2025屆四川省成都實驗外國語學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2025屆四川省成都實驗外國語學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列通項公式中，對應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）A B.C. D.2．在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°3．劉徽是一個偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，他所提出的割圓術(shù)可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度.割圓術(shù)的第一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積.若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是（）A. B.C. D.4．設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件5．命題：，的否定為（）A.， B.不存在，C.， D.，6．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2022項中有（）個奇數(shù)A.1012 B.1346C.1348 D.13507．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點P是橢圓上的動點，，，則的最小值為（）A. B.C D.8．已知拋物線的焦點為，直線過點與拋物線相交于兩點，且，則直線的斜率為（）A. B.C. D.9．已知，則（）A. B.C. D.10．北京大興國際機(jī)場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個結(jié)論：①正方體在每個頂點的曲率均為；②任意四棱錐總曲率均為；③若某類多面體的頂點數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)滿足，則該類多面體的總曲率是常數(shù).其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③11．已知直線，，點是拋物線上一點，則點到直線和的距離之和的最小值為（）A.2 B.C.3 D.12．設(shè)等差數(shù)列前項和為，若是方程的兩根，則（）A.32 B.30C.28 D.26二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的圖象在點處的切線的方程是______.14．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)軍營所在平面區(qū)域為{(x,y)|x2+y2≤},河岸線所在直線方程為x+2y-4=0.假定將軍從點P(,)處出發(fā),只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營,當(dāng)將軍選擇最短路程時,飲馬點A的縱坐標(biāo)為______.最短總路程為______15．已知雙曲線兩焦點之間的距離為4，則雙曲線的漸近線方程是___________.16．已知向量，，若，則實數(shù)m的值是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點，（1）若過點P作的切線只有一條，求實數(shù)的值及切線方程；（2）過點P作斜率為1的直線l與相交于M，N兩點，當(dāng)面積最大時，求實數(shù)的值18．（12分）已知橢圓）過點A（0，），且與雙曲線有相同的焦點（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上異于A的兩點，且滿足，試判斷直線MN是否過定點，并說明理由19．（12分）數(shù)列中，，且.（1）證明；數(shù)列是等比數(shù)列.（2）若，求數(shù)列的前n項和.20．（12分）已知斜率為的直線與橢圓：交于，兩點（1）若線段的中點為，求的值；（2）若，求證：原點到直線的距離為定值21．（12分）已知點，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點．設(shè)過點的動直線與相交于，兩點（1）求橢圓的方程（2）是否存在直線，使得的面積為？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由22．（10分）已知（1）若函數(shù)在上有極值，求實數(shù)a的取值范圍；（2）已知方程有兩個不等實根，證明：（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義逐項判斷即可.【詳解】對于A，B選項對應(yīng)數(shù)列是遞減數(shù)列．對于C選項，，故數(shù)列是遞增數(shù)列．對于D選項，由于．所以數(shù)列不是遞增數(shù)列故選：C.2、B【解析】以為空間的一個基底，求出空間向量求的夾角即可判斷作答.【詳解】在四面體OABC中，不共面，則，令，依題意，，設(shè)與AC所成角的大小為，則，而，解得，所以與AC所成角的大小為.故選：B3、B【解析】此點取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是正六邊形面積除以圓的面積，分別求出即可.【詳解】如圖，在單位圓中作其內(nèi)接正六邊形，該正六邊形是六個邊長等于半徑的正三角形，其面積，圓的面積為則所求概率.故選：B【點睛】此題考查幾何概率模型求解，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求出正六邊形的面積和圓的面積.4、A【解析】由三角函數(shù)的單調(diào)性直接判斷是否能推出，反過來判斷時，是否能推出.【詳解】當(dāng)時，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性知；當(dāng)時，或.綜上可知“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查判斷充分必要條件，三角函數(shù)性質(zhì)，意在考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.5、D【解析】含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論即可【詳解】解：命題：，的否定為：，故選：D6、C【解析】由斐波那契數(shù)列的前幾項分析該數(shù)列的項的奇偶規(guī)律，由此確定該數(shù)列的前2022項中的奇數(shù)的個數(shù).【詳解】由已知可得為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，因為，所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，…………所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，又故該數(shù)列的前2022項中共有1348個奇數(shù)，故選：C.7、A【解析】由橢圓的定義可得；利用基本不等式，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.【詳解】根據(jù)橢圓的定義可知，，即，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立.