《數(shù)列》章末歸納復習

高中數(shù)學精選資源3/3《數(shù)列》章末歸納復習知識網(wǎng)絡建構答案=1\*GB3①有窮數(shù)列=2\*GB3②無窮數(shù)列=3\*GB3③遞增數(shù)列=4\*GB3④遞減數(shù)列=5\*GB3⑤常數(shù)列=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧=9\*GB3⑨=10\*GB3⑩eq\o\ac(○,11)eq\o\ac(○,12)eq\o\ac(○,13)eq\o\ac(○,14)eq\o\ac(○,15)eq\o\ac(○,16)eq\o\ac(○,17)知識要點整合一、等差、等比數(shù)列的判定判定一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列的方法：提示:（1）在解答題中證明一個數(shù)列是等比(或等差)數(shù)列通常用定義法或中項公式法,通項公式法和前項和公式法常在小題或分析題意時運用.（2）若要判定一個數(shù)列不是等差(比)數(shù)列,則只需判定其任意的連續(xù)三項不成等差(比)即可.例1數(shù)列的前項和為（1）設,求證:是等比數(shù)列;（2）設,求證:是等差數(shù)列.解析分別利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義進行證明.答案（1）.所以因為,所以,所以.所以數(shù)列是首項為3,公比為2的等比數(shù)列.（2）由(1)知,所以.又,所以,且,所以數(shù)列是等差數(shù)列,公差為3,首項為2.例2已知數(shù)列滿足:為常數(shù)),且,其中.（1）若是等比數(shù)列,試求數(shù)列的前項和的公式;（2）當是等比數(shù)列時,甲同學說:一定是等比數(shù)列;乙同學說:一定不是等比數(shù)列.你認為他們的說法是否正確?為什么?解析（1）是以為首項,為公比的等比數(shù)列.寫出前項和時要注意討論公比是否等于根搭的情況討論.答案（1）因為是等比數(shù)列,,所以.又,又,則,即是以為首項,為公比的等比數(shù)列.所以（2）甲、乙兩個同學說法都不正確,理由如下:方法一:設的公比為,則,且.又是以1為首項,為公比的等比數(shù)列;是以為首項,為公比的等比數(shù)列,即為：，當時,是等比數(shù)列;當時,不是等比數(shù)列.方法二:可能是等比數(shù)列,也可能不是等比數(shù)列,舉例說明如下:設的公比為,=1\*GB3①取時,,此時都是等比數(shù)列.=2\*GB3②取時,,此時是等比數(shù)列,而不是等比數(shù)列.二、求數(shù)列的通項公式1.觀察法.適用于給出數(shù)列的前項,寫出數(shù)列的通項公式的情況.觀察是歸納的前提,合理的轉換是完成歸納的關鍵.注意,由數(shù)列的前項歸納出的通項公式不一定唯一.2.定義法.即直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法,這種方法適用于已知數(shù)列類型的題目.3.已知求.若已知數(shù)列的前項和與的關系,求數(shù)列的通項可用公式求解.注意,由求得時的是從2開始的自然數(shù),否則會出現(xiàn)時的情況,而與前項和矛盾.4.累加或累乘法.形如的遞推式,可用累加法求通項公式;形如的遞推式,可用累乘法求通項公式.累乘的目的是出現(xiàn)分子、分母相抵消的情況.注意,要對檢驗,若不符合就要寫成分段函數(shù)的形式.5.構造法.根據(jù)已知條件構造一個與有關的新的數(shù)列,通過新數(shù)列通項公式的求解求得的通項公式.新的數(shù)列往往是等差數(shù)列或是等比數(shù)列,例如形如.為常數(shù)的形式,往往變?yōu)?構成等比數(shù)列,先求通項公式,再求.例3（1）已知數(shù)列的前項和,求;（2）數(shù)列的前項和為,且,求.解析（1）已知求時,應分與兩種情況討論.（2）在已知式中?有又有時,應轉化為僅含或的形式求解.答案（1）當時,,當時,不適合上式.所以（2）因為,所以,=1\*GB3①所以時,.=2\*GB3②=1\*GB3①—=2\*GB3②得,所以,所以.又，所以時,,不適合.所以例4（1）數(shù)列是正項數(shù)列,且,則_____.