基于小波變換的齒輪振動信號分析與處理

目錄第1章摘要………………31.1引言………………………31.1.1分析研究齒輪振動信號的意義………41.1.2分析齒輪振動信號現(xiàn)有的方法及發(fā)展方向…………41.2課題背景…………………41.2.1時頻分析的小波分析…………………41.2.2將小波變換應(yīng)用于振動信號的研究現(xiàn)狀……………51.2.3存在的問題及對策……………………61.3本文研究內(nèi)容………第2章齒輪振動理論………2.1概述………2.2齒輪振動理論………2.2.1齒輪振動機(jī)理的認(rèn)識………2.2.2齒輪振動的特征………2.3常見齒輪振動信號分析處理方法及特點(diǎn)……2.3.1時域分析及特點(diǎn)………2.3.2頻域分析及特點(diǎn)………2.3.3時頻分析與小波分析………2.4齒輪振動信號分析對小波變換的內(nèi)在需求……2.4.1突變信號﹑奇異信號的檢測過程需要時頻分析……………2.4.2故障診斷需要多分辨率分解………………2.4.3微弱信號提取需要“顯微鏡”……………2.4.4小波變換與自相似過程的分形的探討………2.5本章小節(jié)………第3章小波基本理論………3.1引言………3.2小波變換及其工程解釋………3.2.1連續(xù)小波變換………3.2.2半離散小波變換………3.2.3離散小波變換………3.3小波包變換的工程解釋及其直觀解釋…………3.4小波理論的新進(jìn)展………3.5小波分析和常用方法比較………3.6適合齒輪振動分析的小波母函數(shù)………3.7本章小節(jié)………第4章小波變換在齒輪振動信號分析中的應(yīng)用……4.1提取頻率時變信號中的特征………4.2提取信號奇異性部分特征………4.2.1信號分析………4.3提取信號中某一頻率區(qū)間的信號…………………4.4進(jìn)行信號中某一頻率區(qū)間的抑制或衰減……………4.5預(yù)測信號的發(fā)展趨勢………4.6檢測信號的自相似………4.7小波降噪與濾波………4.8本章小節(jié)………第5章結(jié)論及建議………致謝………參考文獻(xiàn)………摘要本文針對實(shí)際齒輪振動信號分析的需要，首先研究了齒輪振動理論、小波分析理論的工程意義、在此基礎(chǔ)上研究了小波變換在齒輪振動信號中的應(yīng)用，本文主要完成以下幾個任務(wù)：⑴通過對齒輪振動理論的全面分析與研究，得出結(jié)論：對齒輪振動信號燈進(jìn)行有效的時頻分析是分析齒輪振動信號的內(nèi)在需求：奇異性監(jiān)測和對齒輪振動信號燈進(jìn)行降噪濾波上小波變換在分析齒輪振動信號的主要應(yīng)用；⑵通過對齒輪振動信號的分析過程所涉及到的小波理論的研究，闡述了不同小波變換的工程意義和理論基礎(chǔ)，比較了小波分析和其他常用信號的分析方法，并在比較各種性能指標(biāo)的基礎(chǔ)上，選取Daubechies(N=1,3,6)、coif3(coifiet小波系)等小波函數(shù)作為適合齒輪振動分析的小波母函數(shù)。⑶通過信號實(shí)例說明小波變換在處理齒輪振動信號時的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)，并且通過從實(shí)驗(yàn)臺采集到的實(shí)際齒輪振動信號分析，利用小波變換對其進(jìn)行奇異性監(jiān)測研究，取得了良好的效果。⑷針對齒輪振動信號本身的特點(diǎn)，介紹了提取信號中某一頻率區(qū)間的信號、對信號中的某些頻率區(qū)間的信號進(jìn)行抑制或衰減、預(yù)測信號的發(fā)展趨勢、分析信號的自相似性等內(nèi)容，為今后齒輪振動信號分析研究提供有效的分析手段。⑸通過仿真信號和實(shí)例信號的分析，闡明了小波分析進(jìn)行圖形消噪的優(yōu)勢和特點(diǎn)。關(guān)鍵詞：齒輪振動信號小波變換奇異性消噪

第一章引言1.1小波分析1.1.1小波的定義小波(Wavelet)這一術(shù)語，顧名思義，“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它具有衰減性；而稱之為“波”則是指它的波動性，其振幅正負(fù)相間的震蕩形式。與Fourier變換相比，小波變換是時間（空間）頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運(yùn)算對信號(函數(shù))逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動適應(yīng)時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學(xué)方法上的重大突破。有人把小波變換稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。1.1.2產(chǎn)生歷史小波變換的概念是由法國從事石油信號處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號處理的實(shí)際需要經(jīng)驗(yàn)的建立了反演公式，當(dāng)時未能得到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。正如1807年法國的熱學(xué)工程師J.B.J.Fourier提出任一函數(shù)都能展開成三角函數(shù)的無窮級數(shù)的創(chuàng)新概念未能得到著名數(shù)學(xué)家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的認(rèn)可一樣。幸運(yùn)的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的發(fā)現(xiàn)、Hardy空間的原子分解和無條件基的深入研究為小波變換的誕生做了理論上的準(zhǔn)備，而且J.O.Stromberg還構(gòu)造了歷史上非常類似于當(dāng)前的小波基；1986年著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer偶然構(gòu)造出一個真正的小波基，并與S.Mallat合作建立了構(gòu)造小波基的同意方法棗多尺度分析之后，小波分析才開始蓬勃發(fā)展起來，其中比利時女?dāng)?shù)學(xué)家I.Daubechies撰寫的《小波十講（TenLecturesonWavelets）》對小波的普及起了重要的推動作用。它與Fourier變換、窗口Fourier變換（Gabor變換）相比，這是一個時間和頻率的局域變換，因而能有效的從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運(yùn)算功能對函數(shù)或信號進(jìn)行多尺度細(xì)化分析（MultiscaleAnalysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題，從而小波變化被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，它是調(diào)和分析發(fā)展史上里程碑式的進(jìn)展。