北師版八年級數(shù)學上冊 第七章 平行線的證明 （壓軸專練）（八大題型）

第七章平行線的證明（壓軸專練）（八大題型）題型1：平行線—M型（含鋸齒型）1．如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，則∠F＝；(2)請?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關系？說明理由；(3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長FG交EP于點P，求∠P的度數(shù)．2．問題情境：如圖1，已知∥，．求的度數(shù)．

經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，根據(jù)平行線有關性質(zhì)，可得．問題遷移：如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，，．(1)當點P在A、B兩點之間運動時，、、之間有何數(shù)量關系？請說明理由．(2)如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出、、之間的數(shù)量關系．(3)問題拓展：如圖4，∥，是一條折線段，依據(jù)此圖所含信息，把你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡潔的數(shù)學式子表達為．題型2：平行線—筆尖型3．如圖1，已知AB//CD，P是直線AB，CD外的一點，PF⊥CD于點F，PE交AB于點E，滿足∠FPE＝60°．（1）求∠AEP的度數(shù)；（2）如圖2，射線PN從PE出發(fā)，以每秒10°的速度繞P點按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，當PN到達PF時立刻返回至PE，然后繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線EM從EA出發(fā)，以相同的速度繞E點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至EP后停止運動，此時射線PN也停止運動．若射線PN、射線EM同時開始運動，設運動時間為t秒．①當射線PN平分∠EPF時，求∠MEP的度數(shù)（0°＜∠MEP＜180°）；②當直線EM與直線PN相交所成的銳角是60°時，則t＝．4．AB∥CD，點P為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的一點．（1）如圖1，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關系，并證明；（2）如圖2，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關系，并證明；（3）如圖3，點E在射線BA上，過點E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，點G在直線CD上，作∠BEG的平分線EH交PC于點H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度數(shù)．題型3：平行線—“雞翅”型5．如圖，已知：點A、C、B不在同一條直線，

(1)求證：：(2)如圖②，分別為的平分線所在直線，試探究與的數(shù)量關系；(3)如圖③，在（2）的前提下，且有，直線交于點P，，直接寫出．6．已知，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，作的平分線交于點，點為上一點，連接，若的平分線交線段于點，連接，若，過點作交的延長線于點，且，求的度數(shù)．題型4：平行線—“骨折”型7．已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．8．（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．題型5：三角形的內(nèi)角和與外角性質(zhì)綜合9．綜合與探究如圖1，在中，，的平分線相交于點O，老師通過度量角的度數(shù)，計算后發(fā)現(xiàn)．(1)請你證明老師的發(fā)現(xiàn)；(2)老師在學生完成后說：“如果將三角形內(nèi)角平分線改成外角平分線會怎樣呢？”①“興趣小組”提出問題：如圖2，的外角，的平分線相交于點O，請猜想與之間的數(shù)量關系，并加以證明；②“智慧小組”提出問題：如圖3，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線相交于點O，請猜想與之間的數(shù)量關系（請直接寫出數(shù)量關系式）．10．已知：如圖1，在中，點D是上一定點，點E是上一動點．(1)設．①當時，求的度數(shù)；②在圖2中，作出點E使與β互補(要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡．不寫作法)；(2)把沿著所在的的直線折疊，使A的對應點落在的外部，如圖3，和相鄰的外角的平分線相交于點G．①求證：；②當時，試探究是否為定值，若是定值，求出的度數(shù)，若不是定值，請說明理由．題型6：平行線、三角形的內(nèi)角和與外角性質(zhì)綜合11．在四邊形中，的平分線交邊于點，的平分線交直線于點．(1)當點O在四邊形的內(nèi)部時．①如圖①，若，，，則_______°，(2)如圖②，試探索和之間的數(shù)量關系，并說明理由；(3)如圖③，當點在四邊形的外部時，請你直接寫出和之間的數(shù)量關系．12．已知，平分，點A，B，C分別是射線，，上的動點（A，B，C不與點O重合），連接，連接交射線于點D，設．(1)如圖1，若，①的度數(shù)是_________；②當時，的度數(shù)是_________；當時，的度數(shù)是_________；(2)在一個四邊形中，若存在一個內(nèi)角是它的對角的2倍，我們稱這樣的四邊形為“完美四邊形”，如圖2，若，延長交射線于點F，當四邊形為“完美四邊形”時，求的值．題型7：幾何中的存在，方程問題13．已知，在中，，，，三點都在直線上，且，．(1)如圖①，若，則與的數(shù)量關系為；(2)如圖②，判斷并說明線段，與的數(shù)量關系；(3)如圖③，若改變題干中的條件，只保持，，，點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上以的速度由點向點運動，它們運動的時間為．是否存在，使得與全等?若存在，求出相應的的值和的值；若不存在，請說明理由．14．已知，，直線交于點M，交于點N，（點E是線段上一點（不與M、N重合），P、Q分別是射線、上異于端點的點，連接、，平分交于點F，平分交直線于點G．(1)如圖1，，，點G在線段上．①求的度數(shù)；②求的度數(shù)；(2)試探索與之間的數(shù)量關系；(3)已知．直線、交于點K，直線從與直線重合的位置開始繞點N順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒，當首次與直線重合時，運動停止，在此運動過程中，經(jīng)過t秒，恰好平行于的其中一條邊，請直接寫出所有滿足條件的t的值．題型8：全等三角形在本章的應用15．在通過構(gòu)選全等三角形解決的問題中，有一種方法叫倍長中線法．(1)如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．我們可以延長到點E．使，連接，根據(jù)可證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是：______；(2)如圖2，，，．點D為的中點，求證：，(3)如圖3，四邊形，對角線，相交于點E，點F是邊的中點，，，試探索與的數(shù)量關系，并證明．16．四邊形,,點在上,點在上,連接,

