2025屆寧夏銀川六中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2025屆寧夏銀川六中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列{}中，，，則的值為（）A.18 B.20C.22 D.242．如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小張在D處觀測，測得A，B分別在D處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛10海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（）海里.A. B.C. D.103．已知拋物線，，點在拋物線上，記點到直線的距離為，則的最小值是（）A.5 B.6C.7 D.84．將直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率是（）A. B.C. D.5．若復(fù)數(shù)，則（）A B.C. D.6．已知雙曲線的兩個焦點為，，是此雙曲線上的一點，且滿足，，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.7．已知雙曲線C：的右焦點為，一條漸近線被圓截得的弦長為2b，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.8．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（）A. B.C. D.9．在中國共產(chǎn)黨建黨100周年之際,廣安市某中學(xué)組織了“黨史知識競賽”活動,已知該校共有高中學(xué)生1000人,用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取一個容量為25的樣本參加活動,其中高二年級抽取了8人,則該校高二年級學(xué)生人數(shù)為()A.960 B.720C.640 D.32010．三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，數(shù)學(xué)家帕普斯巧妙地利用圓弧和雙曲線解決了這個問題．如圖，在圓D中，為其一條弦，，C，O是弦的兩個三等分點，以A為左焦點，B，C為頂點作雙曲線T．設(shè)雙曲線T與弧的交點為E，則．若T的方程為，則圓D的半徑為（）A. B.1C.2 D.11．學(xué)校為了解學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了n位同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果顯示這些同學(xué)的支出都在（單位：元）內(nèi)，其中支出在（單位：元）內(nèi)的同學(xué)有67人，其頻率分布直方圖如圖所示，則n的值為（）A.100 B.120C.130 D.39012．已知等比數(shù)列滿足，，則（）A.21 B.42C.63 D.84二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫出一個漸近線的傾斜角為且焦點在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程___________.14．直線的一個法向量________.15．螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如下圖（1）所示.如圖（2）所示陰影部分也是一個美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長為4，取正方形ABCD各邊的四等分點E，F(xiàn)，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點M，N，P，Q，作第3個正方形MNPQ，依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案.如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形AEH面積為，直角三角形EMQ面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，…，，若數(shù)列的前n項和恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______.16．如圖，某湖有一半徑為的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心O處設(shè)立一個水文監(jiān)測中心（大小忽略不計），在其正東方向相距的點A處安裝一套監(jiān)測設(shè)備．為了監(jiān)測數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在半圓弧上的點B以及湖中的點C處，再分別安裝一套監(jiān)測設(shè)備，且，．定義：四邊形及其內(nèi)部區(qū)域為“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”，設(shè)．則“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積的最大值為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動點到直線的距離與到點的距離之差為.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點的直線與交于、兩點，若的面積為，求直線的方程.18．（12分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，O為原點，已知點，，，設(shè)向量，.（1）求與夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實數(shù)k的值.19．（12分）設(shè)集合（1）若，求；（2）設(shè)，若是成立的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍20．（12分）若等比數(shù)列的各項為正，前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.21．（12分）設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求a的取值范圍；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求a的取值范圍.22．（10分）已知圓的圓心為，且經(jīng)過點.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與圓相交于、兩點，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式相關(guān)計算求出公差，進(jìn)而求出首項.【詳解】設(shè)公差為，由題意得：，解得：，所以.故選：B2、C【解析】分別在和中，求得的長度，再在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，可得，所以，在中，可得，在直角中，因為，所以，在中，由余弦定理可得，所以.故選：C.3、D【解析】先求出拋物線的焦點和準(zhǔn)線，利用拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為的距離，即可求解.