安徽省廬巢聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷

20232024學(xué)年度第二學(xué)期第二次集體練習(xí)高一數(shù)學(xué)一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的共軛復(fù)數(shù)為C.的實(shí)部與虛部之和為1 D.在平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，結(jié)合復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、實(shí)部和虛部、復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】，所以：，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.的實(shí)部與虛部之和為2，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第一象限,，D選項(xiàng)正確.故選：D2.已知邊長(zhǎng)為2的正三角形采用斜二測(cè)畫(huà)法作出其直觀圖，則其直觀圖的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形利用斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則可得結(jié)果.【詳解】如圖，是邊長(zhǎng)為2正的直觀圖，則，，則高，故的面積.故選：C.3.下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（）①如果兩條平行直線中的一條和一個(gè)平面相交，那么另一條也和這個(gè)平面相交；②一條直線和另一條直線平行，它就和經(jīng)過(guò)另一條直線的任何平面平行；③若直線在平面外，則.A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用模型可判斷①正誤；利用線面的位置關(guān)系可判斷②的正誤；利用線面位置關(guān)系的定義可判斷③的正誤.【詳解】在正方體中，，與平面相交，則與平面相交，①正確；若兩條直線平行，則它們共面，因此這條直線可能在經(jīng)過(guò)另一條直線的平面內(nèi)，故②不正確；對(duì)于③，包括兩種情形，直線或直線與相交，故③不正確.故選：B.4.已知是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，，則的虛部為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】設(shè)，則由題設(shè)可得，故應(yīng)選答案A．5.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則圓錐的底面半徑為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】解：6.設(shè)非零向量，滿足，則A.⊥ B.C.∥ D.【答案】A【解析】【詳解】由平方得，即，則，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的數(shù)量積表示，屬于基礎(chǔ)題.7.在中，角，，的對(duì)邊分別為，b，，若，則角的值為（）．A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理先計(jì)算出的值，然后即可求解出的值.【詳解】解：，，即，且有意義即，，在中，為或，故選：．8.五一假期，某景點(diǎn)為了給游客提供便利，在廣場(chǎng)大屏幕上滾動(dòng)播放景區(qū)的實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)信息，已知大屏幕下端離地面3.5米，大屏幕高3米，若某位游客眼睛離地面1.5米，則這位在距離大屏幕所在的平面多遠(yuǎn)，可以獲得觀看的最佳視野？（最佳視野是指看到屏幕上下夾角的最大值）（）A. B. C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】設(shè)，表示出、，利用兩角差的正切公式結(jié)合基本不等式可確定當(dāng)時(shí)，可以獲得觀看的最佳視野.【詳解】已知如圖所示：，設(shè)，則，，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，可以獲得觀看的最佳視野.故選：B二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（2i）=i2020，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.復(fù)數(shù)z的模為 B.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為C.復(fù)數(shù)z的虛部為 D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限【答案】ABC【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的共軛，復(fù)數(shù)的幾何意義判斷A、B、C、D的結(jié)論．【詳解】解：復(fù)數(shù)滿足，整理得．對(duì)于A：由于，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由于，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：復(fù)數(shù)的虛部為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故該點(diǎn)在第一象限內(nèi)，故D正確；故選：ABC．10.等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】分2種情況，一種是繞直角邊，一種是繞斜邊，分別求形成幾何體的表面積.【詳解】如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線就是直角三角形的斜邊，所以所形成的幾何體的表面積是.如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，形成的是上下兩個(gè)圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高，兩個(gè)圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長(zhǎng)是1，所以寫(xiě)成的幾何體的表面積.綜上可知形成幾何體的表面積是或.故選：AB【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積，意在考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.11.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，，則（）A.B.C.外接圓的面積為D.的面積為【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)的外接圓的半徑為,利用正弦定理求出，再利用余弦定理和正弦定理求出以及即得解.【詳解】解：設(shè)的外接圓的半徑為,因?yàn)?，所以，所以，則外接圓的面積為.因?yàn)?，所以所?所以ABD正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.中國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之、祖暅父子總結(jié)了魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽有關(guān)工作，提出“冪勢(shì)既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高.詳細(xì)點(diǎn)說(shuō)就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.上述原理在中國(guó)被稱為祖暅原理.一個(gè)上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，高為的正六棱臺(tái)與一個(gè)不規(guī)則幾何體滿足“冪勢(shì)既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為_(kāi)_______________.【答案】21【解析】【分析】由已知條件求出正六棱臺(tái)體積，即可得到答案【詳解】由祖暅原理，該不規(guī)則幾何體體積與正六棱臺(tái)體積相等，故，故答案為：2113.如圖，在矩形中，已知，且，則__________.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式計(jì)算．【詳解】以AB為x軸，以AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（6，0），E（6，2），F(xiàn)（2，4）．∴（6，2），（﹣4，4）．∴?24+8＝﹣16．故答案為﹣16．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，建立坐標(biāo)系可簡(jiǎn)化數(shù)量積運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．14.已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，已知，則當(dāng)角C取到最大值時(shí)等于___________.【答案】##【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，此時(shí)角C取到最大值，求解得出結(jié)果.【詳解】點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，，則，即，因?yàn)?，所以，由知，角C為銳角，故，因，所以由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)角C取到最大值，所以，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，，且，求z；（2）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)模長(zhǎng)公式以及復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算，結(jié)合對(duì)應(yīng)的象限得出z；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及純虛數(shù)的定義得出m的值.【詳解】解：（1）設(shè)，由題意每，解得，，∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴，∴.（2），由題意得，解得16.已知向量，且．（1）求及與的夾角的余弦值；（2）若與垂直，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及夾角公式求解；（2）利用向量垂直的坐標(biāo)表示求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橄蛄?，所以，，即，解得，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）知，故，故，因?yàn)榕c垂直，所以，解得.17.如右圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在北偏東120°，求：(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離．【答案】（1）24；（2）【解析】【分析】（1）利用已知條件，利用正弦定理求得AD的長(zhǎng)．（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．【詳解】(1)在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°由正弦定理得(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD?ACcos30°，解得CD=．所以A處與D處之間的距離為24nmile，燈塔C與D處之間的距離為nmile．【點(diǎn)睛】點(diǎn)睛：解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等.18.如圖，已知點(diǎn)在圓柱的底面圓上，為圓的直徑，，，三棱錐的體積為.（1）求圓柱的表面積；（2）求三棱錐外接球的體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出、，即可得到，再由求出，最后根據(jù)圓柱的表面積公式計(jì)算可得；（2）三棱錐外接球即為圓柱的外接球，求出外接球的半徑，再根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】∵在中，，∴，又在中，，，∴，而點(diǎn)的圓柱的底面圓上，∴，所以，于是由，得，∴，∴圓柱的表面積.【小問(wèn)2詳解】三棱錐外接球即為圓柱的外接球，則外接球的球心是的中點(diǎn)，半徑，所以三棱錐外接球的體積.19.重慶是我國(guó)著名的“火爐”城市之一，如圖，重慶某避暑山莊O為吸引游客，準(zhǔn)備在門(mén)前兩條小路OA和OB之間修建一處弓形花園，使之有著類似“冰淇淋”般的涼爽感，已知，弓形花園的弦長(zhǎng)，記弓形花園的頂點(diǎn)為，設(shè).（1）將用含有的關(guān)系式表示出來(lái)；（2）該山莊準(zhǔn)備在點(diǎn)處修建噴泉，為獲取更好的觀景視野，如何設(shè)計(jì)的長(zhǎng)度，才使得噴泉與山莊的距離的值最大？【答案】（1），（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）中利用正弦定理可表示