簡單幾何體表面積體積

PAGE簡單幾何體的表面積與體積1．柱、錐、臺和球的側面積和體積面積體積圓柱S側＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側＝πrlV＝eq\f（1,3)Sh＝eq\f（1,3）πr2h＝eq\f（1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺S側＝π（r1＋r2)lV＝eq\f（1，3）（S上＋S下＋eq\r(S上S下））h＝eq\f（1，3）π（req\o\al（2，1）＋req\o\al（2,2）＋r1r2）h直棱柱S側＝ChV＝Sh正棱錐S側＝eq\f(1,2）Ch′V＝eq\f(1,3）Sh正棱臺S側＝eq\f（1，2）(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)（S上＋S下＋eq\r（S上S下）)h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4，3）πR32.幾何體的表面積（1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面面積之和．(2）圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側面積與底面面積之和．［難點正本疑點清源］1．幾何體的側面積和全面積幾何體的側面積是指（各個)側面面積之和,而全面積是側面積與所有底面積之和．對側面積公式的記憶，最好結合幾何體的側面展開圖來進行．要特別留意根據(jù)幾何體側面展開圖的平面圖形的特點來求解相關問題．如直棱柱(圓柱）側面展開圖是一矩形，則可用矩形面積公式求解．再如圓錐側面展開圖為扇形,此扇形的特點是半徑為圓錐的母線長，圓弧長等于底面的周長，利用這一點可以求出展開圖扇形的圓心角的大?。?．等積法等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體）的面積（或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高，這一方法回避了具體通過作圖得到三角形（或三棱錐）的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值．1．圓柱的一個底面積為S,側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是________．2．設某幾何體的三視圖如下(尺寸的長度單位為m)．則該幾何體的體積為________m3。3．表面積為3π的圓錐，它的側面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為________．4．一個球與一個正方體的各個面均相切，正方體的邊長為a，則球的表面積為________．5。如圖所示，在棱長為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P是A1B1且PB1＝eq\f（1，4)A1B1，則多面體P—BB1C1C的體積為________．題型一簡單幾何體的表面積例1一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 (）A．48 B．32＋8eq\r（17）C．48＋8eq\r(17） D．80思維啟迪：先通過三視圖確定空間幾何體的結構特征，然后再求表面積．探究提高（1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關鍵是能夠?qū)o出的三視圖進行恰當?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系．（2）多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應注意重合部分的處理．（3）圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之和．一個幾何體的三視圖(單位：cm）如圖所示，則該幾何體的表面積是________cm2。題型二簡單幾何體的體積例2如圖所示，已知E、F分別是棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點，求四棱錐C1-B的體積．思維啟迪：思路一：先求出四棱錐C1—B1EDF的高及其底面積，再利用棱錐的體積公式求出其體積；思路二：先將四棱錐C1—B1EDF化為兩個三棱錐B1—C1EF與D-C1EF，再求四棱錐C1—B1EDF的體積．解方法一連接A1C1，B1D1交于點O1，連接B1D，EF，過O1作O1H⊥B1D于H.∵EF∥A1C1，且A1C1平面B1EDF，∴A1C1∥平面∴C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF∵平面B1D1D⊥平面B1EDF，平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H為棱錐的高．∵△B1O1H∽△B1DD1,∴O1H＝eq\f（B1O1·DD1,B1D）＝eq\f（\r（6），6）a.∴VC1—B1EDF＝eq\f(1,3）S四邊形B1EDF·O1H＝eq\f(1,3)·eq\f(1，2）·EF·B1D·O1H＝eq\f（1,3）·eq\f（1，2)·eq\r(2)a·eq\r(3）a·eq\f（\r（6)，6)a＝eq\f(1,6)a3。方法二連接EF,B1D.設B1到平面C1EF的距離為h1,D到平面C1EF的距離為h2，則h1＋h2＝B1D1＝eq\r(2）a.由題意得，VC1—B1EDF＝VB1—C1EF＋VD—C1EF＝eq\f(1,3）·S△C1EF·（h1＋h2)＝eq\f（1,6)a3.