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PAGEPAGE8第2章雙譜估計(jì)2.1雙譜密度函數(shù)性質(zhì)·三階累積量性質(zhì)設(shè)是三階零均值平穩(wěn)過(guò)程,則(2.1)三階累積量具有如下對(duì)稱性(2.2)[第1章累積量性質(zhì)(2)表明,階累積量具有種對(duì)稱形式。所以3階累積量有6種對(duì)稱形式]1°證明:∵設(shè),即則原式2°證明:∵令,即則原式圖2.1三階累積量的對(duì)稱區(qū)·雙譜定義(2.3)存在條件·雙譜性質(zhì)1°其中幅度,相位,雙譜通常是復(fù)數(shù)。2°是以為周期的雙周期函數(shù)3°具有如下對(duì)稱性(2.4)證明:1°設(shè):,2°將雙譜的定義區(qū)域分成12個(gè)扇形區(qū),如圖2.2所示。于是,由雙譜性質(zhì)3知,只要知道三角區(qū)內(nèi)的雙譜,就能夠完全描述所有的雙譜。在實(shí)際應(yīng)用中,通常是計(jì)算該三角區(qū)的雙譜,然后使用對(duì)稱關(guān)系(2.4)求出其他扇形區(qū)內(nèi)的雙譜。Pflug等指出,一實(shí)信號(hào)的三譜具有96個(gè)對(duì)稱去!圖2.2雙譜的對(duì)稱區(qū)2.2雙譜密度函數(shù)的估計(jì)設(shè)是零均值三階平穩(wěn)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn),則的三階累積量估計(jì)為(2.5)其中:,上下限長(zhǎng)度受采樣區(qū)間限制(2.6)此估計(jì)不是好估計(jì),方差很大,是一個(gè)漸近無(wú)偏估計(jì),不是一致估計(jì)。同基于相關(guān)函數(shù)的功率譜估計(jì)要使用窗函數(shù)一樣,為了得到更好的高階譜估計(jì),也有必要使用維窗函數(shù)。二維窗函數(shù)的使用對(duì)于雙譜估計(jì)的頻率分辨率的提高起著關(guān)鍵的作用。若加矩形窗,容易漏泄?!ざS譜窗函數(shù)發(fā)生器是一有界非負(fù)函數(shù),必須滿足以下條件:1°體積為12°能量有限或23°和具有相同對(duì)稱性(12個(gè)區(qū)間對(duì)稱)。時(shí)域窗(傅里葉反變換)(2.7)應(yīng)與具有相同的對(duì)稱性(6個(gè)區(qū)間對(duì)稱)?!るp譜估計(jì)表達(dá)式(加窗平滑后的估計(jì)值):頻域卷積(2.8)其中:值選擇,?定義:(2.9)(2.10)均方誤差:(2.11)偏差:(2.12)?1°2°或2?BrillingerandRosenblatt偏差公式若且為則偏差為(2.13)其中(2.14)?方差公式(2.15)其中:?均方誤差公式(2.16)2.3最佳窗設(shè)集合定義在(橢圓)域上。屬于類窗。?最佳定理設(shè)是任一個(gè)屬于類非負(fù)二維窗,且滿足(2.17)則(窗口能量最小)(2.18)所謂最佳,指達(dá)到最小,由前述與成正比,而最佳使最小,則最小。證明:設(shè)(2.19)上式積分等式左方和右方第1項(xiàng)為1,所以(2.20)把(2.19)式代入(2.17)式,得(2.21)(2.19)式兩邊平方,再取積分要證需證于是:而則?時(shí)域最佳窗(2.22)其中2.4乘積窗?乘積窗(由一維窗構(gòu)造二維窗)(2.23)為一維延遲窗,屬于類窗。?有效指數(shù)?最小均方誤差簡(jiǎn)化有效指數(shù) 越小,均方誤差越小,性能最好。DainicallTukey-HammingParzenBartlett-Priestly3.294.54121.970.50.360.170.841.651.632.041.65優(yōu)化1.031.431.47?截?cái)帱c(diǎn)選擇大好小好1°公式法:有效指數(shù)公式計(jì)算。2°經(jīng)驗(yàn)法:1)值小于抽樣點(diǎn)數(shù)的平方根。2)雙譜估計(jì)值一般小于功率譜估計(jì)值。例:高斯白噪聲過(guò)程,相互獨(dú)立且通過(guò)系統(tǒng)(非線性)產(chǎn)生時(shí)間序列(1)估計(jì)功率譜取用Parzen窗,圖2.3例題的功率譜曲線?功率譜不
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