1.1.3分析方法小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究緊密地結(jié)合在一起地。它已經(jīng)在科技信息產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域取得了令人矚目的成就。電子信息技術(shù)是六大高新技術(shù)中重要的一個領(lǐng)域，它的重要方面是圖像和信號處理?，F(xiàn)今，信號處理已經(jīng)成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分，信號處理的目的就是：準(zhǔn)確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲、精確地重構(gòu)（或恢復(fù)）。從數(shù)學(xué)地角度來看，信號與圖像處理可以統(tǒng)一看作是信號處理（圖像可以看作是二維信號），在小波分析地許多分析的許多應(yīng)用中，都可以歸結(jié)為信號處理問題。對于其性質(zhì)隨時間是穩(wěn)定不變的信號，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實(shí)際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號是非穩(wěn)定的，而特別適用于非穩(wěn)定信號的工具就是小波分析。1.1.4發(fā)展現(xiàn)狀小波分析是當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中一個迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，經(jīng)過近10年的探索研究，重要的數(shù)學(xué)形式化體系已經(jīng)建立，理論基礎(chǔ)更加扎實(shí)。與Fourier變換相比，小波變換是空間(時間)和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取信息。通過伸縮和平移等運(yùn)算功能可對函數(shù)或信號進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。小波變換聯(lián)系了應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計算機(jī)科學(xué)、信號與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個學(xué)科。數(shù)學(xué)家認(rèn)為，小波分析是一個新的數(shù)學(xué)分支，它是泛函分析、Fourier分析、樣調(diào)分析、數(shù)值分析的完美結(jié)晶；信號和信息處理專家認(rèn)為，小波分析是時間—尺度分析和多分辨分析的一種新技術(shù)，它在信號分析、語音合成、圖像識別、計算機(jī)視覺、數(shù)據(jù)壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學(xué)意義和應(yīng)用價值的成果。小波分析是當(dāng)前數(shù)學(xué)中一個迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，它同時具有理論深刻和應(yīng)用十分廣泛的雙重意義。1.1.5應(yīng)用領(lǐng)域事實(shí)上小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號分析、圖像處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對抗與武器的智能化；計算機(jī)分類與識別；音樂與語言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機(jī)械的故障診斷等方面；例如，在數(shù)學(xué)方面，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。在信號分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。在圖像處理方面的圖像壓縮、分類、識別與診斷，去污等。在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時間，提高分辨率等。(1)小波分析用于信號與圖像壓縮是小波分析應(yīng)用的一個重要方面。它的特點(diǎn)是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持信號與圖像的特征不變，且在傳遞中可以抗干擾?；谛〔ǚ治龅膲嚎s方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波域紋理模型方法，小波變換零樹壓縮，小波變換向量壓縮等。(2)小波在信號分析中的應(yīng)用也十分廣泛。它可以用于邊界的處理與濾波、時頻分析、信噪分離與提取弱信號、求分形指數(shù)、信號的識別與診斷以及多尺度邊緣檢測等。(3)在工程技術(shù)等方面的應(yīng)用。包括計算機(jī)視覺、計算機(jī)圖形學(xué)、曲線設(shè)計、湍流、遠(yuǎn)程宇宙的研究與生物醫(yī)學(xué)方面。1.2將小波變換應(yīng)用于齒輪振動信號的研究現(xiàn)狀在振動信號處理方面，應(yīng)用小波變換的來分析是一種趨勢。信號處理技術(shù)的日益進(jìn)步和小波理論本身的不斷發(fā)展，決定了小波變換在分析處理信號方面有著廣闊的應(yīng)用前景。小波變換在振動信號分析中的典型應(yīng)用主要有以下幾個：小波變換用于振動信號信噪分離。實(shí)際采集到的齒輪信號是比較復(fù)雜的，含有很多噪聲，如何削除噪聲，再對消噪后的振動信號進(jìn)行相關(guān)分析是處理齒輪振動信號的一個重要環(huán)節(jié)；小波變換用于信號的濾波；小波變換用于信號非平穩(wěn)特性分析的；小波分析由于其良好的時頻局部化特性，對處理瞬變信號有獨(dú)特的優(yōu)越性；將小波分析應(yīng)用于大型機(jī)械設(shè)備變工況非平穩(wěn)動態(tài)分析的；小波變換和分形的結(jié)合。小波變換是對信號的逐層剝離，層層分解，得到信號的各級細(xì)節(jié)和近似部分：而分形則是事物的形態(tài)﹑結(jié)構(gòu)與組織的分解和分裂，它是一個過程，是事物從整體向局部。從宏觀向微觀轉(zhuǎn)化的過程，因此小波變換與分形過程在認(rèn)識事物方面有共同之處，兩者之間的結(jié)合能發(fā)揮更大的作用；小波變換還可以與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合。綜上所述，小波分析作為一種全新的信號處理工具，在振動信號處理方面也取得了越來越多和越來越深的的應(yīng)用。不過我們也應(yīng)該看到小波分析本身也是一門發(fā)展非常快的學(xué)科，它也會有它的適應(yīng)范圍和它的不足。只有結(jié)合實(shí)際情況，具體問題具體分析，才能更好的利用小波分析解決實(shí)際問題。1.3本文研究內(nèi)容本文主要解決以下幾個問題：齒輪振動信號分析為何要引入小波變換？小波分析齒輪振動信號有何優(yōu)點(diǎn)？小波分析可以解決哪些在齒輪振動信號中目前無法有效解決的問題？為了很好的解決或探討這些問題，本文研究內(nèi)容如下：研究齒輪振動理論，認(rèn)識齒輪的振動機(jī)理及振動特征；研究和振動分析有關(guān)的小波分析理論，揭示不同小波變換的工程意義。并根據(jù)實(shí)際采集到的齒輪振動信號的數(shù)據(jù)長度來選擇小波分解的最優(yōu)尺度；研究小波分析在振動信號中降噪濾波中的具體應(yīng)用。

