33函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性_第1頁
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主要內(nèi)容教學要求一、掌握用導數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性的方法一、函數(shù)的單調(diào)性二、曲線的凹凸性和拐點二、會用導數(shù)判斷曲線的凹凸性三、會求曲線的拐點3.3函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性如圖所示．OyxOxy(a)(b)定理3-4設函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，則:（1）如果在內(nèi)那么函數(shù)在上單調(diào)增加；（2）如果在內(nèi)上單調(diào)減少．

那么函數(shù)在（1）如果將定理中的閉區(qū)間換成開區(qū)間或半開區(qū)間，結論仍然成立．（2）如果在，但等號只內(nèi)限個點處成立，

那么函數(shù)在

上仍然是單調(diào)增加（或減少）的．注意：在有例1判定函數(shù)的單調(diào)性．實數(shù)，，解函數(shù)的定義域為一切因此，函數(shù)在且只有，上單調(diào)增加．例2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解

函數(shù)的定義域為一切實數(shù)，，令，得為表達簡潔明了，列表表示＋0－0+3由上可知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為1．曲線的凹凸定義和判定法知道了函數(shù)的單調(diào)性，對函數(shù)的變化情況有了初步的了解．但僅限于此還不夠，例如函數(shù)曲線與

在

內(nèi)都是上升的，但它們上升的方式卻有明顯的區(qū)別xyO定義3-1

在某區(qū)間內(nèi)，如果曲線弧位于其上任一點如果曲線弧位于其上任一點處的切線的下方，處的切線的上方，則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是凹的；則稱曲線在該區(qū)間內(nèi)是凸的．進一步分析上圖可得凹凸性的判定定理定理3-5設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導數(shù)，時，恒有（1）如果，則曲線在內(nèi)是凹的；時，恒有（2）如果，則曲線在內(nèi)是凸的；例3判斷曲線的凹凸性．

解：

，在上，恒有故曲線在上為凹的。

定義3-2

連續(xù)曲線上凹與凸的分界點稱為曲線的拐點．既然拐點是曲線上凹與凸的分界點，那么在拐點的應為異號，左右近旁要滿足這一特征，拐點處的要么為零，要么不存在．例5求曲線的凹凸區(qū)間及拐點．解:

（1）函數(shù)的定義域為；

不存在的點；，得，無，令（2）表示凸的），如下表所示．（3）列表判斷（符

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