探究提高在求解一些不規(guī)則的幾何體的體積以及兩個幾何體的體積之比時，常常需要用到分割法．在求一個幾何體被分成兩部分的體積之比時,若有一部分為不規(guī)則幾何體，則可用整個幾何體的體積減去規(guī)則幾何體的體積求出其體積．已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為()A。eq\f(\r(2）,6） B.eq\f(\r（3）,6) C。eq\f(\r（2),3） D.eq\f（\r(2）,2）題型三幾何體的展開與折疊問題例3（1)如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O，剪去△AOB，將剩余部分沿OC、OD折疊，使OA、OB重合，則以A、B、C、D、O為頂點的四面體的體積為________．（2)有一根長為3πcm，底面直徑為2cm的圓柱形鐵管,用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為________cm。思維啟迪：（1）考慮折疊后所得幾何體的形狀及數(shù)量關系；（2)可利用圓柱的側面展開圖．（2)研究幾何體表面上兩點的最短距離問題，常選擇恰當?shù)哪妇€或棱展開,轉化為平面上兩點間的最短距離問題．如圖，已知一個多面體的平面展開圖由一邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是_______．.方法與技巧1．對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積的問題,要結合它們的結構特點與平面幾何知識來解決．2．要注意將空間問題轉化為平面問題．3．求幾何體的體積，要注意分割與補形．將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形將其轉化為規(guī)則的幾何體求解．4．一些幾何體表面上的最短距離問題，常常利用幾何體的展開圖解決．A組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分）一、選擇題(每小題5分,共20分）1．如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為 ()A．6 B．9 C．12 2。已知高為3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是邊長為1的正三角形(如右圖所示），則三棱錐B′—ABC的體積為（）A.eq\f(1，4) B.eq\f(1，2） C。eq\f（\r（3),6） D.eq\f（\r（3）,4）3．正六棱柱的高為6，底面邊長為4，則它的全面積為 ()A．48(3＋eq\r（3)） B．48(3＋2eq\r（3）)C．24(eq\r（6）＋eq\r（2)) D．1444．某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是 (）A．28＋6eq\r（5) B．30＋6eq\r(5）C．56＋12eq\r(5） D．60＋12eq\r(5)二、填空題(每小題5分，共15分)5．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點,則三棱錐D1－6．一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m)，則該幾何體的體積為________m3。7．已知三棱錐A—BCD的所有棱長都為eq\r（2），則該三棱錐的外接球的表面積為________．三、解答題（共22分）8．(10分）如圖所示，在邊長為5＋eq\r（2）的正方形ABCD中，以A為圓心畫一個扇形,以O為圓心畫一個圓，M，N,K為切點，以扇形為圓錐的側面,以圓O為圓錐底面,圍成一個圓錐,求圓錐的全面積與體積．9．(12分）有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球，并注入水,使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度．B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題（每小題5分,共15分)1．某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是個半圓，則該幾何體的表面積為()A.eq\f(3,2）π B．π＋eq\r(3) C。eq\f（3，2）π＋eq\r(3） D.eq\f（5,2）π＋eq\r（3）2．在四棱錐E—ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，2AB＝3CD，M為AE的中點，設E—ABCD的體積為V，那么三棱錐M—EBC的體積為 ()A。eq\f(2，5)V B.eq\f(1，3）V C。eq\f（2，3)V D。eq\f（3，10）V3．已知球的直徑SC＝4，A、B是該球球面上的兩點，AB＝eq\r(3)，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S－ABC的體積為 (）A．3eq\r（3) B．2eq\r（3） C。eq\r(3) D．1二、填空題（每小題5分,共15分）4.如圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為2cm，高為5cm一質(zhì)點自點A出發(fā),沿著三棱柱的側面繞行兩周到達點A1的最短路線的長為______cm。5．已知一個幾何體是由上、下兩部分構成的組合體,其三視圖如圖所示，若圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為eq\r（5)，則該幾何體的體積是________．6．如圖，A