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山東省濟(jì)南市歷城區(qū)濟(jì)鋼高級(jí)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),,則與的等比中項(xiàng)為()A. B.C. D.2.已知條件,條件表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件3.函數(shù)的最小值是()A.2 B.4C.5 D.64.某學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生,對(duì)他們每周使用手機(jī)的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下的頻率分布直方圖.則下列說(shuō)法:①;②若抽取100人,則平均用時(shí)13.75小時(shí);③若從每周使用時(shí)間在,,三組內(nèi)的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談,則應(yīng)從使用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.其中正確的序號(hào)是()A.①② B.①③C.②③ D.①②③5.命題“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是()A.?x∈R,|x|+x2<0 B.?x∈R,|x|+x2≤0C.?x0∈R,|x0|+<0 D.?x0∈R,|x0|+≥06.下列通項(xiàng)公式中,對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是()A B.C. D.7.傾斜角為45°,在y軸上的截距為-1的直線方程是()A.x-y+1=0 B.x-y-1=0C.x+y-1=0 D.x+y+1=08.橢圓上的點(diǎn)P到直線x+2y-9=0的最短距離為()A. B.C. D.9.已知橢圓:的離心率為,則實(shí)數(shù)()A. B.C. D.10.已知命題,命題,,則下列命題中為真命題的是A. B.C. D.11.雙曲線(,)的一條漸近線的傾斜角為,則離心率為()A. B.C.2 D.412.有下列四個(gè)命題,其中真命題是()A., B.,,C.,, D.,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.等差數(shù)列的公差,是其前n項(xiàng)和,給出下列命題:若,且,則和都是中的最大項(xiàng);給定n,對(duì)于一些,都有;存在使和同號(hào);.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)__________.14.若和或都是假命題,則的范圍是__________15.已知向量、滿足,,且,則與的夾角為_(kāi)__________.16.如圖,在三棱錐P–ABC的平面展開(kāi)圖中,AC=1,,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos∠FCB=______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓F:經(jīng)過(guò)點(diǎn)且離心率為,直線和是分別過(guò)橢圓F的左、右焦點(diǎn)的兩條動(dòng)直線,它們與橢圓分別相交于點(diǎn)A、B和C、D,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AB和直線CD相交于M.記直線的斜率分別為,且(1)求橢圓F標(biāo)準(zhǔn)方程(2)是否存在定點(diǎn)P,Q,使得為定值.若存在,請(qǐng)求出P、Q的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由18.(12分)已知橢圓的離心率為,橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)若以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),求的值.19.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD=2AD=4,PD⊥CD,PD⊥AD,底面ABCD為正方形,M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點(diǎn)(1)證明:面PAQ//面MNC;(2)求二面角M-NC-D的余弦值20.(12分)已知函數(shù),.(1)若在單調(diào)遞增,求的取值范圍;(2)若,求證:.21.(12分)已知橢圓,四點(diǎn)中,恰有三點(diǎn)在橢圓上(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn),且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn).若直線與直線的斜率之和為,證明:直線過(guò)一定點(diǎn),并求此定點(diǎn)坐標(biāo)22.(10分)已知點(diǎn)是拋物線C:上的點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),且,直線l:與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A,B.(1)求拋物線C的方程;(2)若,求k的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用等比中項(xiàng)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知,與的等比中項(xiàng)為.故選:C.2、A【解析】根據(jù)條件,求得a的范圍,根據(jù)充分、必要條件的定義,即可得答案.【詳解】因?yàn)闂l件表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,所以,解得或,所以條件是條件q:或的充分不必要條件.故選:A3、C【解析】結(jié)合基本不等式求得所求的最小值.【詳解】,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選:C4、B【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出,再求出頻率分布直方圖的平均值,即為抽取100人的平均值的估計(jì)值,再利用分層抽樣可確定出使用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.【詳解】,故①正確;根據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)出平均值為,所以估計(jì)抽取100人的平均用時(shí)13.75小時(shí),②的說(shuō)法太絕對(duì),故②錯(cuò)誤;每周使用時(shí)間在,,三組內(nèi)的學(xué)生的比例為,用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談,則應(yīng)從使用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為,故③正確.故選:B.5、C【解析】利用全稱命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱命題的否定可知,命題“,”的否定是“,”.故選:C.6、C【解析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A,B選項(xiàng)對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞減數(shù)列.對(duì)于C選項(xiàng),,故數(shù)列是遞增數(shù)列.對(duì)于D選項(xiàng),由于.所以數(shù)列不是遞增數(shù)列故選:C.7、B【解析】由題意,,所以,即,故選B8、A【解析】與已知直線平行,與橢圓相切的直線有二條,一條距離最短,一條距離最長(zhǎng),利用相切,求出直線的常數(shù)項(xiàng),再計(jì)算平行線間的距離即可.【詳解】設(shè)與已知直線平行,與橢圓相切的直線為,則所以所以橢圓上點(diǎn)P到直線的最短距離為故選:A9、C【解析】根據(jù)題意,先求得的值,代入離心率公式,即可得答案.【詳解】因?yàn)?,所以所以,解?故選:C10、D【解析】命題是假命題,命題是真命題,根據(jù)復(fù)合命題的真值表可判斷真假.【詳解】因?yàn)?,故命題是假命題,又命題是真命題,故為假,為假,為假,為真命題,故選D.【點(diǎn)睛】復(fù)合命題的真假判斷有如下規(guī)律:(1)或:一真比真,全假才假;(2)且:全真才真,一假比假;(3):真假相反.11、C【解析】根據(jù)雙曲線方程寫(xiě)出漸近線方程,得出,進(jìn)而可求出雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為,又其中一條漸近線的傾斜角為,所以,則,所以該雙曲線離心率為.