廣東省江門市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)

江門市2024年普通高中高二調(diào)研測試（二）數(shù)學(xué)本試卷共6頁，19小題，滿分150分，測試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷與答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.2.一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了6次試驗，收集數(shù)據(jù)如下表所示，建立加工時間關(guān)于零件數(shù)的一元線性回歸模型，則回歸直線必過點（）零件數(shù)個5060708090100加工時間min8895102108115122A. B. C. D.3.在等差數(shù)列中，，若直線l過點，，則直線l的斜率為（）A. B. C.2 D.34.由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品，若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.5.某校高二級學(xué)生參加期末調(diào)研考試的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布，將考試成績從高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分為A，B，C，D四個等級．若小明的數(shù)學(xué)成績?yōu)?05分，則屬于等級（）（附：，，）A.A B.B C.C D.D6.已知曲線在點處的切線與曲線有且僅有一個公共點，則實數(shù)a的值是（）A. B.0 C.0或8 D.87.已知數(shù)列的前n項和為，且，設(shè)，則的前11項和為（）A. B.0 C.1 D.28.設(shè)事件A，B滿足，且，，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P是橢圓C上任意一點（非長軸的頂點），則下列說法正確的是（）A.橢圓C焦點坐標(biāo)為B.當(dāng)時，橢圓C的離心率為C.當(dāng)時，周長為6D.若橢圓C的離心率為，則的面積的最大值是10.在正方體中，下列說法正確的是（）A.正方體的8個頂點可以確定28條不同的線段B.以正方體的頂點為頂點的直三棱柱有12個C.以正方體頂點為頂點的三棱錐有64個D.以正方體的頂點為頂點的四棱錐有48個11.在正項無窮數(shù)列中，若對任意的，都存在，使得，則稱為m階等比數(shù)列．在無窮數(shù)列中，若對任意的，都存在，使得，則稱為m階等差數(shù)列，下列說法正確的是（）A.若為1階等比數(shù)列，，，則為等比數(shù)列且公比2B.若為1階等差數(shù)列，共有30項，其中奇數(shù)項之和為20，偶數(shù)項之和為50，則為等差數(shù)列且公差為2C.若為m階等比數(shù)列，則為m階等差數(shù)列D.若既是3階等比數(shù)列，又是4階等比數(shù)列，則是等比數(shù)列三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.展開式中的系數(shù)為______.13.已知直線與圓交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值____________．14.丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，已知在上為“凸函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是____________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列是正項等比數(shù)列，且，．（1）求，的通項公式；（2）從下面①②兩個條件中選擇一個作為已知條件，求數(shù)列的前項和．①；②．16.為了對高中生進行職業(yè)規(guī)劃教育，讓高中生了解信息技術(shù)發(fā)展的前沿，體驗典型人工智能技術(shù)的應(yīng)用感受和人工智能對學(xué)習(xí)和生活的影響，激發(fā)學(xué)生對信息技術(shù)未來的追求，某市計劃在高一年級推廣開設(shè)人工智能研究性學(xué)習(xí)課程．為調(diào)研學(xué)生對人工智能的興趣，隨機從某校高一年級學(xué)生中抽取了100人進行調(diào)查，其中數(shù)據(jù)如下表：有興趣沒興趣合計男生48250女生321850合計8020100（1）依據(jù)小概率值獨立性檢驗，分析高一學(xué)生對人工智能有興趣與性別是否有關(guān)？（2）以該100名高一學(xué)生對人工智能有興趣的頻率作為全市高一學(xué)生對人工智能有興趣的概率，從全市的高一學(xué)生中隨機抽取5名學(xué)生，記X為這5名學(xué)生中對人工智能有興趣的學(xué)生人數(shù)，求X的期望與方差．參考公式：，．參考數(shù)據(jù)：0050.010.0050.0013.8416.6357.87910.82817.如圖，四邊形與四邊形是全等的矩形，，，P為上的動點．