第二章齒輪振動理論2.1齒輪振動理論齒輪傳動是靠輪齒間相互交替作用而傳動力的，而在齒輪嚙合處齒與齒之間發(fā)生連續(xù)的沖擊以及齒面間和摩擦，從而產(chǎn)生齒輪振動而輻射噪聲，齒輪嚙合過程中產(chǎn)生振動，主要是由齒輪嚙合力的的變化引起的。2．1．1齒輪振動機(jī)理的認(rèn)識一、齒輪嚙合作用力對輪齒振動的影響以下個齒輪的一個嚙合過程為例，由于作用在齒廓上力的大小﹑作用點(diǎn)和作用方向均是變化的，因此嚙合過程中就不可避免的出現(xiàn)輪齒振動。齒輪作用力和方向在嚙合過程中的變化，最突出的表現(xiàn)在齒對嚙合節(jié)點(diǎn)附近。在節(jié)點(diǎn)附近，齒廓摩擦力方向發(fā)生突變，引起齒廓作用力方向的變化，由此加劇了輪齒的振動。一般認(rèn)為摩擦力的這一影響總比齒輪嚙合力變化引起的輪齒振動的影響是較輕的。力作用點(diǎn)的影響是不容忽視的。力作用點(diǎn)變化主要是輪齒接觸位置和接確面積大小的變化引起的。對齒輪共軛齒輪而言，在一定載荷作用下，齒輪接確線形成的位置﹑順序和接觸區(qū)域的大小具有理想的理論數(shù)值。但在輪齒的實(shí)際嚙合中，會出現(xiàn)接確線長度減小﹑接確瞬時中斷﹑接確位置偏向輪緣﹑接確面積減小﹑非共軛齒面接確（如齒頂﹑齒面的干涉﹑非工作齒廓的接確）等現(xiàn)象。這些現(xiàn)象即是由力作用點(diǎn)和變化引起的，由此使特定接確區(qū)域的瞬時接確應(yīng)力過高，形成瞬時接確區(qū)域的沖擊和振動。嚙合力大小的變化對齒輪振動有明顯的影響。由于種種原因，作為嚙合函數(shù)的輪齒嚙合力，即瞬時嚙合力，總是偏離理想的理論嚙合力。輪齒瞬時嚙合力的大小及變化規(guī)律對輪齒嚙合振動有直接的影響。二﹑齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)激勵對齒輪振動的影響齒輪傳動系統(tǒng)作為一種彈性的機(jī)械振動，在動態(tài)激勵下，就會產(chǎn)生振動響應(yīng)。齒輪傳動系統(tǒng)的內(nèi)部激勵包括：齒輪嚙合時變剛度，軸承誤差；外部激勵包括：系統(tǒng)的輸入和負(fù)載條件。齒輪傳動系統(tǒng)的振動主要是齒輪的嚙合振動。如前所述，齒輪嚙合振動狀態(tài)主要是由輪齒嚙合力（嚙合激勵）的大小及其變化規(guī)律所決定。在系統(tǒng)的輸入和負(fù)載條件已確定的條件下，齒輪嚙合時變剛度和嚙合綜合誤差決定了輪齒嚙合力的作用形式，即決定了輪齒嚙合的振動狀態(tài)。齒輪嚙合綜合剛度具有時變特性。在齒輪動力學(xué)中，齒輪時變嚙合剛度亦被稱為剛度激勵。剛度激勵對系統(tǒng)的最大影響就是造成理論漸開線齒輪副在輪齒嚙入嚙出時刻產(chǎn)生嚙入嚙出沖擊，形成輪齒強(qiáng)烈振動。另外，從齒輪幾何運(yùn)動角度看，對于一定載荷作用下的標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪副，齒輪嚙合剛度的變化會引起輪齒彈性變形的變化，進(jìn)而引起齒輪副傳動比的變化，從而激勵整個傳動系統(tǒng)產(chǎn)生振動。而齒輪傳動中的各種誤差，如齒輪制造誤差﹑安裝誤差運(yùn)轉(zhuǎn)中因溫度誤差而引起的各種變形等會激發(fā)齒輪副傳動中的振動。由此可見，齒輪剛度激勵與誤差激勵對齒輪動態(tài)嚙合力具有直接的影響。齒輪嚙合綜合剛度﹑齒廓嚙合綜合誤差與輪齒動態(tài)嚙合力的相互作用，形成輪齒的嚙合振動。三﹑齒輪誤差對齒輪振動的影響輪齒剛度周期性的變化，是產(chǎn)生激振力﹑引起嚙合過程中產(chǎn)生振動的重要原因。而輪齒誤差是產(chǎn)生齒輪振動激振力的主要因素。齒輪制造誤差有許多種，其中對齒輪振動影響較大的誤差有：基節(jié)偏差﹑齒距偏差﹑壓力角誤差﹑齒形誤差﹑齒距累積偏差﹑波形誤差和齒向誤差等。四﹑齒輪傳動系統(tǒng)的振動機(jī)理齒輪系統(tǒng)是一個參數(shù)自激的振動系統(tǒng)，其振動機(jī)理如圖2-1所示。我們可以將其分為傳動系統(tǒng)的振動和零件結(jié)構(gòu)的振動。傳動系統(tǒng)的振動是指用于傳遞運(yùn)動和動力的齒輪副﹑傳動軸和軸承的振動。主要包括齒輪的圓周振動﹑傳動軸的扭轉(zhuǎn)振動及橫向彎曲振動﹑軸承的橫向振動。若齒輪端面因受傳動軸彎曲等因素影響而發(fā)生變化時，齒輪還會發(fā)生振動。在傳遞運(yùn)動和動力的過程中，由于上述各種激勵的相互作用，傳動系統(tǒng)還存在多種耦合的振動形式。零件結(jié)構(gòu)的振動則是齒輪傳動系統(tǒng)的振動引起的，不同的零件按其自身的結(jié)構(gòu)形式﹑材料特性及聯(lián)接方式而產(chǎn)生振動。以齒輪為例，齒輪在傳動系統(tǒng)中的主要振動形式為圓周方向振動，但測量結(jié)果表明，在齒輪的徑向和軸向也存在振動。齒輪的徑向和軸向振動，一部分來自傳動系統(tǒng)的振動分量，另一部分則來自齒輪結(jié)構(gòu)本身的振動，后者受齒輪軸向振動激勵而產(chǎn)生的。比如對于輪幅式的航空齒輪，輪幅的振動主要來自結(jié)構(gòu)振動本身。齒輪箱的振動則是典型的結(jié)構(gòu)振動，它在軸承外圈振動激勵的作用下，按其自身結(jié)構(gòu)特征所決定的振動模態(tài)產(chǎn)生振動。在齒輪振動系統(tǒng)中，由于傳動件﹑支撐和箱體均為連續(xù)質(zhì)量分布的彈性體，無論是傳動系統(tǒng)還是零件結(jié)構(gòu)，都存在多階的振動固有頻率和相應(yīng)的振型。受齒輪嚙合頻率影響，具有周期性的齒輪剛度激勵﹑誤差激勵﹑質(zhì)量偏心等激勵的頻率不盡相同，因此齒輪系統(tǒng)在多個不同頻率的激勵作用下，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)呈現(xiàn)出紛繁復(fù)雜的振動現(xiàn)象，使的多數(shù)齒輪振動實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果與理論分析有一定的差別。2.2.2齒輪的振動特征齒輪振動信號的調(diào)制現(xiàn)象中包含有很我故障信息，所以研究信號調(diào)制對齒輪故障診斷是非常重要的，從頻域上看，信息調(diào)質(zhì)的結(jié)果是使用齒輪嚙合頻率周圍出現(xiàn)邊頻帶情況。信號調(diào)制可分為兩種：幅值調(diào)制和頻率調(diào)制。