山東省濟南市歷城區(qū)濟鋼高級中學2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

山東省濟南市歷城區(qū)濟鋼高級中學2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，，則與的等比中項為（）A. B.C. D.2．已知條件，條件表示焦點在x軸上的橢圓，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件3．函數(shù)的最小值是（）A.2 B.4C.5 D.64．某學校隨機抽取了部分學生，對他們每周使用手機的時間進行統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說法：①；②若抽取100人，則平均用時13.75小時；③若從每周使用時間在，，三組內的學生中用分層抽樣的方法選取8人進行訪談，則應從使用時間在內的學生中選取的人數(shù)為3.其中正確的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③5．命題“?x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.?x∈R，|x|+x2<0 B.?x∈R，|x|+x2≤0C.?x0∈R，|x0|+<0 D.?x0∈R，|x0|+≥06．下列通項公式中，對應數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）A B.C. D.7．傾斜角為45°，在y軸上的截距為－1的直線方程是()A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝08．橢圓上的點P到直線x+2y-9=0的最短距離為（）A. B.C. D.9．已知橢圓：的離心率為，則實數(shù)（）A. B.C. D.10．已知命題,命題,，則下列命題中為真命題的是A. B.C. D.11．雙曲線（，）的一條漸近線的傾斜角為，則離心率為（）A. B.C.2 D.412．有下列四個命題，其中真命題是（）A.， B.，，C.，， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等差數(shù)列的公差，是其前n項和，給出下列命題：若，且，則和都是中的最大項；給定n，對于一些，都有；存在使和同號；.其中正確命題的序號為___________.14．若和或都是假命題，則的范圍是__________15．已知向量、滿足，，且，則與的夾角為___________.16．如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓F：經過點且離心率為，直線和是分別過橢圓F的左、右焦點的兩條動直線，它們與橢圓分別相交于點A、B和C、D，O為坐標原點，直線AB和直線CD相交于M．記直線的斜率分別為，且（1）求橢圓F標準方程（2）是否存在定點P，Q，使得為定值．若存在，請求出P、Q的坐標，若不存在，請說明理由18．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，過點的直線與橢圓相交于、兩點.(1)求橢圓的方程；(2)若以為直徑的圓過坐標原點，求的值.19．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD為正方形，M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點（1）證明：面PAQ//面MNC；（2）求二面角M-NC-D的余弦值20．（12分）已知函數(shù)，.（1）若在單調遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.21．（12分）已知橢圓，四點中，恰有三點在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）設直線不經過點，且與橢圓相交于不同的兩點．若直線與直線的斜率之和為，證明：直線過一定點，并求此定點坐標22．（10分）已知點是拋物線C：上的點，F(xiàn)為拋物線的焦點，且，直線l：與拋物線C相交于不同的兩點A，B.（1）求拋物線C的方程；（2）若，求k的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用等比中項的定義可求得結果.【詳解】由題意可知，與的等比中項為.故選：C.2、A【解析】根據(jù)條件，求得a的范圍，根據(jù)充分、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】因為條件表示焦點在x軸上的橢圓，所以，解得或，所以條件是條件q：或的充分不必要條件.故選：A3、C【解析】結合基本不等式求得所求的最小值.【詳解】，，當且僅當時等號成立.故選：C4、B【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出，再求出頻率分布直方圖的平均值，即為抽取100人的平均值的估計值，再利用分層抽樣可確定出使用時間在內的學生中選取的人數(shù)為3.【詳解】，故①正確；根據(jù)頻率分布直方圖可估計出平均值為，所以估計抽取100人的平均用時13.75小時，②的說法太絕對，故②錯誤；每周使用時間在，，三組內的學生的比例為，用分層抽樣的方法選取8人進行訪談，則應從使用時間在內的學生中選取的人數(shù)為，故③正確.故選：B.5、C【解析】利用全稱命題的否定可得出結論.【詳解】由全稱命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：C.6、C【解析】根據(jù)數(shù)列單調性的定義逐項判斷即可.【詳解】對于A，B選項對應數(shù)列是遞減數(shù)列．對于C選項，，故數(shù)列是遞增數(shù)列．對于D選項，由于．所以數(shù)列不是遞增數(shù)列故選：C.7、B【解析】由題意，，所以，即，故選B8、A【解析】與已知直線平行，與橢圓相切的直線有二條，一條距離最短，一條距離最長，利用相切，求出直線的常數(shù)項，再計算平行線間的距離即可.【詳解】設與已知直線平行，與橢圓相切的直線為，則所以所以橢圓上點P到直線的最短距離為故選：A9、C【解析】根據(jù)題意，先求得的值，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】因為，所以所以，解得.故選：C10、D【解析】命題是假命題，命題是真命題，根據(jù)復合命題的真值表可判斷真假.【詳解】因為，故命題是假命題，又命題是真命題，故為假，為假，為假，為真命題，故選D.