《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》章未歸納復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》章未歸納復(fù)習(xí)知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)答案=1\*GB3①稱或為函數(shù)在以為端點的閉區(qū)間上的平均變化率=2\*GB3②一般地,設(shè)函數(shù)在附近有意義,自變量在處的改變量為,當(dāng)無限接近于0時,若平均變化率無限接近于一個常數(shù),那么稱常數(shù)為函數(shù)在處的瞬時變化率.此時,也稱在處可導(dǎo),并稱為在處的導(dǎo)數(shù),即=3\*GB3③是曲線在點處(也稱在處)的切線的斜率=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦一般地,函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)為,則..還可表示為=8\*GB3⑧一般地,如果在區(qū)間內(nèi),,則在上是增函數(shù);如果在區(qū)間內(nèi),,則在上是減函數(shù)=9\*GB3⑨一般地,設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo),.（1）如果對于左側(cè)附近的任意,都有,對于右側(cè)附近的任意,都有,那么此時是的極大值點,是極大值.（2）如果對于左側(cè)附近的任意,都有,對于右側(cè)附近的任意,都有,那么此時是的極小值點,是極小值.（3）如果在的左側(cè)附近與右側(cè)附近均為正號(或均為負號),則一定不是的極值點=10\*GB3⑩一般地,如果函數(shù)在定義域內(nèi)的每一個點都可導(dǎo),且函數(shù)存在最值,則函數(shù)的最值點一定是某個極值點;如果函數(shù)的定義域為且存在最值,函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),那么函數(shù)的最值點要么是區(qū)間端點或,要么是極值點知識要點整合一、導(dǎo)數(shù)的運算與導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.對于導(dǎo)數(shù)的運算,應(yīng)熟練學(xué)握基本導(dǎo)數(shù)公式和運算法則,這是正確進行導(dǎo)數(shù)運算的必備知識.另外,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則學(xué)生易于忽視,求導(dǎo)時.首先分清復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成形式,然后利用.2.涉及曲線的切線問題,注意兩點:一是該點處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率,二是切點既在曲線上又在切線上.例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）;（2）;（3）.解析前兩小題可通過函數(shù)和(或差)與函數(shù)積的求導(dǎo)法則求解,最后一小題根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求解.答案（1）.（2）因為，所以.（3）例2（1）已知曲線在點處的萬線方程為,則（）A.B.C.D.（2）已知為偶函數(shù),當(dāng)時,,則曲線在點處的切線方程是_____.解析（1）因為,所以切線的斜率,所以.將代入,得.故選D.（2）因為為偶函數(shù),所以當(dāng)時,,所以,則.所以在點處的切線方程為,郥.答案（1）D（2）二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)把導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)工具,求解單調(diào)區(qū)間,研究函數(shù)的極大(小)值,以及求在閉區(qū)間上函數(shù)的最大(小)值是本章的重點.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性是基礎(chǔ),求極值是關(guān)鍵,學(xué)習(xí)時一定要熟練掌握求解方法.1.利用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟如下:（1）確定函數(shù)的定義域;（2）求;（3）解不等式或;（4）不等式的解集與定義域取交集;（5）確定并寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間.2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟如下:（1）確定函數(shù)的定義域;（2）求方程的根,檢驗的根的兩側(cè)的符號.若“左正右負”,則的此根處取得極大值;若“左負右正”,則在此根處取得極小值;否則,此根不是的極值點.3.求函數(shù)在上的最值的一般步驟如下:（1）求在內(nèi)的極值;（2）將極值與比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.特別地,（1）當(dāng)在上單調(diào)時,其最小值、最大值在區(qū)間端點處取得;（2）當(dāng)在內(nèi)只有一個極值點時,若在這一點處有極大(或極小)值,則可以判定在該點處取得最大(最小)值,這里也可以是.例3已知函數(shù),其中為常數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).若,求函數(shù)的極值.解析利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值即可.答案由題意可得，即,當(dāng)時,.令,解得,可得下表:所以的極小值為,極大值為.例4已知函數(shù),其中.（1）若曲線在點處的切線的斜率為1,求的值;（2）討論函數(shù)的單調(diào)性;（3）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點,證明:當(dāng)時,.解析（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義運算即可得解.（2）,對的大小關(guān)系進行分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性.（3）結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點可得,再由函數(shù)的單調(diào)性,進而可轉(zhuǎn)化條件為,為,通過導(dǎo)數(shù)證明即可得證.答案（1）因為,所以,所以,解得.