湖南省汨羅市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

湖南省汨羅市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓C與的延長(zhǎng)線、的延長(zhǎng)線以及線段相切，若為其中一個(gè)切點(diǎn)，則（）A. B.C. D.與2的大小關(guān)系不確定2．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C：交于，兩點(diǎn)，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.3．已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.4．命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0C.?x0∈R，|x0|+<0 D.?x0∈R，|x0|+≥05．若直線與圓：相切，則（）A.-2 B.-2或6C.2 D.-6或26．若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，平均變化率為3，則等于（）A. B.2C.3 D.17．已知直線：和：，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.3C.-1或3 D.-18．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.9．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體各棱及表面上運(yùn)動(dòng)且滿足，則點(diǎn)P軌跡圍成的圖形的面積為（）A. B.C. D.10．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，其公比為q，前n項(xiàng)和為，滿足，且是與的等差中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C D.11．設(shè)直線與雙曲線（，）的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.12．若數(shù)列的前n項(xiàng)和(n∈N*)，則=（）A.20 B.30C.40 D.50二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓心為直線與直線的交點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________14．有一組數(shù)據(jù)：，其平均數(shù)是，則其方差是________.15．已知橢圓的長(zhǎng)軸在軸上，若焦距為4，則__________.16．如圖，莖葉圖所示數(shù)據(jù)平均分為91，則數(shù)字x應(yīng)該是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，與軸垂直，且（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在橢圓上，且，求的面積18．（12分）某書店剛剛上市了《中國(guó)古代數(shù)學(xué)史》，銷售前該書店擬定了5種單價(jià)進(jìn)行試銷，每種單價(jià)（元）試銷l天，得到如表單價(jià)（元）與銷量（冊(cè)）數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)（元）1819202122銷量（冊(cè)）6156504845（l）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，請(qǐng)建立關(guān)于的回歸直線方程：（2）預(yù)計(jì)今后的銷售中，銷量（冊(cè)）與單價(jià)（元）服從（l）中的回歸方程，已知每?jī)?cè)書的成本是12元，書店為了獲得最大利潤(rùn)，該冊(cè)書的單價(jià)應(yīng)定為多少元？附：，，，.19．（12分）已知斜率為1的直線交拋物線：（）于，兩點(diǎn)，且弦中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條直線，分別交拋物線于，（，不同于點(diǎn)）兩點(diǎn)，且的平分線與軸垂直，求證：直線的斜率為定值.20．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）如圖，在半徑為6m的圓形O為圓心鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點(diǎn)B在圓弧上，點(diǎn)A，C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個(gè)以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面不計(jì)剪裁和拼接損耗，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)|AB|xm，圓柱的體積為Vm3.（1）寫出體積V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大最大體積是多少?

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題意知，圓C是的旁切圓，點(diǎn)是圓C與軸的切點(diǎn)，設(shè)圓C與直線的延長(zhǎng)線、分別相切于點(diǎn)、，由切線的性質(zhì)可知：，，，結(jié)合橢圓的定義，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，圓C是的旁切圓，點(diǎn)是圓C與軸的切點(diǎn)，設(shè)圓C與直線的延長(zhǎng)線、分別相切于點(diǎn)、，則由切線的性質(zhì)可知：，，，所以，所以，所以.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合，熟記橢圓的定義，以及切線的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.2、B【解析】根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，可知，從而可以確定出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程求得的值，進(jìn)而求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，且，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與拋物線的交點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)在拋物線上的條件，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡(jiǎn)單題目.3、D【解析】根據(jù)空間中射影的定義即可得到答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，所以的豎坐標(biāo)為0，橫、縱坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相同，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D4、C【解析】利用全稱命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.5、B【解析】利用圓心到直線距離等于半徑得到方程，解出的值.【詳解】圓心為，半徑為，由題意得：，解得：或6.故選：B6、B【解析】直接利用平均變化率的公式求解.【詳解】解：由題得.故選：B7、D【解析】利用兩直線平行列式求出a值，再驗(yàn)證即可判斷作答.