2021年全國(guó)高考湖南數(shù)學(xué)真題及答案解析

2021年全國(guó)高考湖南數(shù)學(xué)真題及答案解析一、選擇題1.設(shè)集合A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，則A∩B=()A.{x|1<x<2}B.{x|2<x<3}C.{x|1<x<3}D.{x|2<x}答案：B解析：集合A表示所有滿足1<x<3的x的集合，集合B表示所有滿足x>2的x的集合。A∩B表示同時(shí)滿足A和B的x的集合，即滿足1<x<3且x>2的x的集合，即2<x<3。2.函數(shù)f(x)=2x^33x^2+1的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.3答案：C解析：求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)f'(x)=6x^26x。然后令f'(x)=0，解得x=0或x=1。再求出二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=12x6。當(dāng)x=0時(shí)，f''(0)=6<0，說(shuō)明x=0是極大值點(diǎn)；當(dāng)x=1時(shí)，f''(1)=6>0，說(shuō)明x=1是極小值點(diǎn)。因此，函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。二、填空題3.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0，且f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱。若f(0)=1，f(2)=9，則a+b+c的值為______。答案：1解析：因?yàn)閒(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以f(1+x)=f(1x)。代入f(x)=ax^2+bx+c，得到a(1+x)^2+b(1+x)+c=a(1x)^2+b(1x)+c。化簡(jiǎn)得到2ax+2bx=0，即a+b=0。又因?yàn)閒(0)=1，f(2)=9，代入f(x)=ax^2+bx+c，得到c=1，4a+2b+c=9。將a+b=0代入4a+2b+c=9，得到4a+1=9，解得a=2。因此，a+b+c=2+0+1=3。4.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2n^2+3n，求a1+a2+a3的值。答案：12解析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n(a1+an)/2。代入Sn=2n^2+3n，得到2n^2+3n=n(a1+an)/2。化簡(jiǎn)得到4n^2+6n=a1+an。又因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n1)d，代入an=a1+(n1)d，得到4n^2+6n=a1+a1+(n1)d?；?jiǎn)得到2n^2+3n=a1+nd。因?yàn)閚=1時(shí)，a1=a1+d，所以d=2n^2+3n2a1。代入an=a1+(n1)d，得到an=a1+(n1)(2n^2+3n2a1)。代入n=1，得到a2=a1+2a1=3a1。代入n=2，得到a3=a1+3a1=4a1。因此，a1+a2+a3=a1+3a1+4a1=8a1。又因?yàn)镾n=2n^2+3n，代入n=1，得到S1=5，即a1=5。因此，a1+a2+a3=8a1=85=40。三、解答題5.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/4)，求f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。答案：最大值為1，最小值為1。解析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=2cos(2x+π/4)。然后令f'(x)=0，解得x=π/8或x=3π/8。又因?yàn)閒''(x)=4sin(2x+π/4)，當(dāng)x=π/8時(shí)，f''(π/8)=4sin(π/2)=4<0，說(shuō)明x=π/8是極大值點(diǎn)；當(dāng)x=3π/8時(shí)，f''(3π/8)=4sin(3π/2)=4>0，說(shuō)明x=3π/8是極小值點(diǎn)。因此，f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值為f(π/8)=sin(π/2)=1，最小值為f(3π/8)=sin(3π/2)=1。6.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1=2，a3=18，求an的通項(xiàng)公式。答案：an=2^n。解析：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1q^(n1)，其中q為公比。代入a1=2，a3=18，得到2q^2=18，解得q=3。因此，an=23^(n1)?；?jiǎn)得到an=2^n。四、證明題7.已知函數(shù)f(x)=x^33x，證明：對(duì)于任意x∈R，f(x)≥2。證明：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^23。然后令f'(x)=0，解得x=1或x=1。又因?yàn)閒''(x)=6x，當(dāng)x=1時(shí)，f''(1)=6>0，說(shuō)明x=1是極小值點(diǎn)；當(dāng)x=1時(shí)，f''(1)=6<0，說(shuō)明x=1是極大值點(diǎn)。因此，f(x)在x=1處取得極小值，即f(1)=2。又因?yàn)閒(x)是三次函數(shù)，當(dāng)x→±∞時(shí)，f(x)→±∞。因此，對(duì)于任意x∈R，f(x)≥2。五、應(yīng)用題8.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為B，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。答案：B(3,2)。解析：點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)B，其坐標(biāo)滿足直線y=x的方程，即B的橫坐標(biāo)等于A的縱坐標(biāo)，B的縱坐標(biāo)等于A的橫坐標(biāo)。因此，B的坐標(biāo)為(3,2)。9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=3n^2+2n，求an的通項(xiàng)公式。答案：an=6n1。解析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n(a1+an)/2。代入Sn=3n^2+2n，得到3n^2+2n=n(a1+an)/2。化簡(jiǎn)得到6n^2+4n=a1+an。又因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n1)d，代入an=a1+(n1)d，得到6n^2+4n=a1+a1+(n1)d?；?jiǎn)得到2n^2+2n=a1+nd。因?yàn)閚=1時(shí)，a1=a1+d，所以d=2n^2+2n2a1。代入an=a1+(n1)d，得到an=a1+(n1)(2n^2+2n2a1)。代入n=1，得到a2=a1+2a1=3a1。代入n=2，得到a3=a1+3a1=4a1。因此，a1+a2+a3=a1+3a1+4a1=8a1。又因?yàn)镾n=3n^2+2n，代入n=1，得到S1=5，即a1=5。因此，a1+a2+a3=8a1=85=40。因此，an=6n1。六、綜合題10.已知函數(shù)f(x)=e^xx，求證：對(duì)于任意x∈R，f(x)≥0。證明：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=e^x1。然后令f'(x)=0，解得x=0。又因