（2）已知在數(shù)列中,,且,則數(shù)列的通項公式_____.解析（1）因為),=1\*GB3①所以，=1\*GB3①=2\*GB3②,得所以.又,故,也滿足式子,故.（2）由,得,故.以上式子累乘得,.因為,所以,因為滿足上式,所以.答案=1\*GB3①=2\*GB3②方法歸納已知形如“”的遞推公式,可考慮疊加法求.已知形如“的遞推公式,則可考慮累乘法求.三、等差（比）數(shù)列的基本運算在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式與前項和公式中,共涉及五個量:或,其中和或為基本量.“知三求二”是指將已知條件轉換成關于的方程組,利用方程的思想求出需要的量.當然在求解中若能運用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)會更好,這樣可以化繁為簡,減少運算量,同時還要注意整體代的思想方法的運用.例5等比數(shù)列中,已知.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）若分別為等差數(shù)列的第3項和第5項,試求數(shù)列的通項公式及前項和.解析（1）根據(jù)求出公比,寫出通項公式.(2)先求出的值,再通過解方程組求出的首項與公差,進而寫出通項公式及前項和.答案（1）設的公比為,由已知得,解得,所以.（2）由（1）得,則.設的公差為,則有解得所以.所以數(shù)列的前項和.例6已知等差數(shù)列的公差,前項和為.（1）若成等比數(shù)列,求;（2）若,求的取值范圍.解析（1）將成等比數(shù)列轉化為,求解.(2)將轉化為關于的不等式,求解不等式即可.答案（1）因為等差數(shù)列的公差,且,成等比數(shù)列,所以,即,解得或.（2）因為等差數(shù)列的公差,且,所以,即,解得.四、數(shù)列求和數(shù)列求和問題一般轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前項和問題,不能轉化的再根據(jù)數(shù)列通項公式的特點選擇恰當?shù)姆椒ㄇ蠼?一般常見的求和方法有:（1）公式法:利用等差數(shù)列或等比數(shù)列前項和公式.（2）分組求和法:把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列.（3）裂項(相消)法:把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式,相加過程消去中間項,只剩有限項再求和.（4）錯位相減法:適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘構成的數(shù)列求和.（5）倒序相加法:例如,等差數(shù)列前項和公式的推導.例7已知數(shù)列的前項和(其中為常數(shù),且.（1）求;（2）求數(shù)列的前項和.解析（1）已知,根據(jù)與的關系確定.（2）由（1）知為等比數(shù)列,則是由等差數(shù)列和等比數(shù)列的對應項的積構成的新數(shù)列,可用錯位相減法求和.答案（1）當時,,則,，所以.因為,即,解得,所以.當時,.綜上所述,.（2）由（1）知,所以.則,,兩式作差得,例8（1）已知等比數(shù)列中,,若數(shù)列滿足,則數(shù)列的前項和_____；（2）設數(shù)列滿足.令,則數(shù)列的前項和_____.解析（1）設等比數(shù)列的公比為,則,解得.所以,故,所以.則（2）由已知,當時,.而,符合上式,所以數(shù)列的通項公式為.由知，=1\*GB3①從而，=2\*GB3②=1\*GB3①—=2\*GB3②得，即.答案（1）（2）五、數(shù)列的實際應用求解實際應用問題時,首先要弄清題意,分清條件和結論,抓住關鍵詞和量,理順數(shù)量關系,然后將文字語言轉化成數(shù)學語言,建立相應的數(shù)學模型.數(shù)列的實際應用主要是建立等差或等比數(shù)列模型,解決一些與數(shù)列有關的實際應用題,主要體現(xiàn)在分期還款、產(chǎn)值增長及其他等方面.例9某人為了觀看2022年冬季奧運會,從2016年起,每年的1月1日到銀行存人元的定期儲蓄,若年利率為且保持不變,并約定每年到期,存款的本息均自動轉為新的一年的定期,到2022年的1月1日將所有存款及利息全部取出,則可取出錢(元)的總數(shù)為（）A.B.C.D.