直線的斜率.，根據(jù)橢圓的定義可知.故答案為：；【點睛】本小題主要考查橢圓的定義、橢圓的離心率，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、.【解析】在中由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，再利用四邊形的面積，結(jié)合三角形面積公式可得答案.【詳解】在中，由，，，可得在中，由，，，可得又，故．所以四邊形的面積=【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查了三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】(1)由正弦定理得到，兩邊消去公因式得到，化一即可求得角A；（2）因為，所以，再結(jié)合余弦定理得到結(jié)果.【詳解】（1）由,得,因為，所以，整理得：，因，所以.（2）因為，所以，因為及，所以，即.【點睛】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當(dāng)條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.19、（1）；（2）是，該定值.【解析】（1）根據(jù)弦長公式、點到直線距離公式，結(jié)合三角形面積公式進行求解即可；（2）根據(jù)兩點間距離公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可.【小問1詳解】顯然直線存在斜率，設(shè)直線的方程為：，所以有，設(shè)，則有，，原點到直線的距離為：，△OAB的面積為：，當(dāng)時，有最小值，最小值為；【小問2詳解】是定值，理由如下：由（1）可知：，，【點睛】關(guān)鍵點睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.20、（1）（2）見解析【解析】（1）由拋物線的定義，可得點的坐標(biāo)；（2）可設(shè)直線的方程為，，，，與拋物線聯(lián)立，消，利用韋達定理求得，，再根據(jù)，可得，從而可求得參數(shù)的關(guān)系，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)，，由拋物線的定義可知，即，解得，將代入方程，得，即的坐標(biāo)為；【小問2詳解】證明：由題意知直線不能與軸平行，可設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，消去得，設(shè)，，，則，，由，可得，即，即，即，又，解得，所以直線方程為，當(dāng)時，，所以直線過定點21、（1），是“恰當(dāng)回歸方程”；（2）10分鐘較合適.【解析】（1）應(yīng)用最小二乘法求出回歸直線方程，再分別估計、時的值，結(jié)合“恰當(dāng)回歸方程”的定義判斷是否為“恰當(dāng)回歸方程”.（2）根據(jù)（1）所得回歸直線方程，將代入求x值即可.【小問1詳解】中間4組數(shù)據(jù)是：間