2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明3.1.2類比推理學(xué)案含解析北師大版選修1-2

PAGE1．2類比推理授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第18頁(yè)[自主梳理]一、類比推理的含義由于兩類不同對(duì)象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，依據(jù)一類對(duì)象的其他特征，推斷________________________，我們把這種推理過(guò)程稱為類比推理，類比推理是________之間的推理．利用類比推理得出的結(jié)論________．二、合情推理的含義________和________是最常見的合情推理，合情推理是依據(jù)試驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果、個(gè)人的閱歷和直覺(jué)，已有的事實(shí)和正確的結(jié)論，如______、________、________等，推想出某些結(jié)果的推理方式．三、類比推理的特點(diǎn)1．類比是從人們已經(jīng)駕馭了的事物的屬性，推想正在探討中的事物的屬性，它以舊有相識(shí)作基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果；2．類比是從一種事物的特別屬性推想另一種事物的特別屬性；3．類比的結(jié)果是揣測(cè)性的，不肯定牢靠，但它卻具有發(fā)覺(jué)的功能．[雙基自測(cè)]1．下面運(yùn)用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類推出“(a＋b)n＝an＋bn”2．假如對(duì)象A和對(duì)象B都具有相同的屬性P、Q、R等，此外已知對(duì)象A還有一個(gè)屬性S，而對(duì)象B還有一個(gè)未知的屬性x，由此類比推理，可以得出下列哪個(gè)結(jié)論可能成立？()A．x就是P B．x就是QC．x就是R D．x就是S3．立體幾何中與平面幾何中的三角形做類比對(duì)象的是()A．正方體 B．三棱錐C．三棱柱 D．三棱臺(tái)[自主梳理]一、另一類對(duì)象也具有類似的其他特征兩類事物特征不肯定正確二、歸納推理類比推理定義公理定理[雙基自測(cè)]1．C由實(shí)數(shù)運(yùn)算積的學(xué)問(wèn)易得C為正確的．2．D各自另外的屬性S只能類比x.3．B由平面幾何與立體幾何的類比可知，立體幾何中的三棱錐是三角形的類比對(duì)象．故選B.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第18頁(yè)探究一數(shù)列中的類比推理[例1]設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．[解析]等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時(shí)，其中和類比于積，減法類比于除法，于是可得類比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．[答案]eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)等差數(shù)列與等比數(shù)列之間多有類比，如通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，“和”對(duì)應(yīng)“積”，因而“減法”對(duì)應(yīng)“除法”．1．已知等差數(shù)列{an}中，a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，那么等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有等式____________成立．解析：這是一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列類比的題目，由于兩者的參照物不同，因此要先進(jìn)行分析，從兩者的本質(zhì)即數(shù)列的結(jié)構(gòu)找到突破口，如下表所示：特征等差數(shù)列等比數(shù)列運(yùn)算符號(hào)和(差)積(商)通項(xiàng)anbn公差(比)dq前n項(xiàng)和SnTn特別項(xiàng)01等式結(jié)構(gòu)左邊n項(xiàng)，右邊19－n項(xiàng)左邊n項(xiàng)，右邊17－n項(xiàng)符號(hào)轉(zhuǎn)換加法乘法減法除法關(guān)鍵詞a10＝0b9＝1由題設(shè)，若ak＝0，那么有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2k－1－n(n<2k－1，n，k∈N＋)成立．由等差數(shù)列與等比數(shù)列的加乘轉(zhuǎn)換性質(zhì)，我們可以類比得出這樣的結(jié)論：若bk＝1，則有b1b2·…·bn＝b1b2·…·b2k－1－n(n<2k－1，n，k∈N＋)成立．結(jié)合本題k＝9，得2k－1－n＝17－n，故本題應(yīng)填：b1b2·…·bn＝b1b2·…·b17－n(n<17，n∈N＋)．答案：b1b2·…·bn＝b1b2·…·b17－n(n<17，n∈N＋)探究二圓錐曲線間的類比推理[例2]已知圓的方程是x2＋y2＝r2，則經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2，類比上述性質(zhì)，可以得到橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1類似的性質(zhì)為________．[解析]圓的性質(zhì)中，經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程就是將圓的方程中的一個(gè)x與y分別用M(x0，y0)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)替換．