33函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性

主要內(nèi)容教學(xué)要求一、掌握用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性的方法一、函數(shù)的單調(diào)性二、曲線(xiàn)的凹凸性和拐點(diǎn)二、會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷曲線(xiàn)的凹凸性三、會(huì)求曲線(xiàn)的拐點(diǎn)3.3函數(shù)的單調(diào)性與曲線(xiàn)的凹凸性如圖所示．OyxOxy(a)(b)定理3-4設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則:（1）如果在內(nèi)那么函數(shù)在上單調(diào)增加；（2）如果在內(nèi)上單調(diào)減少．

那么函數(shù)在（1）如果將定理中的閉區(qū)間換成開(kāi)區(qū)間或半開(kāi)區(qū)間，結(jié)論仍然成立．（2）如果在，但等號(hào)只內(nèi)限個(gè)點(diǎn)處成立，

那么函數(shù)在

上仍然是單調(diào)增加（或減少）的．注意：在有例1判定函數(shù)的單調(diào)性．實(shí)數(shù)，，解函數(shù)的定義域?yàn)橐磺幸虼?，函?shù)在且只有，上單調(diào)增加．例2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解

函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，，令，得為表達(dá)簡(jiǎn)潔明了，列表表示＋0－0+3由上可知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為1．曲線(xiàn)的凹凸定義和判定法知道了函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)函數(shù)的變化情況有了初步的了解．但僅限于此還不夠，例如函數(shù)曲線(xiàn)與

在

內(nèi)都是上升的，但它們上升的方式卻有明顯的區(qū)別xyO定義3-1

在某區(qū)間內(nèi)，如果曲線(xiàn)弧位于其上任一點(diǎn)如果曲線(xiàn)弧位于其上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)的下方，處的切線(xiàn)的上方，則稱(chēng)曲線(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)是凹的；則稱(chēng)曲線(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)是凸的．進(jìn)一步分析上圖可得凹凸性的判定定理定理3-5設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，時(shí)，恒有（1）如果，則曲線(xiàn)在內(nèi)是凹的；時(shí)，恒有（2）如果，則曲線(xiàn)在內(nèi)是凸的；例3判斷曲線(xiàn)的凹凸性．

解：

，在上，恒有故曲線(xiàn)在上為凹的。

定義3-2

連續(xù)曲線(xiàn)上凹與凸的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)．既然拐點(diǎn)是曲線(xiàn)上凹與凸的分界點(diǎn)，那么在拐點(diǎn)的應(yīng)為異號(hào)，左右近旁要滿(mǎn)足這一特征，拐點(diǎn)處的要么為零，要么不存在．例5求曲線(xiàn)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)．解:

（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

不存在的點(diǎn)；，得，無(wú)，令（2）表示凸的），如下表所示．（3）列表判斷（符