2025屆湖南省安仁一中、資興市立中學高三數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

2025屆湖南省安仁一中、資興市立中學高三數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機變量的分布列是則（）A． B． C． D．2．的展開式中，項的系數(shù)為（）A．－23 B．17 C．20 D．633．已知集合，則=（）A． B． C． D．4．設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i對應(yīng)的點為Z，將向量繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．6．已知，如圖是求的近似值的一個程序框圖，則圖中空白框中應(yīng)填入A． B．C． D．7．設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項和為，已知，，則（）A．9 B．27 C．81 D．8．tan570°=（）A． B．- C． D．9．若非零實數(shù)、滿足，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．10．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B．2 C．4 D．311．設(shè)不等式組，表示的平面區(qū)域為，在區(qū)域內(nèi)任取一點，則點的坐標滿足不等式的概率為A． B．C． D．12．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中的最長棱長為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，四面體的一條棱長為，其余棱長均為1，記四面體的體積為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是____；最大值為____.14．如圖梯形為直角梯形，，圖中陰影部分為曲線與直線圍成的平面圖形，向直角梯形內(nèi)投入一質(zhì)點，質(zhì)點落入陰影部分的概率是_____________15．在的展開式中，的系數(shù)為______用數(shù)字作答16．在直三棱柱內(nèi)有一個與其各面都相切的球O1，同時在三棱柱外有一個外接球.若,，,則球的表面積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左右焦點分別為，焦距為4，且橢圓過點，過點且不平行于坐標軸的直線交橢圓與兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，直線交軸于點.（1）求的周長；（2）求面積的最大值.18．（12分）已知.（1）解關(guān)于x的不等式：；（2）若的最小值為M，且，求證：.19．（12分）某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地，擬將它分割成面積相等的三個區(qū)域，用來種植三種花卉.方案是：先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分（點D，E分別在邊，上）；再取的中點M，建造直道（如圖）.設(shè)，，（單位：百米）.（1）分別求，關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）試確定點D的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值.20．（12分）已知函數(shù)有兩個極值點，.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.21．（12分）的內(nèi)角所對的邊分別是，且，.（1）求；（2）若邊上的中線，求的面積.22．（10分）已知矩陣不存在逆矩陣，且非零特低值對應(yīng)的一個特征向量，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

利用分布列求出，求出期望，再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，得，所以，，因此，.故選：C.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，是基本知識的考查．2、B【解析】

根據(jù)二項式展開式的通項公式，結(jié)合乘法分配律，求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為.則①出，則出，該項為：；②出，則出，該項為：；③出，則出，該項為：；綜上所述：合并后的項的系數(shù)為17.故選：B【點睛】本小題考查二項式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識，考查理解能力，計算能力，分類討論和應(yīng)用意識.3、D【解析】

先求出集合A，B，再求集合B的補集，然后求【詳解】，所以.故選：D【點睛】此題考查的是集合的并集、補集運算，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

由得出，利用集合的包含關(guān)系可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，且，，.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由復(fù)數(shù)z求得點Z的坐標，得到向量的坐標，逆時針旋轉(zhuǎn)，得到向量的坐標，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解：∵復(fù)數(shù)z=i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面中對應(yīng)點Z（0，1），

∴＝(0，1)，將繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，

設(shè)＝(a，b)，，則，即，

又，解得：，∴，對應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.6、C【解析】

由于中正項與負項交替出現(xiàn)，根據(jù)可排除選項A、B；執(zhí)行第一次循環(huán)：，①若圖中空白框中填入，則，②若圖中空白框中填入，則，此時不成立，；執(zhí)行第二次循環(huán)：由①②均可得，③若圖中空白框中填入，則，④若圖中空白框中填入，則，此時不成立，；執(zhí)行第三次循環(huán)：由③可得，符合題意，由④可得，不符合題意，所以圖中空白框中應(yīng)填入，故選C．7、A【解析】

根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項，即得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由，得，解得或.因為.且數(shù)列遞增，所以.又，解得，故.故選：A【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.8、A【解析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡求解即可．【詳解】tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=．故選：A．【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

令，則，，將指數(shù)式化成對數(shù)式得、后，然后取絕對值作差比較可得．【詳解】令，則，，，，，因此，.故選：C.【點睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題．10、A【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出，再由模的定義計算出模．【詳解】．故選：A．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法法則，考查復(fù)數(shù)模的運算，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解析】

畫出不等式組表示的區(qū)域，求出其面積，再得到在區(qū)域內(nèi)的面積，根據(jù)幾何概型的公式，得到答案.【詳解】畫出所表示的區(qū)域，易知，所以的面積為，滿足不等式的點，在區(qū)域內(nèi)是一個以原點為圓心，為半徑的圓面，其面積為，由幾何概型的公式可得其概率為，故選A項.【點睛】本題考查由約束條件畫可行域，求幾何概型，屬于簡單題.12、C【解析】