解析由題意,2016年1月1日存入的元,一年后存款及利息為,二年后存款及利息為,,依次類推.由此可得,從2016年1月1日到2022年1月1日所有的存款及利息為:.答案D例10水土流失是我國西部大開發(fā)中最突出的生態(tài)問題.已知西部某地區(qū)有25度以上的坡耕地3000萬畝需退耕還林,國家確定2005年在西部該地區(qū)退耕還林土地面積為300萬畝,以后每年退耕還林土地面積比上一年遞增,那么從2005年起到哪一年該地區(qū)基本解決退耕還林問題（）注計算時可取.A.2010B.2006C.2007D.2008解析由題意在西部該地區(qū)每年退耕還林的面積數(shù)依次構成一個等比數(shù)列,記為,則,因為,所以,整理得,所以.所以從2005年起,到2010年該地區(qū)基本解決退耕還林問題.答案六、數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關的命題的證明方法,表述嚴格而且規(guī)范,兩個步驟缺一不可.第一步是遞推的基礎,第二步是遞推的依據(jù),第二步中,歸納假設起著“已知條件”的作用,在時一定要運用它,否則就不是數(shù)學歸納法.第二步的關鍵是“一納假設,二納結論”.運用數(shù)學歸納法證明問題時,關鍵是時命題成立的推證,此步證明要具有目標意識,注意與最終要達到的解題目標進行分析比較,以此確定和調(diào)控解題的方向,使差異逐步減小,最終實現(xiàn)目標完成解題.例11設等差數(shù)列的前項和為,.數(shù)列滿足:對每個,成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）記,證明:解析（1）由已知求出首項和公差,即可得出通項公式,再由題設得,即可求出通項公式.（2）利用數(shù)學歸納法即可證明.答案（1）設數(shù)列的公差為,由題意得解得,所以.所以.因為數(shù)列滿足:對每個成等比數(shù)列,所以,解得,即.（2）由（1）知,所以用數(shù)學歸納法證明:(i)當時,,不等式成立.(ii)假設當時不等式成立,即,則當時,，即時,不等式也成立.由(i)(ii)得.例12觀察下列等式:，，，，按照以上式子的規(guī)律:（1）寫出第5個等式,并猜想第個等式;（2）用數(shù)學歸納法證明上述所猜想的第個等式成立.解析（1）確定第個等式左邊第一個數(shù)為,且為依次連續(xù)個自然數(shù)的和,右邊是的平方.（2）根據(jù)數(shù)學歸納法解題步驟書寫,關鍵是由時成立的等式證明時的等式成立.答案（1）第5個等式為.第個等式為（2）證明:(i)當時,等式左邊,等式右邊,所以等式成立.(ii)假設當時,命題成立,即,則當時,，即時等式成立.根據(jù)(i)和(ii),可知對任意等式都成立.核心素養(yǎng)梳理本單元主要涉及數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).1.數(shù)學抽象核心素養(yǎng)主要體現(xiàn)在數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義等知識點上通過生活中的實例，由具體到抽象，逐步掌握這些概念，能夠提升數(shù)學抽象核心素養(yǎng)；同時通過等差、等比數(shù)列的比較，找到其異同，可以更好地掌握這些概念，進一步提升數(shù)學抽象核心素養(yǎng).2.數(shù)學運算核心素養(yǎng)主要體現(xiàn)在等差、等比數(shù)列的基本計算利用方程思想將題目條件轉化為基本量的關系式，通過解方程（組）求出數(shù)列的通項或前項和是提升數(shù)學運算核心素養(yǎng)的關鍵勤加練習是提升數(shù)學運算核心素養(yǎng)的基本途徑，求數(shù)列的某一項或前項和離不開解方程（組），如果基礎知識掌握不牢靠，就可能出現(xiàn)錯誤，因此只有通過一定數(shù)量的練習，才可以提升解題的準確性，提升數(shù)學運算核心素養(yǎng).3.邏輯推理核心素養(yǎng)反映在數(shù)列的判定、求通項公式或前項和、數(shù)學歸納法證明等方面邏輯推理是從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的過程，邏輯推理有兩種形式，一種是從特殊的出發(fā)，通過歸納類比推導出一般性的結論，也就是歸納推理學會利用特例發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后再證明要注意的是，特例得出的結果不一定準確第二種是演繹推理，從一般到特殊的過程，如在證明過中利用一般函數(shù)具有的性質(zhì)，推證特殊函數(shù)的性質(zhì)兩種推理方式，要綜合應用.