【詳解】由已知得拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點到準(zhǔn)線的距離為，則，則由拋物線的定義可知∵，當(dāng)點、、三點共線時等號成立，∴，故選：.4、B【解析】由題意知直線的斜率為，設(shè)其傾斜角為，將直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率為，化簡求值即可得到答案.【詳解】由知斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，將直線繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)，則故新直線的斜率是.故選：B.5、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算即可求解.【詳解】由，故選：A6、A【解析】由，可得進(jìn)一步求出，由此得到，則該雙曲線的方程可求【詳解】，即，則．即，則該雙曲線的方程是：故選：A【點睛】方法點睛：求圓錐曲線的方程，常用待定系數(shù)法，先定式（根據(jù)已知確定焦點所在的坐標(biāo)軸，設(shè)出曲線的方程），再定式（根據(jù)已知建立方程組解方程組得解）.7、A【解析】求出圓心到漸近線的距離，根據(jù)弦長建立關(guān)系即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，則點到漸近線的距離為，因為弦長為，圓半徑為，所以，即，因為，所以，則雙曲線的離心率為.故選：A.8、C【解析】由為的中點，根據(jù)向量的運算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點，且，根據(jù)向量的運算法則，可得.故選：C.9、D【解析】由分層抽樣各層成比例計算即可【詳解】設(shè)高二年級學(xué)生人數(shù)為,則,解得故選:D10、C【解析】由題設(shè)寫出雙曲線的方程,對比系數(shù),求出即可獲解【詳解】由題知所以雙曲線的方程為又由題設(shè)的方程為,所以,即設(shè)AB的中點為,則由.所以,即圓的半徑為2故選：C11、A【解析】根據(jù)小矩形的面積之和，算出位于10～30的2組數(shù)的頻率之和為0.33,從而得到位于30～50的數(shù)據(jù)的頻率之和為1-0.33=0.67，再由頻率計算公式即可算出樣本容量的值.【詳解】位于10～20、20～30的小矩形的面積分別為位于10～20、20～30的據(jù)的頻率分別為0.1、0.23可得位于10～30的前3組數(shù)的頻率之和為0.1+0.23=0.33由此可得位于30～50數(shù)據(jù)的頻率之和為1-0.33=0.67∵支出在[30,50)的同學(xué)有67人,即位于30～50的頻數(shù)為67，∴根據(jù)頻率計算公式，可得解之得.故選：A12、D【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為q，根據(jù)給定條件求出即可計算作答.【詳解】等比數(shù)列公比為q，由得：，即，而，解得，所以.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(答案不唯一)【解析】根據(jù)已知條件寫出一個符合條件的方程即可.【詳解】如，焦點在y軸上，令，得漸近線方程為，其中的傾斜角為.故答案為：(答案不唯一).14、（答案不唯一）【解析】根據(jù)給定直線方程求出其方向向量，再由法向量意義求解作答.【詳解】直線的方向向量為，而，所以直線的一個法向量.故答案為：15、或【解析】先求正方形邊長的規(guī)律，再求三角形面積的規(guī)律，從而就可以求和了，再解不等式即可求解.【詳解】由題意，由外到內(nèi)依次各正方形的邊長分別為，則，，……，，于是數(shù)列是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，則.由題意可得：，即……，于是.，故解得或.故答案為：或16、【解析】由題意，根據(jù)余弦定理得的值，則四邊形的面積表示為，再代入面積公式化簡為三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值即可.【詳解】在中，，，，，，則（其中），當(dāng)時，取最大值，所以“直接監(jiān)測覆蓋區(qū)域”面積的最大值.故答案為：.【點睛】解答本題的關(guān)鍵是將四邊形的面積表示為，代入面積公式后化簡得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解最大值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）本題首先可以設(shè)動點，然后根據(jù)題意得出，通過化簡即可得出結(jié)果；（2）本題首先可排除直線斜率不存在時情況，然后設(shè)直線方程為，通過聯(lián)立方程并化簡得出，則，，再然后根據(jù)得出，最后根據(jù)的面積為即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)動點，因為動點到直線的距離與到點的距離之差為，所以，化簡可得，故軌跡方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時，其方程為，此時，與只有一個交點，不符合題意，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為，聯(lián)立方程，化簡得，，令、，則，，因為，所以，因為的面積為，所以，解得或，故直線方程為：或.【點睛】本題考查動點的軌跡方程的求法以及拋物線與直線相交的相關(guān)問題的求解，能否根據(jù)題意列出等式是求動點的軌跡方程的關(guān)鍵，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，在計算時要注意斜率為這種情況，考查計算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，是中檔題.18、（1）（2）【解析】（1）由向量的坐標(biāo)先求出，，，由向量的夾角公式可得答案.（2）由題意可得，從而求出參數(shù)的值【小問1詳解】由題，，，故，，，所以故與夾角余弦值為.【小問2詳解】由與的互相垂直知，，，即19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)不等式的解答求得，當(dāng)時，求得，結(jié)合集合并集的運算，即可求解；（2）由題意得到是的真子集，根據(jù)集合間的包含關(guān)系，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】解：由，解得，即，當(dāng)時，可得，所以.【小問2詳解】解：由集合，因為，且是成立的必要不充分條件，是的真子集，所以且等號不能同時成立，解得，其中當(dāng)和是滿足題意，故實數(shù)的取值范圍是.20、（1）（2）【解析】（1）設(shè)公比為，則由已知可得，求出公比，再求出首項，從而可求出數(shù)列的通項公式；（2）由已知可得，而，所以，然后利用錯位相減法可求得結(jié)果【小問1詳解】設(shè)各項為正的等比數(shù)列的公比為，，，則，，，即，解得或（舍去），所以，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】因為是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以.由（1）知，所以.所以①在①的等式兩邊同乘以，得②由①②等式兩邊相減，得，所以數(shù)列的前項和.21、（1）（2）【解析】（1）由“”是“”的充分條件，可得，從而可得關(guān)于的不等式組，解不等式組可得答案；（2）“”是“”的必要條件，可得，然后分和兩種情況求解即可【小問1詳解】