故選:C.12、B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,令即可驗(yàn)證其不正確;對(duì)于選項(xiàng)C、選項(xiàng)D,令,即可驗(yàn)證其均不正確,進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,令,則,故A錯(cuò);對(duì)于選項(xiàng)B,令,則,顯然成立,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,令,則顯然無(wú)解,故C錯(cuò);對(duì)于選項(xiàng)D,令,則顯然不成立,故D錯(cuò).故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查命題真假的判定,用特殊值法驗(yàn)證即可,屬于??碱}型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】對(duì),根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性和可判斷;對(duì)和,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可直接推導(dǎo);對(duì),利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和可直接推導(dǎo).【詳解】不妨設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為對(duì),,可得:,解得:,即又,則是遞減的,則中的前5項(xiàng)均為正數(shù),所以和都是中的最大項(xiàng),故正確;對(duì),,故有:,故正確;對(duì),,又,則,說(shuō)明不存在使和同號(hào),故錯(cuò)誤;對(duì),有:故并不是恒成立的,故錯(cuò)誤故答案為:14、【解析】先由和或都是假命題,求出x的范圍,取交集即可.【詳解】若為假命題,則有或若或是假命題,則所以的范圍是即的范圍是胡答案:15、##【解析】根據(jù)向量數(shù)量積的計(jì)算公式即可計(jì)算.【詳解】,,.故答案為:﹒16、【解析】在中,利用余弦定理可求得,可得出,利用勾股定理計(jì)算出、,可得出,然后在中利用余弦定理可求得的值.【詳解】,,,由勾股定理得,同理得,,在中,,,,由余弦定理得,,在中,,,,由余弦定理得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形,考查計(jì)算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)存在點(diǎn),使得為定值.【解析】(1)設(shè),,,結(jié)合條件即求;(2)由題可設(shè)直線方程,利用韋達(dá)定理法可得,再結(jié)合條件可得點(diǎn)的軌跡方程為,然后利用橢圓的定義即得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè),,,橢圓方程為:,橢圓過(guò)點(diǎn),,解得t=1,所以橢圓F的方程是【小問(wèn)2詳解】由題可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,當(dāng)直線AB或CD的斜率不存在時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為或,當(dāng)直線AB和CD的斜率都存在時(shí),設(shè)斜率分別為,點(diǎn),直線AB為,聯(lián)立,得則,,同理可得,,因?yàn)?,所以,化?jiǎn)得由題意,知,所以設(shè)點(diǎn),則,所以,化簡(jiǎn)得,當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為或,也滿足此方程所以點(diǎn)在橢圓上,根據(jù)橢圓定義可知,存在定點(diǎn),使得為定值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理法及題設(shè)條件求出點(diǎn)M的軌跡方程,再結(jié)合橢圓的定義,從而問(wèn)題得到解決.18、(1);(2)【解析】(1)由離心率得到,由橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合,得到,進(jìn)而可求出結(jié)果;(2)先由題意,得直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,設(shè),根據(jù)韋達(dá)定理,得到,,再由以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),得到,進(jìn)而可求出結(jié)果.詳解】(1)由題意知,∴,即,又雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合,所以,∴,故橢圓的方程為.(2)解:由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為由得:由得:設(shè),則,,∴因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),所以,.滿足條件故.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程,以及橢圓的應(yīng)用,熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可,解決此類問(wèn)題時(shí),通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理、判別式等求解,屬于??碱}型.19、(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)【解析】(1)由線線平行證明線面平行;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量進(jìn)行求解二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镸,N是DA,PD的中點(diǎn),所以MN//AP,因?yàn)槠矫鍼AQ,平面PAQ,所以MN//平面PAQ因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,且Q為BC中點(diǎn),所以MA//CQ,且MA=CQ,所以四邊形MAQC為平行四邊形,所以CM//AQ,因?yàn)槠矫鍼AQ,平面PAQ,所以MC//平面PAQ,因?yàn)椋悦鍼AQ//面MNC【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镻D⊥CD,PD⊥AD,AD⊥CD故以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè)平面NMC的法向量為,則,令得:,所以,平面NDC的法向量為,則,設(shè)二面角M-NC-D的大小為,顯然為銳角,則20、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)由函數(shù)在上單調(diào)遞增,則在上恒成立,由求解.(2)由(1)的結(jié)論,取,有,即在上恒成立,然后令,有求解.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,所以在上恒成立,則有在上恒成立,即.令函數(shù),,所以時(shí),,在上單調(diào)遞增,所以,所以有,即,因此.(2)由(1)可知當(dāng)時(shí),為增函數(shù),不妨取,則有在上單調(diào)遞增,所以,即有在上恒成立,令,則有,所以,所以,因此.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào),當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí),需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減),求參數(shù)范圍問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問(wèn)題,從而構(gòu)建不等式,要注意“=”是否可以取到21、(1)(2)證明見(jiàn)解析,定點(diǎn)【解析】(1)先判斷出在橢圓上,再代入求橢圓方程;(2)假設(shè)斜率存在,設(shè)出直線,利用斜率之和為,求出之間的關(guān)系,即可求出定點(diǎn),再說(shuō)明斜率不存在時(shí),直線仍過(guò)該點(diǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】由對(duì)稱性同時(shí)在橢圓上或同時(shí)不在橢圓上,從而在橢圓上,因此不在橢圓上,故在橢圓上,將,代入橢圓的方程,解得,所以橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí),令方程為,由得所以得方程為,過(guò)定點(diǎn)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),令方程為,由,即解得此時(shí)直線方程
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