(1)如圖1,求證:;(2)如圖2,點在上,連接,，,,求證：;(3)如圖3,在（2）的條件下,過點作的平行線交于點,,,求的值．17．在中，，分別是和上的點，．過點作交于點，已知．(1)如圖①，若，求證：；(2)在（1）的條件下，若，，求的長；(3)如圖②，若，則（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．18．在中，，點是直線上一點（不與、重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連結(jié)．

(1)如圖1，當點在線段上時，如果，則______．(2)設，．①如圖2，當點在線段上移動時，、之間有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．②當點在直線上移動時，、之間有怎樣的數(shù)量關系？請你在備用圖上畫出圖形，并直接寫出你的結(jié)論．19．發(fā)現(xiàn)問題（1）已知，如圖①，在四邊形中，E在上，，，若，，則．探究問題（2）如圖②，已知長方形的周長為36，，點E為邊上一點，分別交于點G，交于點F，且，求四邊形的面積．解決問題（3）如圖③，中，，，，，以為邊在其左上方作正方形，垂直于延長線于點D，連接，M、N分別為上兩動點，連接，，，當?shù)闹底钚r，求多邊形的面積．（注：四邊相等，四個角是直角的四邊形是正方形，正方形是軸對稱圖形，對角線是其一條對稱軸）

第七章平行線的證明（壓軸專練）（八大題型）題型1：平行線—M型（含鋸齒型）1．如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，則∠F＝；(2)請?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關系？說明理由；(3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長FG交EP于點P，求∠P的度數(shù)．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【分析】（1）如圖1，分別過點，作，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；（2）如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，由，，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；（3）如圖2，過點作，設，則，根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，于是得到結(jié)論．【解析】（1）解：如圖1，分別過點，作，，，，，又，，，，又，，，，；故答案為：；（2）解：如圖1，分別過點，作，，，，，又，，，，又，，，，，；（3）解：如圖2，過點作，由（2）知，，設，則，平分，平分，，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關鍵．2．問題情境：如圖1，已知∥，．求的度數(shù)．