幅值調(diào)制幅值調(diào)制是由于齒面載荷波動對振動幅值的影響而造成的，例如，齒輪偏心造成齒輪嚙合時齒輪間隙變化，從而產(chǎn)生載荷波動，使振動幅值按此規(guī)律周期性的變化；齒輪的加工誤差（例如節(jié)距不勻）及齒輪故障使齒輪在嚙合過程中產(chǎn)生短暫的“加載”和“卸載”效應(yīng)，也會產(chǎn)生幅值調(diào)制。頻率調(diào)制由于齒輪載荷不均勻﹑齒輪傳動不平穩(wěn)及故障造成的載荷波動，除了對振動幅值產(chǎn)生影響外，同時也必然產(chǎn)生扭矩的波動，使齒輪轉(zhuǎn)速產(chǎn)生波動。這種波動表現(xiàn)在振動上即為頻率調(diào)制，這兩種調(diào)制總是同時存在的。對于質(zhì)量較小的齒輪幅，頻率調(diào)制現(xiàn)象尤為突出。對于振動信號而言，頻率調(diào)制的原因主要是由于齒輪嚙合剛度函數(shù)由于齒輪加工誤差和故障的影響而產(chǎn)生了相位變化，這種相位變化會由于齒輪的旋轉(zhuǎn)而具有周期性。齒輪振動信號的調(diào)制特點(diǎn)齒輪振動信號的頻率調(diào)制和幅值調(diào)制的共同點(diǎn)在于：①載波頻率相等；②連帶頻率對應(yīng)相等；③邊帶對應(yīng)于載波頻率。在實(shí)際的齒輪系統(tǒng)中，調(diào)幅效應(yīng)和調(diào)值效應(yīng)總是同時存在的，所以，頻譜上的邊頻成份為兩種調(diào)制的疊加。雖然這兩種調(diào)制中的任何一種單獨(dú)作用時所產(chǎn)生的邊頻都是對稱于載波頻率的，但兩者疊加時，由于邊頻成份具有不同的相位，所以是向量相加。疊加后的邊頻幅值增加了，有的反而下降了，這就破壞了原有的對稱性。邊頻具有不穩(wěn)定性。幅值調(diào)制和頻率調(diào)制的相對位關(guān)系會受隨機(jī)因素影響而變化，所以在同樣的調(diào)制指數(shù)下，邊頻帶的形狀會有所改變，但其總體水平不變。因此在齒輪故障診斷中，只監(jiān)測某幾個邊頻得到的信息往往是不全面的，據(jù)此做出的診斷結(jié)論有時是不可靠的。齒輪振動中的其他成份齒輪振動信號中除了存在嚙合頻率（及其倍頻）﹑邊頻成份外，還存在其他的振動成份。（1）附加脈沖。齒輪信號調(diào)制所產(chǎn)生的信號大體上都是對稱于零電平的，但由于附加脈沖的影響，實(shí)際上測得的信號不一定對稱于零線，附加脈沖是直接疊加在齒輪的常規(guī)振動上，而不是以調(diào)制的形式出現(xiàn)，在時域上比較容易區(qū)分，如下圖所示：齒輪平衡不良﹑對中不良﹑零部件機(jī)械松動等缺陷都會引起附加脈沖。附加脈沖不一定與齒輪缺陷直接相關(guān)，附加脈沖的影響一般不會超出低頻段，即在嚙合頻率以下。⑵隱含成份。新齒輪傳動時，如同嚙合頻率一樣，會在頻譜上出現(xiàn)某一頻率的基頻及次倍頻成份，成為隱含成份。實(shí)際上它是制造該齒輪時所用加工機(jī)床的分度齒輪的嚙合頻率。⑶交叉調(diào)制成份。由上述基本成分互相調(diào)制而成，表現(xiàn)為一些頻率的和頻與差頻。2.3常見齒輪振動信號分析處理方法及其特點(diǎn)常見的齒輪振動信號分析處理方法一般有以下幾種：時域分析﹑頻域分析﹑時頻分析和小波分析等。2.3.1時域分析及其特點(diǎn)所謂信號時域分析方法就是根據(jù)信號的時間歷程記錄波形，分析信號的組成和特征量。該分析方法主要是對振動測試的數(shù)據(jù)和波形進(jìn)行分析。通過分析可以確定：⑴信號波形的幅值參數(shù)；⑵借助傅立葉變換或快速傅立葉變換求出波形的各次諧波分量的幅值和頻率；⑶波形的畸變和真實(shí)波形；⑷由波形的衰減求系統(tǒng)的阻尼；⑸信號前后的相關(guān)程度等等（10）。這樣分析主要是為了提供各種振動參量的幅值﹑分析驗(yàn)證所測結(jié)果的可靠性，以及對實(shí)測波形和數(shù)據(jù)進(jìn)行修正﹑反演﹑去偽存真。亦可以通過量綱分析及作圖等方法，求出經(jīng)驗(yàn)公式或關(guān)系式，得出振動規(guī)律。在齒輪振動信號中總是包含很強(qiáng)的“常規(guī)振動”成份，這種成分是由齒輪的嚙合產(chǎn)生的，它會包含嚙合齒輪的各階倍頻以及一階倍頻成分（正常齒輪加工后都會有輕微偏心，由此產(chǎn)生一階邊頻）；而齒輪振動信號中其他成分均由齒輪加工誤差和故障所產(chǎn)生。因此對時域平均后的齒輪振動信號作FFT濾波處理，只保留各階嚙合頻率及其一階邊頻成分，這樣就可以分別得到齒輪的“常規(guī)振動”和“其它振動”的時域信號，從而實(shí)現(xiàn)兩者分離。再分別對感興趣的信號（一般為“其他振動”信號）重點(diǎn)研究。此外，也可直接從時域信號中提取調(diào)制信號，再直接分析調(diào)制函數(shù)在齒輪發(fā)生故障或齒輪振動信號發(fā)生變化時的變化。時域分析方法由于不含有任何頻率的信息，它更無法確定齒輪振動信號的頻率構(gòu)成，而前面說過，齒輪在發(fā)生故障或異常時，它有振動信號中所包含的頻率成分是會發(fā)生變換的，因此僅靠時域分析很難滿足齒輪振動信號的分析要求。在實(shí)際分析處理齒輪振動信號時，這種方法相對應(yīng)用比較少，但在應(yīng)用其它方法來處理齒輪振動信號時，可能會輔助性的用到時域分析方法。2.3.2頻域分析及其特點(diǎn)頻域分析是分析齒輪齒輪振動信號最常用的分析方法之一，因?yàn)辇X輪傳動過程中，故障的發(fā)生﹑發(fā)展通常會引起設(shè)備振動信號所包含頻率成分的發(fā)生變化。頻域分析的基礎(chǔ)是頻譜分析，而使用最多也是最普遍的方法是傅立葉變換，它將信號分解為有限或無限個頻譜的分量之和。實(shí)際的齒輪振動信號往往包含很多頻率成分，頻譜分析可以求得振動信號的各種頻率成分和它們的幅值（或能量）及相位，這對研究被測對象的振動特性﹑振型和動力反應(yīng)都是很有意義的。而且在傅立葉變換的基礎(chǔ)上，人們很快提出了快速傅立葉變換的方法。該算法簡化了信號的分析和運(yùn)算，具有極大的應(yīng)用價值，它已成為各領(lǐng)域普遍使用的強(qiáng)有力的分析振動信號的工具。當(dāng)前使用齒輪振動信號的頻域方法有以下幾種：①嚙合頻率及其各階倍頻的分析的；②邊頻帶分析的；③倒頻譜分析。頻域分析方法相對比較成熟，但頻域分析方法結(jié)齒輪振動信號分析也并不理想，因?yàn)楦盗⑷~變換只能獲得信號的整體頻譜，而不能獲得信號的局部特征，它不適應(yīng)用信號的局部分析和。此外傅立葉變換只適應(yīng)用確定性的平穩(wěn)信號，對時變的非平穩(wěn)信號則不能進(jìn)行充分描述。事實(shí)上傅立葉變換是對整個時域范圍求積，去掉了非平穩(wěn)信號的時變信息了；傅立葉分析只能刻畫信號的頻率信息，而不能同時提供時域上的信息。而具體在分析齒輪振動信號時，我們真正需要研究的信號往往是瞬時的﹑短促的或脈沖的，通過頻域分析方法所獲得的分析結(jié)果不能體現(xiàn)出任何時域上的信息，比如對突變信號﹑非平穩(wěn)信號﹑或需要檢測信號中的奇異成分等等，傅立葉分析已滿足不了相應(yīng)的需求，因此尋求一種新的變換方法，使它即能保持傅立葉變換的優(yōu)點(diǎn)，又能彌補(bǔ)傅立葉分析的不足，已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)家和工程技術(shù)人員共同努力的前沿課題。