（1）若P為的中點，求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值．18.某學(xué)校高二年級乒乓球社團舉辦了一次乒乓球比賽，進入決賽的9名選手來自于3個不同的班級，三個班級的選手人數(shù)分別是2，3，4，本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名選手進行8場比賽，每場比賽采取5局3勝制，先贏得三場的人為獲勝者，比賽結(jié)束，根據(jù)積分選出最后的冠軍．如果最終積分相同，則同分選手加賽決出排名，積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的選手積3分，失敗的選手積0分；而在比賽中以取勝的選手積2分，失敗的選手積1分．已知第6場是甲、乙之間的比賽，設(shè)每局比賽甲取勝的概率為．（1）若進入決賽的9名選手獲得冠亞軍的概率相等，則比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自同一個班級的概率是多少？（2）在第6場比賽中，當(dāng)時，設(shè)甲所得積分為，求的分布列及期望（3）在第6場比賽中，記甲取勝的概率為，求的最大值．19.已知函數(shù)，．（1）令，討論的單調(diào)性；（2）若是的極值點，函數(shù)有且僅有一個零點，設(shè)和為兩個不相等的正數(shù)，且滿足．①求k的取值范圍；②求證：．江門市2024年普通高中高二調(diào)研測試（二）數(shù)學(xué)本試卷共6頁，19小題，滿分150分，測試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷與答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再代入求出導(dǎo)數(shù)值.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.故選：D.2.一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了6次試驗，收集數(shù)據(jù)如下表所示，建立加工時間關(guān)于零件數(shù)的一元線性回歸模型，則回歸直線必過點（）零件數(shù)個5060708090100加工時間min8895102108115122A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，，根據(jù)回歸直線方程必過樣本中心點，即可判斷.【詳解】依題意可得，，所以回歸直線必過點.故選：B3.在等差數(shù)列中，，若直線l過點，，則直線l的斜率為（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列公差，再利用公差的幾何意義求解即得.【詳解】在等差數(shù)列中，，則公差，所以直線l的斜率為.故選：C.4.由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品，若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出的值，可得出雙曲線的漸近線方程.詳解】由已知可得，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.5.某校高二級學(xué)生參加期末調(diào)研考試的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布，將考試成績從高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分為A，B，C，D四個等級．若小明的數(shù)學(xué)成績?yōu)?05分，則屬于等級（）（附：，，）A.A B.B C.C D.D【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.【詳解】數(shù)學(xué)測試成績服從正態(tài)分布，則，，由于等級的概率之和為，所以，而即故為A等級，為B等級，為C等級，為D等級，故105分為A等級．故選：A.6.已知曲線在點處的切線與曲線有且僅有一個公共點，則實數(shù)a的值是（）A. B.0 C.0或8 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出切線方程，再按與分類討論求解.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，因此曲線在點處的切線方程為，即，當(dāng)時，曲線與直線平行，無公共點，則，曲線是對稱軸為的拋物線，因此直線與曲線有且僅有一個公共點，當(dāng)且僅當(dāng)只有一個解，即有相等實根，于是，則.故選：D.7.已知數(shù)列的前n項和為，且，設(shè)，則的前11項和為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式計算即得.【詳解】依題意，的前11項和為.故選：A.8.設(shè)事件A，B滿足，且，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件概率的公式結(jié)合已知條件分析判斷.【詳解】因為，所以.因為，，.，則.所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P是橢圓C上任意一點（非長軸的頂點），則下列說法正確的是（）A.