例1已知數(shù)列滿足,,則_____.解析由題意可知,,以上式子累加得,.因為,所以因為滿足上式,所以.答案素養(yǎng)解讀題目求解的關鍵是理解)這一抽象的關系式,抓住其本質(zhì)是類等差數(shù)列,因此求通項公式的方法可以用累加法.只有抓住關系式的特征,才能突破數(shù)學抽象這一難點..突破的角度也可以首先將賦值,通過具體的表達式理解抽象的關系式,發(fā)現(xiàn)特征,找出方法,進一步提升數(shù)學抽象核心素養(yǎng).例2已知數(shù)列滿足,),則_____.解析因為數(shù)列滿足,所以,即.又,所以,故數(shù)列是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,所以,即.答案例3已知數(shù)列的首項為,前項和為,等比數(shù)列的前項和,則的最大值為_____.解析由等比數(shù)列的前項和,可求得.所以.又因為,所以故,所以,當時,取得最大值66.答案66素養(yǎng)解讀本例求解的突破口是等比數(shù)列的前項和,根據(jù)等比數(shù)列的知識可以求出的值.然后代入,根據(jù)求出,這些都需要學生具有一定的運算能力.學生只有經(jīng)過大量的運算,同時具有一定的函數(shù)思想,識可以有效地提升數(shù)學運算核心素養(yǎng).例4若等差數(shù)列中,45,則通項公式______.解析因為,所以,所以.所以,且,所以是方程的兩根,解得或若,則,所以;若,則,所以.故或.答案或方法歸納在等差(比)數(shù)列的通項公式和前項和公式中共有5個量(或),及,已知這5個量中任意3個量的值,就可以運用方程思想,解方程（或方程組)求出另外2個量的值.例5用數(shù)學歸納法證明解析首先驗證當時命題成立,然后假設當時等式成立,利用假設證明當時等式成立即可.答案(i)當時,左邊,右邊.左邊右邊,所以等式成立.(ii)假設當且時等式成立,即有則當時,.所以當時,等式也成立,由(i)(ii)可知,對于一切等式都成立.素養(yǎng)解讀利用數(shù)學歸納法證明等式,要求學生具有較強的邏輯推理核心素養(yǎng),尤其是要掌握從到的變形,以及數(shù)學歸納法的使用步?.通過數(shù)學歸納法的證明,可以有效地提升邏輯推理的核心素養(yǎng).例6數(shù)列的前項和為,若,.求證:數(shù)列是等比數(shù)列.解析根據(jù)與的關系,將轉化為,再將變形代入,根據(jù)定義即可證明是等比數(shù)列.答案當時,.由,=1\*GB3①得,即,解得.又,=2\*GB3②=2\*GB3②—=1\*GB3①得,即,=3\*GB3③因為,所以,代人=3\*GB3③式,得,整理得,得(常數(shù)).所以數(shù)列是一個首項為,公比為的等比數(shù)列.高考真題再現(xiàn)考點1等差數(shù)列的計算本考點在高考中屬于必考題型,選擇、填空、解答各類題型都可能考查,分值一般在分.考查的方向包括求等差數(shù)列中的某一項、求項數(shù)或公差、求前項和等,難度中等偏下.例（2018·全國I）記為等差數(shù)列的前項和,若,則（）A.B.C.10D.12解析通解:設等差數(shù)列的公差為,因為所以,解得因為,所以,所以.故選B.優(yōu)解:設等差數(shù)列的公差為,因為,所以,所以,所以.因為,所以,所以答案B例2（2017·全國I）記為等差數(shù)列的前項和.若,則的公差為A.1B.2C.4D.8解析方法一:由,得.由,得.設公差為,即,所以.方法二:設公差為,則有解得.答案C例(2017-浙江)已知等差數(shù)列的公差為,前項和為,則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析因為,當時,可得;當,可得.所以“”是“”充分必要條件.答案C.例4(2016-全國I)已知等差數(shù)列前9項的和為,則A.100B.99C.98D.97解析設等差數(shù)列的公差為,因為為等差數(shù)列,且,所以.又,解得,所以,所以.