2.3.3時頻分析和小波分析前面說過，能夠在時域和頻域同時進(jìn)行信號分析的方法一般被稱為時頻分析。因?yàn)橐话惴治鎏幚睚X輪振動信號的方法中，時域分析無法獲得信號的頻率信息，而頻域分析無法確定信號的時域信息。對于齒輪振動信號，應(yīng)該采用時頻分析。而時頻分析的方法很多，例如：短時傅立葉分析﹑小波分析﹑wigner譜分析等等，本文對時頻分析理論及應(yīng)用進(jìn)行了較為詳細(xì)的論述。頻譜分析和時頻分析的不同在于：頻譜能使我們能夠確定哪些頻率成分的存在，而時頻分析則使我們能夠確定在某一特定的時間那些頻率成分存在。20世紀(jì)80年代中期出現(xiàn)的小波分析繼承并了展了短時傅立葉變換的局部化的思想，巧妙地利用一個尺度參數(shù)，使窗口的寬度隨頻率的增加而減少，分辨率也隨之變化，符合對含有復(fù)雜頻率成分的齒輪振動信號進(jìn)行分析物要求。但同時我們也應(yīng)該看到，由于計算機(jī)和科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，小波分析本身也在不斷發(fā)展，雖然在近幾年內(nèi)有很多學(xué)者在研究小波，但也許每天都會有新的發(fā)現(xiàn)。2.4齒輪振動信號分析對小波變換的內(nèi)在需求2.4.1突變信號﹑奇異性信號的檢測過程需要時頻分析對于實(shí)際的齒輪振動信號，絕大多數(shù)情況下它們的表現(xiàn)很復(fù)雜，幾乎只在很小的范圍內(nèi)平穩(wěn)，根本無法近似為平穩(wěn)信號。而很多時候我們更需要對信號中的奇異信號進(jìn)行分析，尤其是對一些故障信號。比如設(shè)備停起時﹑故障開始時，故障發(fā)生時的表現(xiàn)，等等，這些都無法近似為平穩(wěn)信號，因此也就難以通過傅立葉變換反映出來。如齒輪斷齒是一個典型的突發(fā)故障，它給振動信號帶來的影響是典型的非線性和非平穩(wěn)信號。所以對齒輪振動信號的奇異性檢測的要求是對其進(jìn)行高效的時頻分析。目前，時頻分析在齒輪振動信號中應(yīng)用較少的原因可能是因?yàn)橄旅鎺讉€原因：①缺乏簡單實(shí)用的時頻分析方法。②時頻分析得到的結(jié)果比較復(fù)雜，對其分析需要一定的技術(shù)背景。③現(xiàn)有的分析方法可以解決碰到的部分常見問題。對齒輪振動信號進(jìn)行高效的時頻分析是齒輪振動機(jī)理外在表現(xiàn)的必然要求，而小波分析正好吻合了這樣的工程要求：理論淺顯易懂。算法簡單快速，工程意義明確。所以，可以說小波分析在齒輪振動信號中的應(yīng)用會成為一種必然。2.4.2故障診斷需要多分辨率分解如前所述，齒輪振動信號的奇異性檢測過程需要進(jìn)行時頻分析。那么首先對于時頻分析而言，無論是從靈活性來考慮，還是從確定奇異性的準(zhǔn)確率來考慮，都需要多分辨率分解。此外，目前人們利用最多而且最可靠的故障機(jī)理是通過發(fā)現(xiàn)齒輪故障和頻譜分布之間有穩(wěn)定的對應(yīng)關(guān)系。而如果考慮到故障特征更多的表現(xiàn)在基頻附近，而對信號點(diǎn)頻率的分析無法代替頻率的分析，因此從故障的內(nèi)在機(jī)理需求來看需要對信號進(jìn)行準(zhǔn)確的頻帶分解。也就是說，從故障的內(nèi)在機(jī)理來看也同樣要求我們對信號進(jìn)行多分辨率分解。2.4.3微弱信號提取需要“顯微鏡”齒輪振動信號時非常復(fù)雜的信號，在進(jìn)行各種預(yù)測、診斷、提取信號特征的分析中，如果某些可能會導(dǎo)致后期故障的微弱信號沒有被發(fā)現(xiàn)的話，那么我們豈不是錯失了預(yù)測故障的最佳時機(jī)了？很多故障在發(fā)生初期，其信號表現(xiàn)為類似正常信號，對于故障而言，有個積累的過程。尤其是對一些漸發(fā)性故障，它有很長的故障發(fā)展過程，比如裂紋等等。此時，如果能夠在分析齒輪振動信號的時候，就能夠探測到微弱奇異性信號的出現(xiàn)，必將大大提高對故障的預(yù)測診斷效力。而傳統(tǒng)的分析方法不能實(shí)現(xiàn)這樣的功能，它們只有到故障信號被提取出來或者故障已經(jīng)發(fā)展到一定的規(guī)模時，才能將故障信號檢測出來。因此，通過適當(dāng)分析方法將正常信號夾雜的微弱信號提取出來，是分析齒輪振動信號并進(jìn)行故障預(yù)測的趨勢之一。而小波分析的“顯微鏡”功效正好能在這個時候排上用場。2.4.４小波變換與自相似過程和分形的探討從齒輪動力學(xué)研究來看，文獻(xiàn)（11）和（12）分別研究了行星齒輪傳動系統(tǒng)和行星齒輪傳動系統(tǒng)的間隙非線性動力學(xué)行為。在他們的研究中，發(fā)現(xiàn)在這些復(fù)雜的傳動系統(tǒng)中，存在著分岔和混沌等非線性動力學(xué)特有的現(xiàn)象。因此將分形理論應(yīng)用于齒輪非線性動力學(xué)是理所當(dāng)然了。在理想狀態(tài)下，齒輪的振動信號應(yīng)該是周期的，也就是如果從分形角度來研究的話，是可以得到一個確切的分形指數(shù)的。文（13）就利用分形理論計算出了系統(tǒng)的分形維數(shù)。而前面曾提過，小波變換與分形過程在認(rèn)識事物方面有共同之處【1.2.2】。如果用小波分析來研究齒輪振動信號，可以得到其自相似過程的分析結(jié)果。小波分析得來的信號的自相似過程和信號的分形維數(shù)之間有什么聯(lián)系呢？這也是本文試圖探討的內(nèi)容之一。2.5本章小結(jié)在分析齒輪振動產(chǎn)生的機(jī)理﹑及影響齒輪振動的多種因素（齒輪嚙合作用力﹑齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)激勵﹑齒輪誤差等的基礎(chǔ)上，指出了齒輪傳動系統(tǒng)的振動機(jī)理。并分析的齒輪振動特征及其常見的齒輪振動信號分析方法及其特點(diǎn)。因頻域分析方法無法包含任何時域的信息，時域分析方法無法獲得頻域的信息，因此需要尋找一種新的能夠進(jìn)行時頻分析的方法，從而說明引入小波變換來進(jìn)行齒輪振動信號的分析的意義和必要性。最后分別從突變信號等奇異性信號的檢測過程需要時頻分析、故障診斷需要多分辨率分解﹑微弱信號提取需要“顯微鏡”﹑小波變換與自相似過程和分形的探討等方面來說明齒輪振動信號對小波變換的內(nèi)在需求。綜上所述，從齒輪振動理論及其齒輪振動機(jī)理來看，小波變換對研究齒輪振動信號有著重要的意義。