經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，根據(jù)平行線有關性質(zhì)，可得．問題遷移：如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，，．(1)當點P在A、B兩點之間運動時，、、之間有何數(shù)量關系？請說明理由．(2)如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出、、之間的數(shù)量關系．(3)問題拓展：如圖4，∥，是一條折線段，依據(jù)此圖所含信息，把你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡潔的數(shù)學式子表達為．【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由見解析(2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β(3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+【分析】（1）過P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）過P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（3）問題拓展：分別過A2，A3…，An-1作直線∥A1M，過B1，B2，…，Bn-1作直線∥A1M，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可求解．【解析】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（2）當P在BA延長線時，∠CPD=∠β-∠α；理由：如圖，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；當P在BO之間時，∠CPD=∠α-∠β．理由：如圖，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．（3）問題拓展：分別過A2，A3…，An-1作直線∥A1M，過B1，B2，…，Bn-1作直線∥A1M，由平行線的性質(zhì)和角的和差關系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+．故答案為：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+．【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)的應用，主要考查學生的推理能力，第（2）問在解題時注意分類思想的運用．題型2：平行線—筆尖型3．如圖1，已知AB//CD，P是直線AB，CD外的一點，PF⊥CD于點F，PE交AB于點E，滿足∠FPE＝60°．（1）求∠AEP的度數(shù)；（2）如圖2，射線PN從PE出發(fā)，以每秒10°的速度繞P點按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，當PN到達PF時立刻返回至PE，然后繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線EM從EA出發(fā)，以相同的速度繞E點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至EP后停止運動，此時射線PN也停止運動．若射線PN、射線EM同時開始運動，設運動時間為t秒．①當射線PN平分∠EPF時，求∠MEP的度數(shù)（0°＜∠MEP＜180°）；②當直線EM與直線PN相交所成的銳角是60°時，則t＝．【答案】（1）150°；（2）①∠MEP＝60°或120°；②或【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)可得答案；（2）①由角平分線的定義得∠EPN＝30°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得答案；②利用三角形外角性質(zhì)列出方程，通過解方程即可得到問題的答案．【解析】解：（1）如圖1，∵AB//CD，PF⊥CD，∴PF⊥AB，∴∠AMP＝90°，∵∠FPE＝60°，∴∠AEP＝∠FPE+∠AMP＝150°；（2）如圖2，①當PN平分∠EPF時，∠EPN＝30°時，運動時間t＝＝3（秒），此時ME也運動了3秒，∴∠AEM＝3×10°＝30°，∴∠MEP＝150°﹣30°＝120°；PN繼續(xù)運動至PF時，返回時，當PN平分∠EPF時，運動時間至＝9（秒）時，此時ME也運動了9秒，∴∠AEM＝9×10°＝90°，∴∠MEP＝150°﹣90°＝60°；當?shù)诙蜳E運動至PF時，當PN平分∠EPF時，運動了（秒）∴∠AEM＝15×10°＝150°，∴∠MEP＝150°﹣150°＝0°，不符合題意；綜上所述，∠MEP的度數(shù)為60°或120°；②如圖3，當0≤t≤6時，此時∠EPN＝∠AEM＝10t，∠NEH＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝180°﹣∠HPE﹣∠PEH＝180°﹣10t﹣30°﹣10t＝150°﹣20t，當150°﹣20t＝120°時，t＝，當150°﹣20t＝60°時，t＝；當6＜t≤12時，此時∠EPN＝120°﹣10t，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝30°，不成立，當12＜t≤15時，此時∠EPN＝10t﹣120°，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝270°﹣20t，∠PHE＝270°﹣20t＝60°時，t＝（不合題意），∠PHE＝270°﹣20t＝120°，t＝（不合題意）故答案為：或．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)是解決此題關鍵．4．AB∥CD，點P為直線AB，CD所確定的平面內(nèi)的一點．（1）如圖1，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關系，并證明；（2）如圖2，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關系，并證明；（3）如圖3，點E在射線BA上，過點E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，點G在直線CD上，作∠BEG的平分線EH交PC于點H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度數(shù)．【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，證明詳見解析；（2）∠APC＝∠A?∠C，證明詳見解析；（3）55°．【分析】（1）首先過點P作PQ∥AB，結(jié)合題意得出AB∥PQ∥CD，然后由“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”進一步分析即可證得∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）作PQ∥AB，結(jié)合題意得出AB∥PQ∥CD，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”進一步分析即可證得∠APC＝∠A?∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，先利用平行線性質(zhì)得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后進一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根據(jù)∠PEH＝∠PEG?∠GEH即可得出答案．【解析】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，證明如下：如圖1所示，過點P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ＝180°，又∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，即∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）∠APC＝∠A?∠C，證明如下：如圖2所示，過點P作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ?∠CPQ，∴∠APC＝∠A?∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，∴∠PCD＝110°，∵AB∥CD，∴∠PQB＝∠PCD＝110°，∵EF∥PC，∴∠BEF＝∠PQB＝110°，∵∠PEG＝∠PEF，∴∠PEG＝∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH＝∠BEG，∴∠PEH＝∠PEG?∠GEH＝∠FEG?∠BEG＝∠BEF＝55°．【點睛】本題主要考查了利用平行線性質(zhì)與角平分線性質(zhì)求角度的綜合運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵.題型3：平行線—“雞翅”型5．如圖，已知：點A、C、B不在同一條直線，