（2）,=1\*GB3①若,即的解為,所以當(dāng)時,,當(dāng)時,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.=2\*GB3②若,即的解為或,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,.故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.=3\*GB3③若,即恒成立,所以在上單調(diào)遞增.=4\*GB3④若,即的解為或所以當(dāng)時,;當(dāng)時,.故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,若,當(dāng)時,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞增;若,當(dāng)時,單調(diào)遞增,時,單調(diào)遞減;若在上單調(diào)遞增;若2,當(dāng)時,單調(diào)遞增,時,單調(diào)遞減.（3）由題意,.因為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點,設(shè)零點為,則,結(jié)合（2）,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,設(shè),則設(shè),則,故單調(diào)遞減.又,故在上恒成立,故單調(diào)遞減,所以.故當(dāng)時,.三、利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)問題實質(zhì)上是利用導(dǎo)數(shù)求解切線問題、單調(diào)性問題、極值問題的逆向思維型問題,此類問題主要是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值的關(guān)系,并結(jié)合函數(shù)與方程思想、分類討論思想等來解答的.常見問題及解題方法如下:1.已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍有兩種思路:（1）轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上恒成立問題,即恒成立,用分離參數(shù)求最值或函數(shù)性質(zhì)求解,注意驗證使的參數(shù)是否符合題意.（2）構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的不等式求解,即令0)求得用參數(shù)表示的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合所給區(qū)間,利用區(qū)間端點列不等式求參數(shù)的取值范圍.2.根據(jù)直線與曲線相切的條件求解參數(shù)問題,主要是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來求解.求解時要?住切點,因為切點既在曲線上,又在切線上,同時將切點的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)可得切線的斜率.利用切點的特點通過建立方程(組)可求解參數(shù)問題.3.根據(jù)函數(shù)的極值求解參數(shù)問題,求解時須?住極值點,因為極值點的橫坐標(biāo)就是方程的根,由此可以通過建立參數(shù)的方程(組)使問題獲解.例5已知為常數(shù)且.（1）若函數(shù)的極大值為2,求間的關(guān)系式;（2）若函數(shù)的極大值為2,且在區(qū)間上的最小值為,求的值.解析（1）令求得極值點,通過列表知,知小?,從而得間的關(guān)系式.（2）利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極大值,推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求解函數(shù)的最大值,然后分情況求的值.答案（1）由題意可得,令,解得,因為,所以.當(dāng)變化時,的變化情況見下表:所以當(dāng)時,有極大值2,即.（2）當(dāng)時,由知,在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),所以為最小值,.即,又由,于是有,即,故2,此時.當(dāng)時,結(jié)合（1）知在上為減函數(shù),即為最小值,故,從而得,與矛盾,應(yīng)舍去.綜上,.例6設(shè)函數(shù)（1）若恒成立,求的取值范圍;（2）=1\*GB3①若,試討論的單調(diào)性;=2\*GB3②若有兩個不同的零點,求的取值范圍,并說明理由.解析（1）由得出,令,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值,進而可得出實數(shù)的取值范圍.（2）=1\*GB3①將代入函數(shù)的解析式,利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.=2\*GB3②由參變量分離法得出,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值,進而可求得實數(shù)的取值范圍.答案（1）因為,所以,則.令,則,令,解得.當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以,則,因此,實數(shù)的取值范圍是.（2）=1\*GB3①當(dāng)時,,則,令,則,當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以,所以恒成立,即恒成立,因此,函數(shù)在上單調(diào)遞減.=2\*GB3②由,得,得,令,其中,則，令，當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減.因為,所以當(dāng)時,當(dāng)時,,則;當(dāng)時,,則.所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,且當(dāng)時,,所以,.四、導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用一般地,高考中的數(shù)學(xué)應(yīng)用題往往以現(xiàn)實生活為原型設(shè)計,其目的在于考查學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的閱讀、理解、表達與轉(zhuǎn)化能力,求解時一般按以下幾步進行:=1\*GB3①閱讀理解,認(rèn)真審題;=2\*GB3②建立數(shù)學(xué)模型;=3\*GB3③解決問題,求得答案;=4\*GB3④檢驗結(jié)果.在利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題時,一般會用到求導(dǎo)、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、最值等知識,應(yīng)熟練掌握.