第三章小波基本理論在分析實(shí)際的齒輪振動信號時，真正需要分析的往往是那些非平穩(wěn)的瞬態(tài)信號，它們最在的特點(diǎn)是能量在時域或頻域都具有局部特性。因此不可避免的要求分析這種信號的工具也同樣具備時頻分析，而小波分析正因?yàn)槠溆兄己玫臅r頻局部特性而應(yīng)用越來越廣泛。小波分析具有連續(xù)小波變換﹑離散小波變換﹑半離散小波變換和在其基礎(chǔ)上發(fā)展起來的小波包變換和最優(yōu)小波變換。它們都可以對非平穩(wěn)信號進(jìn)行有效的時頻分析，具有明確的工程意義。3.1引言近年來，小波理論在國外有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展。在美國，幾乎每所著名大學(xué)都有專門的研究小波的小組，許多著名的研究所﹑實(shí)驗(yàn)室，如貝爾實(shí)驗(yàn)室都對小波的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。各種各樣名目繁多的小波，因不同的應(yīng)用目的而被構(gòu)造出來，令人目不暇接。所有這些都展現(xiàn)出小波理論的光明前景。小波理論已引起了許多領(lǐng)域科學(xué)家的興趣和關(guān)注，但它還處在發(fā)展之中，雖然它對科學(xué)技術(shù)發(fā)展的意義和影響還難以預(yù)料，但它的發(fā)展則是肯定的，小波分析的思想來源于傅立葉分析，因此，它還不能取代傅立葉分析，但它是傅立葉分析的發(fā)展與創(chuàng)新，它的發(fā)展將作為科學(xué)計算及信號圖像的處理開辟新的途徑?？紤]到本文研究目的在于小波分析的實(shí)際的應(yīng)用，有必要將齒輪振動信號涉及到的小波理論做一個詳細(xì)的介紹和分析，重點(diǎn)在于說明各種小波變換的工程應(yīng)用意義。3.2小波變換及其工程解釋先介紹一下小波變換的定義：設(shè)是平方可積函數(shù)，是被稱為基本小波的函數(shù)，則：稱為的小波變換。式中是尺度因子，反映位移其值可正可負(fù)。小波變換等域的表示是：式中，分別是，的傅立葉變換。根據(jù)和的不同，可將小波變換分為連續(xù)小波變換﹑半離散小波變換和離散小波變換。3.3多分辨分析前面我們從連續(xù)小波引入了離散小波，現(xiàn)在我們從多分辨分析的角度對小波進(jìn)行分析。多分辨分析又稱多就度分析，是發(fā)建立在函數(shù)空間概念上的理論，但其思想的形成來源于工程，其創(chuàng)作者Ｓ.Mallat在研究圖像處理問題時建立了這套理論。3.4小波包變換的工程解釋及其直觀解釋工程解釋：在很多問題上，我們只是對某些特定的時間段（點(diǎn)）或頻率段（點(diǎn)）的信號感興趣，只需要提取變些特定時間及頻率點(diǎn)上的信息而已。而正交小波變換所遵循的規(guī)律不能滿足這種要求，其主要原因是因?yàn)檎恍〔ㄗ儞Q的多分辨率分解只將（尺度）空間進(jìn)行了分解。直觀解釋：短時傅立葉變換對信號的頻帶劃分是線性等間隔的。多分辨率分析可以對信號進(jìn)行有效的時頻分解，但由于其尺度是按二進(jìn)制變化的，因此在高頻頻段其頻率分辨率相對較差，而在低頻頻段時間分辨率相對較差，即它是對信號的頻率進(jìn)行指數(shù)等間隔劃分的（具有等Q結(jié)構(gòu)）。小波包分析（waveletpacketanalysis）能夠?yàn)樾盘柼峁┮环N更加精細(xì)的分析方法，它將頻帶進(jìn)行多層次劃分，它能對多分辨率沒有細(xì)分的高頻部分進(jìn)一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號的特征，自適應(yīng)的選擇相應(yīng)頻帶，使之與信號頻譜相匹配，從而提高了時－頻分辨率，因此小波包分析也具有更廣泛的應(yīng)用價值。3.5小波理論的新進(jìn)展一﹑多小波分析（Mutiwaveletanlysis）多小波分析用多個尺度函數(shù)和多個小波來表示信號。目前，多小波理論引起了人們的廣泛注意和研究，它代表著當(dāng)前小波理論發(fā)展的一個重要方向，并且最近兩年取得了很大的進(jìn)展，原因在于它具有如下性質(zhì)：①短支撐；②正交性；③對稱性；④具有較高階的消失矩。這些性質(zhì)是前面任何雙帶實(shí)值的單小波所不可能同時具有的，而這些性質(zhì)在應(yīng)用中是人們所期望的．除此之外，多小波比標(biāo)量小波有更大自由，自由容易按照所需性質(zhì)定制所有的這些優(yōu)點(diǎn)將會使多小波有更廣闊的前景。二、提升框架理論來講，小波變換是一種無損變換，但所有的計算機(jī)都只能進(jìn)出行有限精度的計算，故即使我們采用浮點(diǎn)計算，實(shí)際變換中也不可能避免會損失部分信息，而上世紀(jì)90年代提升框架的提出很好的解決了這一點(diǎn)，提升框架具有如下優(yōu)點(diǎn)：①多分辨性；②在位計算；③反變換容易實(shí)現(xiàn)；④通俗易懂；⑤兼容性。3．6小波分析與常見分析方法比較小波變換屬于時頻分析的一種，而在它出現(xiàn)之前就已經(jīng)有很多時頻分析的方法，是什么原因使它的應(yīng)用越來越廣泛呢？通過比較我們可以發(fā)現(xiàn)：和傅立葉變換相比，它可以進(jìn)行時頻分析；和短時傅立葉變換相比，它的分析窗口可以變化；和其他的時頻分析相比，它算法簡單，應(yīng)用起來靈活方便。3．7適合齒輪振動信號分析的小波母函數(shù)的選擇小波母函數(shù)有很多種，只要能滿足（3.5）所謂容許性條件的函數(shù)都可以成為小波母函數(shù)．小波母函數(shù)的多種多樣豐富了小波分析的靈活性，但同時也出現(xiàn)一個問題：針對不同的待分析信號，如何選擇或者構(gòu)造小波母函數(shù)？在2.4節(jié)中，我們已經(jīng)得出結(jié)論，齒輪振動信號要求小波母函數(shù)能進(jìn)行良好的時頻分析和多分辨率分析．這實(shí)際上要求小波母函數(shù)有良好的局部分析特性，因此，為了達(dá)到這一目的，合適的小波母函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足以下性能指標(biāo)：時頻窗口要小，而且時頻中心最好在零位。在時域和頻域中最好在一域中有緊支撐，而在另一域中為快速衰減的。要有很高的消失距。最好還有很好的正交性、對稱性和高階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。常見的小波母函數(shù)為Harr小波、Meyer小波、Mexicanhat小波、Littlewood-paley小波、Coifman小波、Daubechies小波。綜合比較而言，Daubechies小波、Meyer小波、Coifman小波是比較合適的，但考慮到運(yùn)算的難易程度后，本文基本上采用dbN系列和Meyer小波進(jìn)行信號的分析。且經(jīng)過實(shí)例分析檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)N＝6時，分析信號的性能最好，如果繼續(xù)增大N，性能提高并不明顯。因此本文多數(shù)情況下都采用db6作為齒輪振動信號的小波母函數(shù)。3.8本章小節(jié)本章重點(diǎn)研究了小波理論基礎(chǔ)，并側(cè)重揭示了其工程意義和應(yīng)用背景。小波分析包括連續(xù)小波變換、半離散小波變換、離散小波變換、多尺度分析和在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的小波包變換。它們都可以對非平穩(wěn)信號進(jìn)行有效的時頻分析，且都有明確的工程意義。此外，還介紹了小波變換的新進(jìn)展，以提高對小波分析的新認(rèn)識。并比較了小波分析同傅立葉變換、短時傅立葉變換的區(qū)別和聯(lián)系及各自的優(yōu)缺點(diǎn)。最后，提出了幾種常見的小波母函數(shù)，并說明在綜合考慮多種因素的情況下，針對待分析齒輪振動信號的特點(diǎn)，一般選擇db6和Meyer小波來分析。本章內(nèi)容為小波變換在齒輪振動信號中的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