根據(jù)三視圖，可得該幾何體是一個三棱錐，并且平面SAC平面ABC，，過S作，連接BD，，再求得其它的棱長比較下結(jié)論.【詳解】如圖所示：由三視圖得：該幾何體是一個三棱錐，且平面SAC平面ABC，，過S作，連接BD，則，所以，，，，該幾何體中的最長棱長為.故選：C【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(或?qū)懗?【解析】試題分析：設(shè)，取中點則,因此,所以，因為在單調(diào)遞增，最大值為所以單調(diào)增區(qū)間是，最大值為考點：函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)區(qū)間14、【解析】

聯(lián)立直線與拋物線方程求出交點坐標，再利用定積分求出陰影部分的面積，利用梯形的面積公式求出，最后根據(jù)幾何概型的概率公式計算可得；【詳解】解：聯(lián)立解得或，即，，，，，故答案為：【點睛】本題考查幾何概型的概率公式的應(yīng)用以及利用微積分基本定理求曲邊形的面積，屬于中檔題.15、1【解析】

利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令，求出展開式中的系數(shù)．【詳解】二項展開式的通項為令得的系數(shù)為故答案為1．【點睛】利用二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具．16、【解析】

先求出球O1的半徑，再求出球的半徑，即得球的表面積.【詳解】解：,，,，設(shè)球O1的半徑為，由題得，所以棱柱的側(cè)棱為.由題得棱柱外接球的直徑為，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：【點睛】本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和外接球問題，考查球的表面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）12（2）【解析】

（1）根據(jù)焦距得焦點坐標，結(jié)合橢圓上的點的坐標，根據(jù)定義；（2）求出橢圓的標準方程，設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓，結(jié)合韋達定理表示出面積，即可求解最大值.【詳解】（1）設(shè)橢園的焦距為，則，故.則橢圓過點，由橢圓定義知:，故，因此，的周長；（2）由（1）知:，橢圓方程為:設(shè)，則，，，，，當且僅當在短軸頂點處取等，故面積的最大值為.【點睛】此題考查根據(jù)橢圓的焦點和橢圓上的點的坐標求橢圓的標準方程，根據(jù)直線與橢圓的交點關(guān)系求三角形面積的最值，涉及韋達定理的使用，綜合性強，計算量大.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）分類討論求解絕對值不等式即可；（2）由（1）中所得函數(shù)，求得最小值，再利用均值不等式即可證明.【詳解】（1）當時，等價于，該不等式恒成立，當時，等價于，該不等式解集為，當時，等價于，解得，綜上，或，所以不等式的解集為.（2），易得的最小值為1，即因為，，，所以，，，所以，當且僅當時等號成立.【點睛】本題考查利用分類討論求解絕對值不等式，涉及利用均值不等式證明不等式，屬綜合中檔題.19、（1），.，.（2）當百米時，兩條直道的長度之和取得最小值百米.【解析】

（1）由，可解得.方法一：再在中，利用余弦定理，可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；在和中，利用余弦定理，可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.方法二：在中，可得，則有，化簡整理即得；同理，化簡整理即得.（2）由（1）和基本不等式，計算即得.【詳解】解：（1），是邊長為3的等邊三角形，又，，.由，得.法1：在中，由余弦定理，得.故直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，.在和中，由余弦定理，得①②因為M為的中點，所以.由①②，得，所以，所以.所以，直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，.法2：因為在中，，所以.所以，直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，.在中，因為M為的中點，所以.所以.所以，直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，.（2）由（1）得，兩條直道的長度之和為（當且僅當即時取“”）.故當百米時，兩條直道的長度之和取得最小值百米.【點睛】本題考查了余弦定理和基本不等式，第一問也可以利用三角形中的向量關(guān)系進行求解，屬于中檔題.20、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）先求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)兩個極值點可知有兩個不等實根，構(gòu)造函數(shù)，求得；討論和兩種情況，即可確定零點的情況，即可由零點的情況確定的取值范圍；（2）根據(jù)極值點定義可知，，代入不等式化簡變形后可知只需證明；構(gòu)造函數(shù)，并求得，進而判斷的單調(diào)區(qū)間，由題意可知，并設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，并求得，即可判斷在內(nèi)的單調(diào)性和最值，進而可得，即可由函數(shù)性質(zhì)得，進而由單調(diào)性證明，即證明，從而證明原不等式成立.【詳解】（1）函數(shù)則，因為存在兩個極值點，，所以有兩個不等實根.設(shè)，所以.①當時，，所以在上單調(diào)遞增，至多有一個零點，不符合題意.②當時，令得，0減極小值增所以，即.又因為，，所以在區(qū)間和上各有一個零點，符合題意，綜上，實數(shù)的取值范圍為.（2）證明：由題意知，，所以，.要證明，只需證明，只需證明.因為，，所以.設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).因為，不妨設(shè)，設(shè)，，則，當時，，，所以，所以在上是增函數(shù)，所以，所以，即.因為，所以，所以.因為，，且在上是減函數(shù)，所以，即，所以原命題成立，得證.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點，由導(dǎo)數(shù)證明不等式，構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用，極值點偏移證明不等式成立的應(yīng)用，是高考的常考點和熱點，屬于難題.21、（1），（2）【解析】

（1）先由正弦定理，得到，進而可得，再由，即可得出結(jié)果；（2）先由余弦定理得，，再根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可得，從而