例7新冠肺炎疫情發(fā)生后,為了支持企業(yè)復(fù)工復(fù)產(chǎn),某地政府決定向當(dāng)?shù)仄髽I(yè)發(fā)放補助款,其中對納稅額(萬元)在的小微企業(yè)做統(tǒng)一方案,方案要求同時具備下列兩個條件:=1\*GB3①補助款(萬元)隨企業(yè)原納稅額(萬元)的增加而增加;②補助款不低于原納稅額的.經(jīng)測算政府決定采用函數(shù)模型(其中為參數(shù))作為補助業(yè)發(fā)放方案.（1）判斷當(dāng)使用參數(shù)時是否滿足條件,并說明理由;（2）求同時滿足條件(1)(2)的參數(shù)的取值范圍.解析（1）當(dāng)時,求得與0的大小關(guān)系,得到在時的單調(diào)性,又由,即可得到答案.（2）先求出,分類討論求得函數(shù)的單調(diào)性,得到,再由不等式在上恒成立,求得,即可求解.答案（1）當(dāng),函數(shù),可得,所以在時為增函數(shù),滿足條件=1\*GB3①;又因為,所以當(dāng)時不滿足條件=2\*GB3②.綜上可得,當(dāng)使用參數(shù)時不滿足條件.（2）由函數(shù),可得所以當(dāng)時,,滿足條件=1\*GB3①;當(dāng)時,由,可得,當(dāng)時,單調(diào)遞增,所以,解得,綜上可得,.由條件=2\*GB3②可知,,即不等式在上恒成立,等價于.當(dāng)時,取最小值12,所以.綜上,參數(shù)的取值范圍是.核心素養(yǎng)梳理1.直觀想象涉及切線問題往往與導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合起來，借助于圖形找到解題的突破口，同時又可以優(yōu)化解題過程，迅速找到最佳的解題方案，有利于學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的提升.例1在平面直角坐標(biāo)系中,是曲線上的一個動點,則點到直線的距離的最小值是_____.解析由,得,設(shè)斜率為的直線與曲線切于點,由得舍去,所以曲線上,點到直線的距離最小,最小值為.答案42.數(shù)學(xué)運算與邏輯推理導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的性質(zhì)中需要較高的運算技巧,而分類討論思想是優(yōu)化數(shù)學(xué)運算的重要方法,構(gòu)造函數(shù)是進行邏輯推理的重要手段,同時數(shù)學(xué)運算又有力推進了邏輯推理的進程.學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的性質(zhì),利于提升數(shù)學(xué)運算和邏輯推理核心素養(yǎng).例2已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2）設(shè),求在區(qū)間上的最大值;（3）證明:對任意,不等式成立.解析對于,首先求得,令和可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.對于,由(1)得到函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間,對進行分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求得在上的最大值.對于,分析題意可知,只需證明在上,恒有即可.答案(1)由題意可得的定義域為,，由,得.當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.（2）=1\*GB3①當(dāng),即時,在上單調(diào)遞增,所以=2\*GB3②當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,所以.=3\*GB3③當(dāng),即時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以.（3）由（1）知,當(dāng)時,,所以在上,恒有,即,并且當(dāng)時等號成立.因此,對任意,恒有.因為,所以,即,所以,即對任意,不等式成立.3.數(shù)學(xué)建模導(dǎo)數(shù)在實際生活中應(yīng)用很廣,但同時導(dǎo)數(shù)也是數(shù)學(xué)中比較抽象的一個概念,所以在解決實際問題中數(shù)學(xué)建模非常關(guān)鍵,尤其是確定函數(shù)模型對學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的要求較高,有利于數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的提升.例3某市舉辦“廣電狂歡購物節(jié)”促銷活動,某廠商擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費,對所售產(chǎn)品進行促銷.經(jīng)調(diào)查測算,該促銷產(chǎn)品在狂歡購物節(jié)的銷售量(萬件)與廣告費用(萬元)滿足(其中為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品萬件還需投入成本萬元不含廣告費用),產(chǎn)品的銷售價格定為元件,假定廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品恰好能夠售完.（1）將該產(chǎn)品的利潤(萬元)表示為廣告費用(萬元)的函數(shù);（2）問廣告費投入多少萬元時,廠商的利潤最大?解析本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.（1）由已知易求出解析式.(2)求出導(dǎo)數(shù),然后對分類討論,根據(jù)單調(diào)性求解即可.答案（1）由題意知,,將代入上式,化簡得,（2）由（1）知，當(dāng)時,當(dāng)時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以促銷費用投入1萬元時,廠家的利潤最大.當(dāng)時,因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,所以時,函數(shù)有最大值,即促銷費用投入萬元時,廠家的利潤最大.綜上所述,當(dāng)時,促銷費用投入1萬元,廠家的利潤最大;當(dāng)時,促銷費用投入萬元,廠家的利潤最大.高考真題再現(xiàn)考點1導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義在高考中常以選擇題、填空題的形式考查,難易度,預(yù)計分值為5分,有時會以解答題的第一問的形式出現(xiàn),考查的方式是與曲線的切線方程有關(guān)的問題.求解此類問題,首先證明已知點是否為切點,若是切點,可以直接利用導(dǎo)數(shù)求解;若不是切點,設(shè)出切點,再求導(dǎo),然后列出切線方程.例1（2019·全國Ⅱ）曲線在點處的切線方程為（）A.B.C.D.