(1)求證：：(2)如圖②，分別為的平分線所在直線，試探究與的數(shù)量關系；(3)如圖③，在（2）的前提下，且有，直線交于點P，，直接寫出．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）過點C作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出、，據(jù)此可得；（2）過點Q作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義可得出，結(jié)合（1）的結(jié)論可得出；（3）由（2）的結(jié)論可得出①，由可得出②，聯(lián)立①②可求出的度數(shù)，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得出的度數(shù)，將其代入中可求出結(jié)論．【解析】（1）在圖①中，過點C作，則．

∵，∴，∴．（2）在圖2中，過點Q作，則．

∵，∴．∵平分，平分，∴，∴．∵，∴．（3）∵，∴，∴．∵，∴．又∵，∴，即，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)、添加輔助線構(gòu)建平行線．6．已知，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，作的平分線交于點，點為上一點，連接，若的平分線交線段于點，連接，若，過點作交的延長線于點，且，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等量代換可得，最后根據(jù)平行線的判定即可得證；（2）過點E作，延長DC至Q，過點M作，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換可得出，再根據(jù)平角的含義得出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推出；設，根據(jù)角的和差可得出，結(jié)合已知條件可求得，最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質(zhì)，即可得出答案．【解析】（1）證明：；（2）過點E作，延長DC至Q，過點M作，，，AF平分FH平分設，．【點睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的定義，能靈活根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進行推理是解此題的關鍵．題型4：平行線—“骨折”型7．已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不變，30°【分析】（1）過E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及角平分線的定義可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，進而可求解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知∠FEQ=∠BME，進而可求解．【解析】解：（1）過E作EH∥AB，如圖1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如圖2，過F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關鍵．8．（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）過E作EMAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義以及解一元一次方程解答即可；（3）過P作PLAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義解答即可．【解析】解：（1）過E作EMAB，∵ABCD，∴CDEMAB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴設∠ABF＝x，∠EBF＝2x，則∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴設∠DCF＝∠ECF＝y(tǒng)，則∠DCE＝2y，∵ABCD，∴EMABCD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y(tǒng)﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，

∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）過P作PLAB，∵GM平分∠DGP，∴設∠DGM＝∠PGM＝y(tǒng)，則∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴設∠BPQ＝∠GPQ＝x，則∠BPG＝2x，∵PQGN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵ABCD，∴PLABCD，

∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y(tǒng)﹣x，∴∠MGN＝15°．【點睛】此題考查平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，解題關鍵在于作輔助線和掌握判定定理．題型5：三角形的內(nèi)角和與外角性質(zhì)綜合9．綜合與探究如圖1，在中，，的平分線相交于點O，老師通過度量角的度數(shù)，計算后發(fā)現(xiàn)．(1)請你證明老師的發(fā)現(xiàn)；(2)老師在學生完成后說：“如果將三角形內(nèi)角平分線改成外角平分線會怎樣呢？”①“興趣小組”提出問題：如圖2，的外角，的平分線相交于點O，請猜想與之間的數(shù)量關系，并加以證明；②“智慧小組”提出問題：如圖3，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線相交于點O，請猜想與之間的數(shù)量關系（請直接寫出數(shù)量關系式）．【答案】(1)見解析(2)①，證明見解析；②，證明見解析．【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)等知識點，靈活運用等量代換思想是解題關鍵．（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到和的三個內(nèi)角的和是，對角度進行等價代換即可證明結(jié)論；（2）①根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到和的三個內(nèi)角的和是，最后再結(jié)合平角的性質(zhì)對角度進行等價代換即可．②根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到和，最后對角度進行等價代換即可．【解析】（1）證明：∵，的平分線相交于點O，∴，，∴．∴．（2）解：①如圖2：，證明如下：∵平分，平分，∴，，∴，∴．②如圖3：，證明如下：∵平分，平分，∴，，∴．∴．10．已知：如圖1，在中，點D是上一定點，點E是上一動點．(1)設．①當時，求的度數(shù)；②在圖2中，作出點E使與β互補(要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡．不寫作法)；(2)把沿著所在的的直線折疊，使A的對應點落在的外部，如圖3，和相鄰的外角的平分線相交于點G．①求證：；②當時，試探究是否為定值，若是定值，求出的度數(shù)，若不是定值，請說明理由．【答案】(1)①；②見解析(2)①見解析；②是定值，【分析】（1）①利用三角形內(nèi)角和定理即可解答；②分別以點為圓心，小于的長為半徑畫弧與點，連接，再以點D為圓心，的長為半徑畫弧，交于點E，即作，連接，點E即為所求；（2）①利用三角形內(nèi)角和定理及鄰補角的定義結(jié)合角平分線的定義即可證明；②如圖，利用三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得到，，由折疊的性質(zhì)得到，即可求出，由①得，即可得出結(jié)論．【解析】（1）①解：，，，，，；②解：如圖，作，點E即為所求，由①可得，，，，，與β互補；（2）①證明：如圖3，根據(jù)題意得：平分，平分，，，，，，；②是定值，如圖，，，由折疊的性質(zhì)得到，，即，，由①得．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖-作角，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關鍵．題型6：平行線、三角形的內(nèi)角和與外角性質(zhì)綜合11．在四邊形中，的平分線交邊于點，的平分線交直線于點．(1)當點O在四邊形的內(nèi)部時．①如圖①，若，，，則_______°，(2)如圖②，試探索和之間的數(shù)量關系，并說明理由；(3)如圖③，當點在四邊形的外部時，請你直接寫出和之間的數(shù)量關系．【答案】(1)125(2)，理由見解析(3)，理由見解析【分析】（）由平行線可得，，再根據(jù)得出，根據(jù)角平分線的定義即可得出，，進而得出答案；（）由平行線可得，，再根據(jù)角平分線的定義即可得出，，又由外角的性質(zhì)得出答案；（）根據(jù)角平分線的定義得出，，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得出，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出答案即可；【解析】（1）解：∵，∴，，∵，，∴，，∵的平分線交邊于點，的平分線交直線于點，∴，，∴，故答案為：；（2）解：，理由如下：∵，∴，，∴，，∵的平分線交邊于點，的平分線交直線于點，∴，，∴，∴；（3）解：，理由如下：∵的平分線交邊于點，的平分線交直線于點，∴，，在四邊形中，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，四邊形內(nèi)角和，三角形內(nèi)角和定理應用，掌握以上知識點是解題的關鍵．12．已知，平分，點A，B，C分別是射線，，上的動點（A，B，C不與點O重合），連接，連接交射線于點D，設．(1)如圖1，若，①的度數(shù)是_________；②當時，的度數(shù)是_________；當時，的度數(shù)是_________；(2)在一個四邊形中，若存在一個內(nèi)角是它的對角的2倍，我們稱這樣的四邊形為“完美四邊形”，如圖2，若，延長交射線于點F，當四邊形為“完美四邊形”時，求的值．【答案】(1)①；②，(2)的值是或或【分析】（1）①先利用角的平分線的定義，得到，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，等量代換求得的度數(shù)即可；②當時，根據(jù)①得，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，求得，結(jié)合；當時，根據(jù)①得，，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，求得，結(jié)合解答即可；（2）利用分類思想，分；三種情況解答即可．【解析】（1）解：①∵，平分，∴，∵，∴；②當時，根據(jù)①得，∵，∴；∴，∴；當時，根據(jù)①得，，∵，∴；∴，∴，故答案為：①；②，；（2）①當時，如圖，∵，平分，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴；②當點C在F左邊，時，∵，平分，∴，∵，，∴，，∵，∴∵，∴，∴；③當點C在F右邊，時，∵，平分，∴，∵，，∴，，∴；∴；∵，∴，∴；綜上所述，當四邊形為“完美四邊形”時，的值是或或．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)的應用，垂直的定義，直角三角形的性質(zhì)，角的平分線定義，分類思想．本題利用角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)是關鍵，注意分類討論思想的運用．題型7：幾何中的存在，方程問題13．已知，在中，，，，三點都在直線上，且，．(1)如圖①，若，則與的數(shù)量關系為；(2)如圖②，判斷并說明線段，與的數(shù)量關系；(3)如圖③，若改變題干中的條件，只保持，，，點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上以的速度由點向點運動，它們運動的時間為．是否存在，使得與全等?若存在，求出相應的的值和的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，，或，．【分析】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握一線三等角基本模型是解題的關鍵，同時滲透了分類討論的數(shù)學思想．（1）利用平角的定義和三角形內(nèi)角和定理得，推出，證明，通過全等三角形的對應邊相等，得到；（2）由（1）同理可得，得，，通過可得答案；（3）分或兩種情形，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可解決問題．【解析】（1）解：，理由如下：故答案為：（2）解：，理由如下又，故答案為：（3）解：①點在線段上以的速度由點向點運動，點在線段上以的速度由點向點運動，，，，點在線段上以的速度由點向點運動，點在線段上以的速度由點向點運動，，當時，，，，當，，滿足，故，符合題意②點在線段上以的速度由點向點運動，點在線段上以的速度由點向點運動，，，當時，，，，，點在線段上以的速度由點向點運動，點在線段上以的速度由點向點運動，，當，時，滿足，故，符合題意；綜上，，或，14．已知，，直線交于點M，交于點N，（點E是線段上一點（不與M、N重合），P、Q分別是射線、上異于端點的點，連接、，平分交于點F，平分交直線于點G．(1)如圖1，，，點G在線段上．①求的度數(shù)；②求的度數(shù)；(2)試探索與之間的數(shù)量關系；(3)已知．直線、交于點K，直線從與直線重合的位置開始繞點N順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒，當首次與直線重合時，運動停止，在此運動過程中，經(jīng)過t秒，恰好平行于的其中一條邊，請直接寫出所有滿足條件的t的值．【答案】(1)①