橢圓C的焦點坐標(biāo)為B.當(dāng)時，橢圓C的離心率為C.當(dāng)時，的周長為6D.若橢圓C的離心率為，則的面積的最大值是【答案】AC【解析】【分析】求出焦點坐標(biāo)判斷A；求出離心率、焦點三角形周期、面積最大值判斷BCD.【詳解】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，對于A，橢圓C的焦點坐標(biāo)為，A正確；對于B，當(dāng)時，，離心率，B錯誤；對于C，當(dāng)時，，則的周長為，C正確；對于D，橢圓C的離心率為，即，解得，，設(shè)，則的面積，D錯誤.故選：AC.10.在正方體中，下列說法正確的是（）A.正方體8個頂點可以確定28條不同的線段B.以正方體的頂點為頂點的直三棱柱有12個C.以正方體的頂點為頂點的三棱錐有64個D.以正方體的頂點為頂點的四棱錐有48個【答案】ABD【解析】【分析】利用幾何組合計數(shù)問題，結(jié)合正方體及直三棱柱、三棱錐、四棱錐的構(gòu)造特征，列式計算即得.【詳解】對于A，每兩點確定一條線段，則正方體的8個頂點可確定不同的線段有條，A正確；對于B，直三棱柱的兩個底面三角形平行并且全等，因此直三棱柱兩底面在正方體相對面上，以正方形的頂點為頂點的三角形有4個，從而正方體的一組相對面對應(yīng)的直三棱柱有4個，因此以正方體的頂點為頂點的直三棱柱有個，B正確；對于C，正方體頂點任取4個點，共有種選法，其中四點共面的共有6個面和6個對角面共12種，因此三棱錐共有個，C錯誤；對于D，由選項C，知正方體四點共面的情況有12種，每一種情況，余下每個點對應(yīng)1個四棱錐，因此四棱錐共有，D正確.故選：ABD.11.在正項無窮數(shù)列中，若對任意的，都存在，使得，則稱為m階等比數(shù)列．在無窮數(shù)列中，若對任意的，都存在，使得，則稱為m階等差數(shù)列，下列說法正確的是（）A.若為1階等比數(shù)列，，，則為等比數(shù)列且公比2B.若為1階等差數(shù)列，共有30項，其中奇數(shù)項之和為20，偶數(shù)項之和為50，則為等差數(shù)列且公差為2C.若為m階等比數(shù)列，則為m階等差數(shù)列D.若既是3階等比數(shù)列，又是4階等比數(shù)列，則是等比數(shù)列【答案】BCD【解析】【分析】對于A，根據(jù)題意可得為正項等比數(shù)列，求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式即可得解；對于B，根據(jù)題意可得為等差數(shù)列，根據(jù)題意寫出，，兩式相減即可得解；對于C，由為階等比數(shù)列，可得，使得成立，再根據(jù)階等差數(shù)列即可得出結(jié)論；對于D，根據(jù)既是3階等比數(shù)列，又是4階等比數(shù)列，可得與同時成立，再結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得出結(jié)論.【詳解】對于A，因為1階等比數(shù)列，所以，則為正項等比數(shù)列，設(shè)公比為，則為正數(shù)，由已知得兩式相除得，所以（舍去），故A錯誤．對于B，因為為1階等差數(shù)列，則，則為等差數(shù)列.設(shè)公差為d．因為共有30項，其中奇數(shù)項之和為20，偶數(shù)項之和為50.則，，兩式相減得到，解得.故B正確.對于C，因為為階等比數(shù)列，所以，使得成立，所以，又，所以，即成立，所以為階等差數(shù)列；故C正確．對于D，因為既是3階等比數(shù)列，又是4階等比數(shù)列，所以與同時成立，所以與同時成立，又的各項均為正數(shù)，所以對任意的，數(shù)列和數(shù)列都是等比數(shù)列，由數(shù)列是等比數(shù)列，得也成等比數(shù)列，設(shè)an+4所以an+1an=q1q故選：BCD．【點睛】方法點睛：新定義題型的特點是通過給出一個新的概念來創(chuàng)設(shè)全新的問題情境，要求學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息遷移，達到靈活解題的目的，遇到新定義的問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求運算求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.展開式中的系數(shù)為______.【答案】15【解析】【分析】寫出展開式的通項，即可得解.【詳解】二項式展開式的通項為（且），所以展開式中的系數(shù)為．故答案為：．13.已知直線與圓交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值____________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用圓的弦長求法，結(jié)合面積可得方程求解即可.【詳解】由圓可知，圓心，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，由垂徑定理可知，由面積為知：，解得或，則由點到直線的距離公式得：，當(dāng)時，有，解得：，當(dāng)時，有，解得：，故答案為：（取這三個中的任何一個都算對，答案不唯一）.14.丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，已知在上為“凸函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，求出、，再利用“凸函數(shù)”的定義求解即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，，依題意，，恒成立，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，所以實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列是正項等比數(shù)列，且，．（1）求，的通項公式；（2）從下面①②兩個條件中選擇一個作為已知條件，求數(shù)列的前項和．①；②．【答案】（1），（2）若選①；若選②【解析】【分析】（1）依題意可得是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即可求出的通項公式，）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，可求得數(shù)列的公比，進而可求得數(shù)列的通項公式；（2）若選①則利用裂項相消法求得；若選②則，利用錯位相減法可求得.【小問1詳解】因為，，即，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，由題意可得，解得，所以等比數(shù)列的公比為，所以.【小問2詳解】若選①，，所以.若選②，，所以，則，兩式相減得，因此；16.為了對高中生進行職業(yè)規(guī)劃教育，讓高中生了解信息技術(shù)發(fā)展的前沿，體驗典型人工智能技術(shù)的應(yīng)用感受和人工智能對學(xué)習(xí)和生活的影響，激發(fā)學(xué)生對信息技術(shù)未來的追求，某市計劃在高一年級推廣開設(shè)人工智能研究性學(xué)習(xí)課程．為調(diào)研學(xué)生對人工智能的興趣，隨機從某校高一年級學(xué)生中抽取了100人進行調(diào)查，其中數(shù)據(jù)如下表：有興趣沒興趣合計男生48250女生321850合計8020100（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析高一學(xué)生對人工智能有興趣與性別是否有關(guān)？（2）以該100名高一學(xué)生對人工智能有興趣的頻率作為全市高一學(xué)生對人工智能有興趣的概率，從全市的高一學(xué)生中隨機抽取5名學(xué)生，記X為這5名學(xué)生中對人工智能有興趣的學(xué)生人數(shù)，求X的期望與方差．參考公式：，．參考數(shù)據(jù)：0.050.010.0050.0013.84166357.87910.828【答案】（1）有關(guān)；（2）期望4，方差.【解析】【分析】（1）利用給定數(shù)表求出的觀測值，再與臨界值比對即得.（2）求出頻率，利用二項分布求出期望、方差.【小問1詳解】零假設(shè)：高一學(xué)生對人工智能有興趣與性別無關(guān)，由給定的數(shù)表，得，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為高一學(xué)生對人工智能有興趣與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.小問2詳解】由數(shù)表知，100名高一學(xué)生對人工智能有興趣的頻率為，因此全市高一學(xué)生對人工智能有興趣的概率為，依題意，的可能取值為，，所以期望，方差.17.如圖，四邊形與四邊形是全等的矩形，，，P為上的動點．（1）若P為的中點，求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直判定定理證明，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解．【小問1詳解】由題意知，又四邊形為矩形，得，且平面平面，所以平面，又平面，所以.因為，點為的中點，所以，所以，同理，所以，即.又由于，所以，且，又平面平面，所以平面，【小問2詳解】由（1）知，平面，又，故平面，所以是直線在平面內(nèi)的射影，所以就是直線與平面所成的角，即，即，設(shè)，則.又由（1）知，兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，

設(shè)平面的一個法向量為，由于，所以，即，令，則，即，設(shè)平面的一個法向量為，，由于，所以，即，令，則，即，設(shè)平面與平面的夾角為，可知為銳角，所以.故平面與平面夾角的余弦值為.18.某學(xué)校高二年級乒乓球社團舉辦了一次乒乓球比賽，進入決賽的9名選手來自于3個不同的班級，三個班級的選手人數(shù)分別是2，3，4，本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名選手進行8場比賽，每場比賽采取5局3勝制，先贏得三場的人為獲勝者，比賽結(jié)束，根據(jù)積分選出最后的冠軍．如果最終積分相同，則同分選手加賽決出排名，積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的選手積3分，失敗的選手積0分；而在比賽中以取勝的選手積2分，失敗的選手積1分．已知第6場是甲、乙之間的比賽，設(shè)每局比賽甲取勝的概率為．（1）若進入決賽