答案C例5(2015-重慶)在等差數(shù)列中,若,,則（）A.B.0C.1D.6解析由等差數(shù)列的性質(zhì)得.答案B考點2等比數(shù)列的計算本考點在高考中屬于必考題型,選擇、填空、解答各類題型都可能考查,分值一般在分.考查的內(nèi)容包括求等比數(shù)列中的某一項、求項數(shù)或公比、求前項和等,有時還會與對數(shù)等知識結合進行考查,難度中等偏下.例6（2017-全國III)設等比數(shù)列滿足,則_____.解析設等比數(shù)列的首項為,公比為,所以解得則.答案例7(2017-江蘇)等比數(shù)列的各項均為實數(shù),其前項的和為,已知,則解析設的公比為,由題意,由,所以,由,得,所以.答案32例8(2018-浙江)已知成等比數(shù)列,且.若,則（）A.B.C.D.解析方法一:因為,所以,所以.又,所以等比數(shù)列的公比.若,則,而,所以,與矛盾,所以.所以,所以,故選.方法二:因為,所以,則.又,所以等比數(shù)列的公比.若,則,而,所以,與矛盾,所以所以,所以.答案B考點3等差、等比數(shù)列綜合本考點在高考中屬于必考題型,選擇、填空、解答各類題型都可能考查,分值一般在分.題目背景包括等差數(shù)列中的某幾項成等比數(shù)列或者反過來,以及一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列中的某些項有數(shù)量關系等類型,常與方程思想結合進行考查,難度中等.例9(2017-全國III)等差數(shù)列的首項為1,公差不為0.若成等比數(shù)列,則前6項的和為（）A.B.C.3D.8解析設的公差為,由,得,所以答案A例10（2017·北京）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足,則_____.解析設的公差為的公比為,由題意得,所以,故.答案1考點4數(shù)列實際應用問題本考點在高考中常以選擇或填空題考查,分值一般為5分.有時與生活中的實際情境結合,有時以古代的數(shù)學問題作為背景,需要學生具備較強的從文字中提煉出數(shù)學信息并進行處理的能力,題目難度一般都偏大.例11（2017-全國II)我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望魏魏塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共拄了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈（）A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞解析設塔頂共有燈盞,根據(jù)題意各層燈數(shù)構成以為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以,解得.選.答案例12(2017-全國I)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣,他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案:已知數(shù)列,,其中第一項是,接下來的兩項是,再接下來的三項是,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)且該數(shù)列的前項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（）A.440B.330C.220D.110解析對數(shù)列進行分組如圖則該數(shù)列前組的項數(shù)和為.由題意可知,即,解得,,即出現(xiàn)在第13組之后.又第組的和為,前組的和為設滿足條件的在第組,且第項為第組的第個數(shù),第組的前項和為,要使該數(shù)列的前項和為2的整數(shù)冪,即與互為相反數(shù),即,所以.由,所以,則,此時,對應滿足的最小條件為.答案A考點5遞推公式與求和本考點在高考中屬于必考題型,選擇、填空、解答各類題型都可以考查,分值一般在分.常與等差、等比數(shù)列的通項公式、求和公式等綜合考查,亦可能與數(shù)學歸納法結合進行考查,題目整體難度偏大,需要學生具備較強的邏輯推理和運算能力.例13（2018·全國1）記為數(shù)列的前項和,若,則__