故選：A8、B【解析】設(shè)直線傾斜角為，由，及，可求得，當(dāng)點在軸上方，又，求得，利用對稱性即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，由，所以，由，，所以，當(dāng)點在軸上方，又，所以，所以由對稱性知，直線的斜率.故選：B.9、C【解析】取中間值，化成同底利用單調(diào)性比較可得.【詳解】,，，故，故選：C10、D【解析】根據(jù)曲率的定義依次判斷即可.【詳解】①根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個頂點的曲率為，故①正確；②由定義可得多面體的總曲率頂點數(shù)各面內(nèi)角和，因為四棱錐有5個頂點，5個面，分別為4個三角形和1個四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；③設(shè)每個面記為邊形，則所有的面角和為，根據(jù)定義可得該類多面體的總曲率為常數(shù)，故③正確.故選：D.11、C【解析】由拋物線的定義可知點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離.【詳解】解：由題意，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，所以根據(jù)拋物線的定義可得點到直線的距離等于，所以點到直線和的距離之和的最小值即為焦點到直線的距離，故選：C.12、A【解析】根據(jù)給定條件利用韋達(dá)定理結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計算作答.【詳解】因是方程的兩根，則又是等差數(shù)列的前項和，于是得，所以.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求導(dǎo)，求得，，根據(jù)直線的點斜式方程求得答案.【詳解】因為，，所以切線的斜率，切線方程是，即.故答案為：.14、①.②.【解析】求出P(,)關(guān)于直線x+2y4=0對稱點P'的坐標(biāo)，再求出線段OP'與直線x+2y-4=0的交點A,再利用圓的幾何性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)P(,)關(guān)于直線x+2y4=0的對稱點為P'(m,n),則解得因為從點P到軍營總路程最短,所以A為線段OP'與直線x+2y4=0的交點,聯(lián)立得y=(42y),解得y=.所以“將軍飲馬”的最短總路程為=，故答案為，.【點睛】本題主要考查對稱問題以及圓的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.解析幾何中點對稱問題，主要有以下三種題型：（1）點關(guān)于直線對稱，關(guān)于直線的對稱點，利用，且點在對稱軸上，列方程組求解即可；（2）直線關(guān)于直線對稱，利用已知直線與對稱軸的交點以及直線上特殊點的對稱點（利用（1）求解），兩點式求對稱直線方程；（3）曲線關(guān)于直線對稱，結(jié)合方法（1）利用逆代法求解.15、.【解析】根據(jù)條件求出c，進(jìn)而根據(jù)求出a，最后寫出漸近線方程.【詳解】因為雙曲線兩焦點之間的距離為4，所以，解得，所以，，雙曲線的漸近線方程是.故答案為：.16、【解析】結(jié)合已知條件和空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；當(dāng)時，切線方程為；當(dāng)時，切線方程為；（2）或【解析】(1)根據(jù)題意可知P在圓上，據(jù)此即可求t和切線方程；(2)的面積，則當(dāng)面積最大時，．即，據(jù)此即可求出圓心O到直線l的距離，即可求出t的數(shù)值.【小問1詳解】由題意得點在上，∴，，①當(dāng)時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程為，即②當(dāng)時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程，即【小問2詳解】∵的面積，則當(dāng)面積最大時，．即，則圓心O到直線l距離又直線，即，則，解之得或注：亦可設(shè)圓心O到直線l的距離為d，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號(下同)18、（1）（2）直線過定點；理由見解析【解析】（1）根據(jù)題意可求得，進(jìn)而求得橢圓方程；（2）考慮直線斜率是否存在，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，然后利用，將根與系數(shù)的關(guān)系式代入化簡得到，結(jié)合直線方程,化簡可得結(jié)論.【小問1詳解】依題意，，所以，故橢圓方程為：【小問2詳解】當(dāng)直線MN的斜率不存在時，設(shè)M（），N（，），則，,此時M，N重合，不符合題意；當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)MN的方程為：，M（，），N（），與橢圓方程聯(lián)立可得：，即，∴，即，∴，∴，∴，當(dāng)時，,直線MN：，即，令，則，∴直線過定點【點睛】本題考查了橢圓方程的求法以及直線和橢圓相交時過定點的問題，解答時要注意解題思路的順暢，解答的難點在于運算量較大且復(fù)雜，需要十分細(xì)心.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）運用裂項相消法進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】∵，∴，又∵，∴，∴數(shù)列是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，從而，∴數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）知，則，∴，∴.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)出兩點的坐標(biāo)，利用點差法即可求出的值；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，寫韋達(dá)；根據(jù)，求出，從而可證明原點到直線的距離為定值【小問1詳解】設(shè)，則，，兩式相減，得，即，所以，即，又因為線段的中點為，所以，即；【小問2詳解】設(shè)斜率為的直線為，，由，得，所以，，因為，所以，即，所以，所以，即，所以，原點到直線的距離為.所以原點到直線的距離為定值.21、（1）；（2）存在；或.【解析】（1）設(shè)，由，，，求得的值即可得橢圓的方程；（2）設(shè)，，直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立可得，，進(jìn)而可得弦長，求出點到直線的距離，解方程，求得的值即可求解.【小問1詳解】設(shè)，因為直線的斜率為，，所以，可得，又因為，所以，所以，所以橢圓的方程為【小問2詳解】假設(shè)存在直線，使得的面積為，當(dāng)軸時，不合題意，設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立消去得：，由可得或，，，所以，點到直線的距離，所以，整理可得：即，所以或，所以或，所以存在直線：或使得的面積為.22、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值，列不等式組，即可求出實數(shù)a的取值范圍；（2）記函數(shù)，把證明，轉(zhuǎn)化為只需證明，用分析法證明即可.【小問1詳解】，定義域為，.令，解得：；令，解得：所以在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值.要使函數(shù)在上有極值，只需，解得：，即實數(shù)a