第四章小波變換在齒輪振動信號分析中的應(yīng)用小波分析具有良好的時頻局部化分析能力，可以對信號進(jìn)行多尺度分析．對于齒輪振動信號分析處理，主要是提取信號中的奇異性特征，以分析齒輪傳動的情況。這包括：應(yīng)用小波變換進(jìn)行齒輪振動信號特征提取、齒輪振動信號的奇異點(diǎn)監(jiān)測、提取信號中某一頻率區(qū)間的信號、進(jìn)行信號中某一頻率區(qū)間的抑制或衰減、預(yù)測信號的發(fā)展趨勢、應(yīng)用小波變換進(jìn)行慮波與降噪等等。下面通過對實(shí)際齒輪振動信號的分析來說明小波變換在齒輪振動信號分析處理中的應(yīng)用。4．1提取頻率時變信號中的特征齒輪傳動在啟停或發(fā)生故障時，其振動信號表現(xiàn)為頻率不穩(wěn)定，隨時間變化，如果應(yīng)用傅立葉變換將得不到或得到錯誤的結(jié)果，而如果應(yīng)用小波變換就能得到比較好的分析效果。但采用小波變換進(jìn)行時-頻分析時，在時-頻圖上的顯示結(jié)果卻由于信號太復(fù)雜而不易于獲得好的分析結(jié)果。而如果要得到信號的特征信息，也不需要分析所有尺度下的小波變換。因此，我們常用的方法是只將信號在某些特殊尺度下展開，然后再分析，這相對而言是一種簡單有效的分析方法。4．2提取信號奇異性部分特征奇異性信號是指信號本身或它的某階導(dǎo)數(shù)在某一時刻存在突變的信號，該突變點(diǎn)被稱為奇異點(diǎn)。在許多實(shí)際應(yīng)用中信號的奇異性是值得注意的信號局部范圍的特征。與穩(wěn)定信號相比，奇異性信號往往攜帶了更多的重要信息，它是信號的重要特征之一。在機(jī)械故障診斷中，信號的突變點(diǎn)往往反映了由故障引起的撞擊、振蕩、轉(zhuǎn)速的突變或結(jié)構(gòu)的變形和斷裂。因此對奇異性信號的監(jiān)測具有特別重要的意義。奇異性檢測就是將信號中的奇異點(diǎn)識別出來并判斷其奇異性程度。長期以來，傅立葉變換是研究函數(shù)奇異性的主要工具，其主要是通過研究函數(shù)在傅立葉變換域的衰減以推斷函數(shù)是否具有奇異性及奇異性的大小，或是通過對照正常信號和含奇異信號的頻率譜來檢測信號的奇異性。由于傅立葉變換缺乏空間局限性，它時對信號整個時域內(nèi)的積分，因此它不含有任何時域內(nèi)的信息，它只能確定一個函數(shù)奇異性的整體性質(zhì)，難以確定奇異點(diǎn)在空間的位置及分布情況。相比之下，小波變換具有良好的空間局部化性質(zhì)，因此。利用小波變換來分析信號的奇異性、奇異性的位置、奇異性的大小是比較有效的。通常情況下，信號的奇異性可分為兩種：一種是信號在某一時刻內(nèi)，其幅值發(fā)生突變而引起信號的非連續(xù)，幅值的突變處是第一種類型的間斷點(diǎn)；另一種是信號外觀上很光滑，幅值沒有突變，但是信號的一階導(dǎo)數(shù)（微分）有突變點(diǎn)，即不連續(xù)處，稱為第二類型間斷點(diǎn)。通常，我們用李普西茲指數(shù)（Lipschitz）來描述函數(shù)的局部奇異性。4．2．1信號分析應(yīng)用1應(yīng)用小波變換確定信號突變點(diǎn)發(fā)生的時刻圖4-1為原始信號S,信號由兩個正弦波組成。圖4-2是信號S經(jīng)過傅立葉變換后僅得到整個頻域的頻率分布，不含有任何時域的信息，它無法判斷頻率發(fā)生變化的位置。圖4-3和圖4-4是經(jīng)過db1兩層分解得到的，由小波分解得到的高頻部分D1、D2將信號的不連續(xù)點(diǎn)顯示的相當(dāng)明顯，因?yàn)樾盘柕臄嗔巡糠职氖歉哳l部分。這里需要說明的是，我們只想辨別出信號的不連續(xù)點(diǎn)及信號頻率在什么時候發(fā)生突變，因此我們選用db1小波和db5小波效果最好，且小波分解的層數(shù)只需2層即可。而且從小波分解的細(xì)節(jié)部分我們可以清楚的看到在t≈500左右時信號的頻率發(fā)生了突變。這個例子有力的說明了小波分析比傳統(tǒng)的傅立葉變換有更大的優(yōu)越性。這種含有頻率突變信號用傅立葉變換，在頻域中是無法檢測出信號在時域中的突變點(diǎn)的，而在小波分析中，這種突變點(diǎn)的特征就表現(xiàn)的相當(dāng)明顯。應(yīng)用2用小波分析方法檢測信號發(fā)生故障的時間區(qū)間如圖4-6所示，原始信號S為某頻率時變信號。在某一時刻，突然疊加一個高頻信號，經(jīng)過一段時間后又恢復(fù)正常，要求監(jiān)測高頻開始的時刻﹑系統(tǒng)恢復(fù)的時刻及其頻譜分布。這種情況有點(diǎn)類似于齒輪箱啟動時的故障，比如碰磨故障。由于此時信號非同期，用FFT已經(jīng)無法表示，即使用FFT表示出來意義也不大。而用小波分析，可準(zhǔn)確的提取其故障信號特征。從圖4-8﹑4-9小波的第一層和第二層分解的細(xì)節(jié)部分就可以清晰的看到高頻信號出現(xiàn)的時刻（約在t＝500左右）﹑系統(tǒng)恢復(fù)正常的時刻（約在t＝1000左右）。應(yīng)用3用小波分析方法監(jiān)測微弱幅值變化的信號原始信號S如圖4-12所示。信號在某一時刻振幅突然增加（幅值的突然增加在很多時候往往代表故障發(fā)生的開始），因此監(jiān)測幅值變化點(diǎn)的位置在判斷信號的故障診斷或奇異性檢測中有很重要的意義。但如果幅值增加很微弱，不容易直觀看出，即故障發(fā)生和確切位置并不能從原始信號S中直接得到。在將信號經(jīng)過三級db1小波分解，從圖4-14﹑圖4-15中小波分解的第一層D1﹑第二層細(xì)節(jié)分解D2中可以成功的確定該奇異點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)不連續(xù)）的位置：約在t=320和t=600處左右。而且其第一層小波分解細(xì)節(jié)部分將信號的奇異點(diǎn)顯示的相當(dāng)明顯。由此可以看出，利用小波變換來檢測信號中不連續(xù)點(diǎn)的定位非常精確。且一般而言，利用小波分解的第一層和第二層細(xì)節(jié)部分就可以實(shí)現(xiàn)對信號的不連續(xù)點(diǎn)的判斷。應(yīng)用4對實(shí)際的齒輪振動信號進(jìn)行分析這一應(yīng)用所分析的實(shí)際齒輪振動信號是在西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院中心實(shí)驗(yàn)室齒輪動態(tài)性能實(shí)驗(yàn)臺上采集的數(shù)據(jù)。