【點睛】復合命題的真假判斷有如下規(guī)律：（1）或：一真比真，全假才假；（2）且：全真才真，一假比假；（3）：真假相反.11、C【解析】根據(jù)雙曲線方程寫出漸近線方程，得出，進而可求出雙曲線的離心率.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，又其中一條漸近線的傾斜角為，所以，則，所以該雙曲線離心率為.故選：C.12、B【解析】對于選項A，令即可驗證其不正確；對于選項C、選項D，令，即可驗證其均不正確，進而可得出結果.【詳解】對于選項A，令，則，故A錯；對于選項B，令，則，顯然成立，故B正確；對于選項C，令，則顯然無解，故C錯；對于選項D，令，則顯然不成立，故D錯.故選B【點睛】本題主要考查命題真假的判定，用特殊值法驗證即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】對，根據(jù)數(shù)列的單調性和可判斷；對和，利用等差數(shù)列的通項公式可直接推導；對，利用等差數(shù)列的前項和可直接推導.【詳解】不妨設等差數(shù)列的首項為對，，可得：，解得：，即又，則是遞減的，則中的前5項均為正數(shù)，所以和都是中的最大項，故正確；對，，故有：，故正確；對，，又，則，說明不存在使和同號，故錯誤；對，有：故并不是恒成立的，故錯誤故答案為：14、【解析】先由和或都是假命題，求出x的范圍，取交集即可.【詳解】若為假命題，則有或若或是假命題，則所以的范圍是即的范圍是胡答案：15、##【解析】根據(jù)向量數(shù)量積的計算公式即可計算.【詳解】，，.故答案為：﹒16、【解析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理計算出、，可得出，然后在中利用余弦定理可求得的值.【詳解】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在點，使得為定值.【解析】（1）設，，，結合條件即求；（2）由題可設直線方程，利用韋達定理法可得，再結合條件可得點的軌跡方程為，然后利用橢圓的定義即得結論.【小問1詳解】設，，，橢圓方程為：，橢圓過點，，解得t=1，所以橢圓F的方程是【小問2詳解】由題可得焦點的坐標分別為，當直線AB或CD的斜率不存在時，點M的坐標為或，當直線AB和CD的斜率都存在時，設斜率分別為，點，直線AB為，聯(lián)立，得則，，同理可得，，因為，所以，化簡得由題意，知，所以設點，則，所以，化簡得，當直線或的斜率不存在時，點M的坐標為或，也滿足此方程所以點在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可知，存在定點，使得為定值【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用韋達定理法及題設條件求出點M的軌跡方程，再結合橢圓的定義，從而問題得到解決.18、(1)；(2)【解析】（1）由離心率得到，由橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，得到，進而可求出結果；（2）先由題意，得直線的斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，設，根據(jù)韋達定理，得到，，再由以為直徑的圓過坐標原點，得到，進而可求出結果.詳解】(1)由題意知，∴，即，又雙曲線的焦點坐標為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，所以，∴，故橢圓的方程為.(2)解：由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為由得：由得：設，則，，∴因為以為直徑的圓過坐標原點，所以，.滿足條件故.【點睛】本題主要考查橢圓的方程，以及橢圓的應用，熟記橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質即可，解決此類問題時，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理、判別式等求解，屬于?？碱}型.19、（1）證明過程見解析（2）【解析】（1）由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量進行求解二面角的余弦值.【小問1詳解】因為M，N是DA，PD的中點，所以MN//AP，因為平面PAQ，平面PAQ，所以MN//平面PAQ因為四邊形ABCD為正方形，且Q為BC中點，所以MA//CQ，且MA=CQ，所以四邊形MAQC為平行四邊形，所以CM//AQ，因為平面PAQ，平面PAQ，所以MC//平面PAQ，因為，所以面PAQ//面MNC【小問2詳解】因為PD⊥CD，PD⊥AD，AD⊥CD故以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，則，，，設平面NMC的法向量為，則，令得：，所以，平面NDC的法向量為，則，設二面角M-NC-D的大小為，顯然為銳角，則20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由函數(shù)在上單調遞增，則在上恒成立，由求解.（2）由（1）的結論，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【詳解】（1）因為函數(shù)在上單調遞增，所以在上恒成立，則有在上恒成立，即.令函數(shù)，，所以時，，在上單調遞增，所以，所以有，即，因此.（2）由（1）可知當時，為增函數(shù)，不妨取，則有在上單調遞增，所以，即有在上恒成立，令，則有，所以，所以，因此.【點睛】方法點睛：(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的關鍵在于準確判定導數(shù)的符號，當f(x)含參數(shù)時，需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論．(2)若可導函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構建不等式，要注意“＝”是否可以取到21、（1）（2）證明見解析，定點【解析】（1）先判斷出在橢圓上，再代入求橢圓方程；（2）假設斜率存在，設出直線，利用斜率之和為，求出之間的關系，即可求出定點，再說明斜率不存在時，直線仍過該點即可.【小問1詳解】由對稱性同時在橢圓上或同時不在橢圓上，從而在橢圓上，因此不在橢圓上，故在橢圓上，將，代入橢圓的方程，解得，所以橢圓的方程為【小問2詳解】當直線斜率存在時，令方程為，由得所以得方程為，過定點當直線斜率不存在時，令方程為，由，即解得此時直線方程