②(2)或(3)或或【分析】（1）①過點作，然后利用平行線的性質(zhì)得到，，然后根據(jù)垂直的定義得到，然后解題即可；②過點作，然后利用平行線的性質(zhì)解題即可；（2）分為當點G在線段上和點G在線段的延長線上兩種情況，利用平行線的性質(zhì)解題即可；（3）分為，和三種情況，畫圖，利用平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)解題即可．【解析】（1）解：①過點作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴；②過點作，∵，∴，∴，，∵，，∴，∵平分交于點F，平分交直線于點G，∴，，∴；（2）解：如圖，當點G在線段上時，過點作，∵，∴，∴，，過點作，∵，∴，∴，，∵平分交于點F，平分交直線于點G，∴，，∴；如圖，當點G在射線上時，過點G作，∵，∴，則，∴；（3）如圖，當時，∵，，∵由（2）得：，，又∵與平行，∴，∴旋轉(zhuǎn)時間為：；如圖，當時，∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴旋轉(zhuǎn)時間為；當時，，又∵，∴，∴旋轉(zhuǎn)時間為；綜上所述，滿足條件的t的值為或或．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的有關計算，掌握平行線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)是解題的關鍵．題型8：全等三角形在本章的應用15．在通過構(gòu)選全等三角形解決的問題中，有一種方法叫倍長中線法．(1)如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．我們可以延長到點E．使，連接，根據(jù)可證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是：______；(2)如圖2，，，．點D為的中點，求證：，(3)如圖3，四邊形，對角線，相交于點E，點F是邊的中點，，，試探索與的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)(2)見解析(3)．見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關系，平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識．（1）根據(jù)可得，在中利用三角形的三邊關系可求得，即可根據(jù)求解；（2）延長至G，使，連接，先證明，得到，，再證明，即可得到；（3）延長到G，使得，連接，延長到H，使得，連接，先證可得，，再證明，得到，，最后證明，得到．【解析】（1）解：延長到點E．使，連接，∵是的中線，∴，又，∴，∴，∵在中，，∴，∵，∴，∴，解得，故答案為：；（2）證明：延長至G，使，連接，則∵點D為的中點，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴．（3）證明：如圖，延長到G，使得，連接，延長到H，使得，連接，∵點F是邊的中點，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．∴，，∵，∴，∴，∴．16．四邊形,,點在上,點在上,連接,

(1)如圖1,求證:;(2)如圖2,點在上,連接,，,,求證：;(3)如圖3,在（2）的條件下,過點作的平行線交于點,,,求的值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì),三角形內(nèi)角關系,正確做出輔助線是解出本題的關鍵．（1）由,得,利用三角形各內(nèi)角關系即可得出結(jié)論;（2）利用三角形內(nèi)角關系證明,即可得;（3）延長于點,使得,連接,可證明,利用全等三角形性質(zhì)及條件再證明,繼而得出答案．【解析】（1）解:證明:∵,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴．（2）解:證明:∵,,∴,∵,,∴,∴,∵,∴,在和中,,∴,∴．（3）解:如圖,延長于點,使得,連接,

∴在和中,,∴,∴,∵,∴,作于點,交的延長線于點,在和中,,∴,∴,,∵,,∴,在和中,,∴,∴,∴,∴,∴,∵,,,∴,∵,∴,在和中,,∴,∴,∴的值為．17．在中，，