該實(shí)驗(yàn)參數(shù)如下：轉(zhuǎn)速：500r/min負(fù)載：0N阻尼：0剛度：壓緊狀態(tài)間隙：0.02mm采樣頻率：5120Hz電壓范圍：－5至＋5V測試對象：小齒輪的振動加速度以下是利用小波變換對該信號進(jìn)行分解的結(jié)果：圖4-16為實(shí)際齒輪振動信號，圖4-17為齒輪振動信號及其FFT變換。圖4-18到圖4-23分別為該信號利用db5小波分析的第一層到第六層的小波分解到細(xì)節(jié)部分；圖4-24為該信號的第六層小波分解粗略部分。從該信號的小波分解的第一﹑二層小波分解的細(xì)節(jié)部分D1和D2部分可以明顯看出該信號隨時間其頻率的變換規(guī)律﹑及其各頻率變化的開始及結(jié)束時刻和各頻率段其幅值是否有相應(yīng)變化，從圖上均可對齒輪實(shí)現(xiàn)動態(tài)監(jiān)測：這是利用FFT變換無法做到的。而結(jié)合該信號的第三、四、五、六層小波分解的細(xì)節(jié)部分D3、D4、D5、D6和第六層小波分解的粗略部分A6，我們又可清晰的觀察信號的局部信號逐漸放大的特征。這正體現(xiàn)了小波變換在信號處理上的“顯微鏡”優(yōu)勢。由于當(dāng)前分析的信號是在齒輪正常傳動過程中采集的，圖中看出，其振動信號顯得有點(diǎn)“雜亂”，這主要是來自于齒輪系統(tǒng)本身的復(fù)雜性和噪聲干擾，前面我們重點(diǎn)探討了如何檢測信號中的奇異性大小。而在實(shí)際信號中，有用信號絕大多數(shù)是低頻信號，在小波分析中，它對應(yīng)于小波分解中的粗略部分。因此下面我們重點(diǎn)對上面分析所得到的小波分解的第六層的細(xì)節(jié)部分A6再進(jìn)行小波分析。圖4-25表示A6的微分圖；圖4-26、圖4-27分別表示細(xì)節(jié)部分A6的第一、二層小波分解細(xì)節(jié)部分D1A6和D2A6。顯然，這更明顯的反映出了原信號中的低頻信號彈A6隨時間其頻率的變換規(guī)律。而A6的小波分解的粗略部分A2A6（圖4-28）基本上已經(jīng)跟A6的形狀相差無幾。這也說明，在利用小波多尺度分析來處理信號時，小波分解的層數(shù)太多了也不具有太大意義。在分析A6時，采用的為db1小波。4.3提取信號中某一頻率區(qū)間的信號在傅立葉分析中，我們可以對信號進(jìn)行FFT頻譜分析。事實(shí)上我們利用小波分析也能實(shí)現(xiàn)對信號的頻譜劃分并根據(jù)需要提取我們所需頻率更詳細(xì)的特征。如圖4-29所示，原始信號S為實(shí)驗(yàn)所采集到的振動信號，實(shí)驗(yàn)參數(shù)同前（4.2.2應(yīng)用4）;a1~a5分別為利用db3小波進(jìn)行小波分解的第層到第五層的粗略部分、d1~d5分別為第一層到第五層小波分解的細(xì)節(jié)部分。在顯示的分解結(jié)果中，可以看到，低頻的第五層a5將原齒輪在振動信號的最低頻率清晰的分離出來了。在小波分解中，若將信號的最高頻率成分看作是1，則各層小波分解便是帶通或低通濾波器，且各層所占的具體頻帶為：由信號頻率的組成部分及小波分解下各層頻率的分布可知，高頻部分定位于d1層，實(shí)際上上亦如此。而中間層頻率部分，比如a3層的信號，我們則需要結(jié)合a4、d4來看，因?yàn)檫@部分信號是由它們共同表達(dá)的，a4層有一部分信號被a3層減去了。而在得知信號的頻率區(qū)間大概分布之后，我們還可以對其中任意一部分進(jìn)行放大觀察以取得更細(xì)微的特征。例如我們對高頻部分d1進(jìn)行放大，如圖4-30所示。4．4進(jìn)行信號中某一頻率區(qū)間的抑制或衰減應(yīng)用小波分析對信號某一頻率區(qū)間進(jìn)行抑制或衰減是小波分析實(shí)際應(yīng)用中的一個重要方面。抑制信號中某些成分的一種方法是用K次多項(xiàng)式對信號進(jìn)行逼近；另一種方法是將小波是將小波分解系數(shù)中的某些系數(shù)C（a，b）強(qiáng)制性的等于零，再利用修改后的小波分解系數(shù)對信號進(jìn)行重構(gòu)，從而達(dá)到對信號某一頻率區(qū)間抑制或衰減的效果。4．5預(yù)測信號的發(fā)展趨勢信號中低頻部分代表著信號的發(fā)展趨勢，而在小波分析中，則對應(yīng)著最大尺度下小波變換的低頻系數(shù)。隨著尺度的增加，時間分辨率的降低，對信號的這種發(fā)展趨勢會表現(xiàn)的更明顯。同樣也可以這樣理解，尺度分解中的低頻部分隨著層次的增加，它含的的高頻部分會隨之減少。當(dāng)分解到下一層次時，就有更多高頻率的信息被去除，則對于最大尺度下的低頻部分就是信號的發(fā)展趨勢。4．6檢測信號的自相似直觀上來說，小波分解可通過計算信號和小波之間的“自相似指數(shù)”來得到。如果自相似指數(shù)很大，則信號的自相似程度就很大，反之則很小。這種指數(shù)就是小波系數(shù)。如果一個信號在一個尺度上都與它自己相似，則“自相似指數(shù)”或小波系數(shù)也在不同程度上很相似。4．7

小波降噪與分析下面我們來研究對實(shí)際齒輪振動信號進(jìn)行消噪濾波分析。如圖所示4-31為原始齒輪振動信號，圖4-32~圖4-36分別為利用FFT變換和db1小波三層分解強(qiáng)制消噪、默認(rèn)閥值消噪等各種方法的效果。由分析結(jié)果可知，對于本文所分析物實(shí)際齒輪振動信號而言，采用小波分析默認(rèn)閥值方法消噪（圖4-36）效果最好。強(qiáng)制消噪方法（圖4-33）處理后的信號較為光滑，但它極有可能失去信號的有用成分。而默認(rèn)閥值和給定閥值在消噪處理中更具有實(shí)際應(yīng)用意義。4．8本章小節(jié)本文通過實(shí)例分析，說明小波變換在齒輪振動信號分析中的主要應(yīng)用．文中首先從提取頻率時變信號的特征入手，分析為何要對齒輪振動信號采用小波分析而不是傅立葉分析或時－頻圖分析以及應(yīng)用小波理論來分析齒輪振動信號的意義．信號奇異部分監(jiān)測、信號降噪與濾波等是齒輪振動信號分析中經(jīng)常用到的，利用小波分析可以得到有效解決。且通過實(shí)例分析結(jié)果還可以說明小波變換在分析非平穩(wěn)信號時的獨(dú)到優(yōu)點(diǎn)。此外，針對齒輪振動信號本身的特點(diǎn)，本章還介紹了提取信號中某一頻率區(qū)間的信號、對信號中某頻率區(qū)間信號、對信號中某些頻率區(qū)間的信號進(jìn)行抑制或衰減、預(yù)測信號的發(fā)展趨勢、分析信號的自相似等內(nèi)容，為今后齒輪振動信號分析研究提供有效的分析手段。

第五章結(jié)論及建議本文在理論和實(shí)踐上比較系統(tǒng)的研究了小波分析在齒輪振動信號分析中的應(yīng)用。重點(diǎn)研究了齒輪振動機(jī)理、小波變換理論的工程意義，從而揭示出小波變換應(yīng)用于齒輪振動信號分析中的理論基礎(chǔ)。在研究過程中，通過對從實(shí)驗(yàn)臺采集到的實(shí)際齒輪振動信號進(jìn)行分析來驗(yàn)證理論，收到了良好的效果。具體的，本文主要完成了以下幾個任務(wù)：⑴通過對齒輪振動理論的全面分析與研究，得出結(jié)論：對齒輪振動信號燈進(jìn)行有效的時頻分析是分