【詳解】因，則，解得或，當(dāng)時(shí)，與重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以實(shí)數(shù)的值為-1.故選：D8、A【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，利用雙曲線，結(jié)合建立方程求出，，即可求出雙曲線的漸近線方程【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓中的，雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，雙曲線中，雙曲線滿足，即又在雙曲線中，即，解得：，所以雙曲線的方程為，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)橢圓和雙曲線的關(guān)系建立方程求出，，是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】構(gòu)造輔助線，找到點(diǎn)P軌跡圍成的圖形為長(zhǎng)方形，從而求出面積.【詳解】取的中點(diǎn)E，的中點(diǎn)F，連接BE，EF，AF，則由于為的中點(diǎn)，可得，所以∠CBE=∠ECN，從而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因?yàn)锽EEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以點(diǎn)P軌跡圍成的圖形為矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面積為.故選：A10、D【解析】根據(jù)題意求得，即可判斷AB，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可判斷C；再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可判斷D.【詳解】解：因?yàn)楦黜?xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，又因是與的等差中項(xiàng)，所以，即，解得或（舍去），故B錯(cuò)誤；所以，故A錯(cuò)誤；所以，故C錯(cuò)誤；所以，故D正確.故選：D.11、C【解析】先求出，的坐標(biāo)，再求中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)滿足，可得，從而求雙曲線的離心率.【詳解】解:由雙曲線方程可知，漸近線為，分別于聯(lián)立，解得：，，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以，所以，即，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.12、B【解析】由前項(xiàng)和公式直接作差可得.【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和(n∈N*)，所以.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由，求得圓心，再根據(jù)圓過(guò)原點(diǎn)，求得半徑即可.【詳解】由，可得，即圓心為，又圓過(guò)原點(diǎn)，所以圓的半徑，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.14、2【解析】先按照平均數(shù)算出a，再按照方差的定義計(jì)算即可?！驹斀狻俊?，所以，方差，故答案為：2.15、8【解析】根據(jù)橢圓方程列方程，解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸在軸上，焦距為4，所以故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)橢圓方程求參數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.16、1【解析】結(jié)合莖葉圖以及平均數(shù)列出方程，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，解得，故答案為：1.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）由橢圓的性質(zhì)求出，進(jìn)而得出方程；（2）由，結(jié)合余弦定理求出，再由面積公式得出三角形的面積.【詳解】解：（1），與軸垂直，，∴∴橢圓的方程為（2）由（1）知，∵，∴∴，∴的面積為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問(wèn)題二的關(guān)鍵在于利用余弦定理結(jié)合完全平方和公式求出，進(jìn)而得出面積.18、(1)(2)當(dāng)單價(jià)應(yīng)定為22.5元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)【解析】（l）先計(jì)算的平均值，再代入公式計(jì)算得到（2）計(jì)算利潤(rùn)為：計(jì)算最大值.【詳解】解：（1），，，所以對(duì)的回歸直線方程為：（2）設(shè)獲得的利潤(rùn)為，，因?yàn)槎魏瘮?shù)的開口向下，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，所以當(dāng)單價(jià)應(yīng)定為22.5元時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)【點(diǎn)睛】本題考查了回歸方程，函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.19、(1);(2)見解析.【解析】(1)涉及中點(diǎn)弦,用點(diǎn)差法處理即可求得,進(jìn)而求得拋物線方程;(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數(shù),且不等于零,設(shè),直線,則直線分別和拋物線方程聯(lián)立,解得利用,結(jié)合直線方程,即可證得直線的斜率為定值.【詳解】(1)設(shè),則,兩式相減,得:由弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,得,故.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數(shù),且不等于零,設(shè)直線由得由點(diǎn)在拋物線上,可知上述方程的一個(gè)根為.即,同理.直線的斜率為定值.【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用點(diǎn)差法處理中點(diǎn)弦問(wèn)題,直線與拋物線中,斜率為定值問(wèn)題,考查分析問(wèn)題的能力,考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度較難.20、（1）當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）【解析】（1）先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分別求時(shí)的最小值，令，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，成立，所以符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使恒成立，則，解得；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使恒成立，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.21、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)數(shù)首項(xiàng)為，公差為，由，，列出方程組，求得，，即可求