故可得橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1類似的性質(zhì)為：過(guò)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為：eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.[答案]過(guò)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為：eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1運(yùn)用類比推理，需留意比較兩個(gè)對(duì)象的相像之處和不同之處，找到可以類比的兩個(gè)量，然后加以推想．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同時(shí)為0)表示過(guò)原點(diǎn)的直線．類比以上結(jié)論有：在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同時(shí)為0)表示________．解析：因?yàn)槿淮畏匠藺x＋By＋Cz＝0中不含常數(shù)項(xiàng)，所以它對(duì)應(yīng)的圖形肯定過(guò)原點(diǎn)．用類比的方法可知Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同時(shí)為0)表示過(guò)原點(diǎn)的平面．答案：過(guò)原點(diǎn)的平面探究三幾何圖形的類比[例3]找出圓與球的相像性質(zhì)，并用圓的下列性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì)．(1)圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦；(2)與圓心距離相等的兩條弦長(zhǎng)相等；(3)圓的周長(zhǎng)C＝πd(d是直徑)；(4)圓的面積S＝πr2.[解析]圓與球有下列相像的性質(zhì)：(1)圓是平面上到肯定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的全部點(diǎn)構(gòu)成的集合；球面是空間中到肯定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的全部點(diǎn)構(gòu)成的集合．(2)圓是平面內(nèi)封閉的曲線所圍成的對(duì)稱圖形；球是空間中封閉的曲面所圍成的對(duì)稱圖形．通過(guò)與圓的有關(guān)性質(zhì)類比，可以推想球的有關(guān)性質(zhì).圓球圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面(不經(jīng)過(guò)球心的小圓面)圓心的連線垂直于截面與圓心距離相等的兩條弦長(zhǎng)相等與球心距離相等的兩個(gè)截面的面積相等圓的周長(zhǎng)C＝πd球的表面積S＝πd2圓的面積S＝πr2球的體積V＝eq\f(4,3)πr3幾何圖形的相關(guān)類比點(diǎn)：解決此類問(wèn)題，從幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面入手，將平面幾何的相關(guān)結(jié)論類比到立體幾何中，相關(guān)類比點(diǎn)如下：平面圖形點(diǎn)線邊長(zhǎng)面積線線角三角形平行四邊形圓空間圖形線面面積體積二面角四面體平行六面體球3．如圖(1)有面積關(guān)系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，則圖(2)有體積關(guān)系：eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝________.解析：把平面中三角形的學(xué)問(wèn)類比到空間三棱錐中，得eq\f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).答案：eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)巧用類比實(shí)現(xiàn)學(xué)問(wèn)遷移[典例](本題滿分12分)類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想并證明．[解析]如圖(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得c2＝a2＋b2，3分類比直角三角形的勾股定理可知：如圖(2)，在四面體P-ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則Seq\o\al(2,△ABC)＝Seq\o\al(2,△PAB)＋Seq\o\al(2,PBC)＋Seq\o\al(2,△PAC).6分證明過(guò)程如下：設(shè)PA＝a，PB＝b，PC＝c，則S△PAB＝eq\f(1,2)ab，S△PAC＝eq\f(1,2)ac，S△PBC＝eq\f(1,2)bc，故ab＝2S△PAB，ac＝2S△PAC，bc＝2S△PBC，8分S△ABC＝eq\f(1,2)eq\r(b2＋c2)·eq\r(\f(b2c2,b2＋c2)＋a2)＝eq\f(1,2)eq\r(b2c2＋a2b2＋c2a2)＝eq\f(1,2)eq\r(4S\o\al(2,△PBC)＋4S\o\al(2,△PAB)＋4S\o\al(2,△PAC))＝eq\r(S\o\al(2,△PBC)＋S\o\al(2,△PAB)＋S\o\al(2,△PAC)).故Seq\o\al(2,△ABC)＝Seq\o\al(2,△PAB)＋Seq\o\al(2,△PBC)＋Seq\o\al(2,△PAC).12分[規(guī)范與