解析因為,所以,則曲線在點處的切線方程為,即.故選C.答案C例2（2018·全國Ⅲ）曲線在點,1)處的切線的斜率為,則_____.解析由題意得,則,所以.答案例3（2019·江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中,點在曲線上,且該曲線在點處的切線經(jīng)過點為自然對數(shù)的底數(shù),則點的坐標(biāo)是_____.解析設(shè)點,則.又,當(dāng)時,,則曲線在點處的切線方程為,即.將點代入,得,即.考察函數(shù),當(dāng)時,,當(dāng)時,,且,當(dāng)時,單調(diào)遞增,注意到,故存在唯一的實數(shù)根,此時,故點的坐標(biāo)為.答案考點2識圖問題此類題在高考中主要以選擇題形式出現(xiàn),難易度為,預(yù)計分值為5分.識圖主要從以下幾個方面來考慮;(1)定義域;(2)值域;(3)單調(diào)性;(4)對稱性;(5)極值與極值點;特殊點;極限思想.此類問題中,通常在研究函數(shù)的單調(diào)性和極值點時用到導(dǎo)數(shù).例4（2017·浙江）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示,則函數(shù)的圖像可能是（）A.B.C.D.解析本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖像與原函數(shù)圖像的關(guān)系:若導(dǎo)函數(shù)圖像與軸的交點為,且圖像在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方,則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點,運用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時,由導(dǎo)函數(shù)的正負,可得出原函數(shù)的單朋區(qū)問.答案D例5（2018·全國Ⅲ）函數(shù)大致為（）A.B.C.D.解析當(dāng)時,,排除選項.時,，排除C選項.故選D.答案D考點3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間通常以解答題形式考查，難易度為,預(yù)計分值分，其有兩種考查方式：一是不含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間；二是含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間.例6（2019·浙江節(jié)選）已知實數(shù)，設(shè)函數(shù).當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解析首先確定函數(shù)的定義域，求得，再令和，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案當(dāng)時,,，令,得,函數(shù)單調(diào)遞增.令,得,函數(shù)單調(diào)遞減.所以,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū).例7（2019·全國Ⅲ節(jié)選）已知函數(shù).討論的單調(diào)性.解析首先求,再求方程的根，通過比較兩根的大小分類討論.令和可永數(shù)的單調(diào)區(qū)間.答案.令,得或.若,則當(dāng)時;當(dāng)時,,故在,若在上單調(diào)遞減；若,則當(dāng)時,0：當(dāng)時.,故在,上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減.考點4函數(shù)的扱值高考通常以解答題形式考查函數(shù)的極值，難易度為0.4，預(yù)計分值為3~5分，考查方式：一是證明極值點的個數(shù)，二是已知極值點求參數(shù).例8(2019·全國I節(jié)是)已知函數(shù)為的導(dǎo)數(shù).證明:在區(qū)間存在唯一極大值點.解析設(shè),先求式，再對x屬于不同區(qū)間時函數(shù)的單調(diào)性進行討論，從而得證.答案設(shè),則,當(dāng)吋,單調(diào)?淢,而.,可得在上有唯一零點,設(shè)為.則當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.故在上存在唯一極大值點，即在間上存在唯一極大值點.考點5函數(shù)的最值在高考中考查函數(shù)的最值有解答題，也有選擇題和填空題，難易度為0.4，預(yù)計分值為3~6分，其通常與函數(shù)的單調(diào)性、極值結(jié)合起來考查.例9（2018·江蘇）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為_____.解析由待,因為函數(shù)在上有且僅有一個零點且,所以.因此,.從而函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以.答案例10（2018·全國I）已知函數(shù),則的最小值是_____.解析由題意可得是的一個周期,故只需考慮在上的值域.先來求該函數(shù)在上的極值點,求導(dǎo)數(shù)可得,令可解得或,可得此時或,所以的最小值只能在點或和邊界點中取到,計算可得,，所以函數(shù)的最小值為.答案例11（2019·全國Ⅲ節(jié)選）已知函數(shù).是否存在,使得在區(qū)間的最小值為且最大值為?若存在,求出的所有值;若不存在,說明理由.解析令,得和,然后對討論,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.答案滿足題設(shè)條件的存在.（1）當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,所以在區(qū)間上的最小值為,最大值為.此時滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng),即.（2）當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,所以在區(qū)間上的最大值為,最小值為.此時滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng),即.（3）當(dāng)時,若,則,若,則,故在上的最小值為,最大值為或.若,則,與矛盾.若,則或或,與矛盾.綜上,當(dāng)且僅當(dāng)或時,在的最小值為,最大值為1.利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題在高考中是高頻考點,難易程度為,預(yù)計分值為分,有選擇題也有解答題,其考查方式有兩種:一是求參數(shù)范圍,二是證明不等式.例12（2019·天津）已知,設(shè)函數(shù)若關(guān)于x的不等式在上恒成立,則的取值范圍為（）A.B.C.D.解析當(dāng)時,恒成立.當(dāng)時,恒成立,令