2025屆威海市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆威海市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為()A. B. C. D.2.著名的斐波那契數(shù)列:1,1,2,3,5,8,…,滿足,,,若,則()A.2020 B.4038 C.4039 D.40403.已知集合.為自然數(shù)集,則下列表示不正確的是()A. B. C. D.4.已知將函數(shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,若和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,則的值為()A.2 B.3 C.4 D.5.已知等式成立,則()A.0 B.5 C.7 D.136.在中,,則=()A. B.C. D.7.若函數(shù)有且只有4個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖像上,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知,如圖是求的近似值的一個(gè)程序框圖,則圖中空白框中應(yīng)填入A. B.C. D.10.在棱長(zhǎng)為a的正方體中,E、F、M分別是AB、AD、的中點(diǎn),又P、Q分別在線段、上,且,設(shè)平面平面,則下列結(jié)論中不成立的是()A.平面 B.C.當(dāng)時(shí),平面 D.當(dāng)m變化時(shí),直線l的位置不變11.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.12.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B.2 C.3 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.滿足約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最小值是.14.若x,y滿足,且y≥?1,則3x+y的最大值_____15.已知集合U={1,3,5,9},A={1,3,9},B={1,9},則?U(A∪B)=________.16.在的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)之和為,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,求的最小值以及此時(shí)的直角坐標(biāo).18.(12分)如圖,直線y=2x-2與拋物線x2=2py(p>0)交于M1,M2兩點(diǎn),直線y=p2與(1)求p的值;(2)設(shè)A是直線y=p2上一點(diǎn),直線AM2交拋物線于另一點(diǎn)M3,直線M1M19.(12分)設(shè)函數(shù)(其中),且函數(shù)在處的切線與直線平行.(1)求的值;(2)若函數(shù),求證:恒成立.20.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角的大?。唬?)若,求邊上的高.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線是圓心在極軸上,且經(jīng)過極點(diǎn)的圓.已知曲線上的點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù),射線與曲線交于點(diǎn).(1)求曲線,的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)A,B為曲線上的兩個(gè)點(diǎn)且,求的值.22.(10分)已知函數(shù),其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí),證明:對(duì);(2)若函數(shù)在上存在極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍。

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由三視圖可知,幾何體是一個(gè)三棱柱,三棱柱的底面是底邊為,高為的等腰三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為,利用正弦定理求出底面三角形外接圓的半徑,根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心,求出球的半徑,即可求解球的表面積.【詳解】由三視圖可知,幾何體是一個(gè)三棱柱,三棱柱的底面是底邊為,高為的等腰三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為,如圖:由底面邊長(zhǎng)可知,底面三角形的頂角為,由正弦定理可得,解得,三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心,所以,該幾何體外接球的表面積為:.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的內(nèi)切球與外接球問題,由三視圖求幾何體的表面積,考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

計(jì)算,代入等式,根據(jù)化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】,,,故,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了斐波那契數(shù)列,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.3、D【解析】

集合.為自然數(shù)集,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:集合.為自然數(shù)集,在A中,,正確;在B中,,正確;在C中,,正確;在D中,不是的子集,故D錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.4、B【解析】

因?yàn)閷⒑瘮?shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】將函數(shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,又和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,由,得,,即,又,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象平移和根據(jù)圖象對(duì)稱求參數(shù),解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)圖象平移的解法和正弦函數(shù)圖象的特征,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進(jìn)行求解即可.【詳解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了特殊值代入法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6、B【解析】

在上分別取點(diǎn),使得,可知為平行四邊形,從而可得到,即可得到答案.【詳解】如下圖,,在上分別取點(diǎn),使得,則為平行四邊形,故,故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,考查了學(xué)生邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

由是偶函數(shù),則只需在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)即可.【詳解】解:顯然是偶函數(shù)所以只需時(shí),有且只有2個(gè)零點(diǎn)即可令,則令,遞減,且遞增,且時(shí),有且只有2個(gè)零點(diǎn),只需故選:B【點(diǎn)睛】考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍,基礎(chǔ)題.8、A【解析】

可將問題轉(zhuǎn)化,求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線,再分別討論兩函數(shù)的增減性,結(jié)合函數(shù)圖像,分析臨界點(diǎn),進(jìn)一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線為,當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),,單減,當(dāng)時(shí),,單增;當(dāng)時(shí),,,當(dāng),,當(dāng)時(shí),單減,當(dāng)時(shí),單增;根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像,如圖:當(dāng)與()相切時(shí),得,解得;當(dāng)與()相切時(shí),滿足,解得,結(jié)合圖像可知,即,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)問題,導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性,找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題9、C【解析】

由于中正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn),根據(jù)可排除選項(xiàng)A、B;執(zhí)行第一次循環(huán):,①若圖中空白框中填入,則,②若圖中空白框中填入,則,此時(shí)不成立,;執(zhí)行第二次循環(huán):由①②均可得,③若圖中空白框中填入,則,④若圖中空白框中填入,則,此時(shí)不成立,;執(zhí)行第三次循環(huán):由③可得,符合題意,由④可得,不符合題意,所以圖中空白框中應(yīng)填入,故選C.10、C【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個(gè)分析即可.【詳解】因?yàn)?所以,因?yàn)镋、F分別是AB、AD的中點(diǎn),所以,所以,因?yàn)槊婷?所以.選項(xiàng)A、D顯然成立;因?yàn)?平面,所以平面,因?yàn)槠矫?所以,所以B項(xiàng)成立;易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項(xiàng)不成立.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系.屬于中檔題.11、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項(xiàng);結(jié)合特殊值,即可排除D選項(xiàng).【詳解】∵,,∴函數(shù)為奇函數(shù),∴排除選項(xiàng)A,B;又∵當(dāng)時(shí),,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,注意奇偶性及特殊值的用法,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由奇函數(shù)定義求出和.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù),.又當(dāng)時(shí),,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-2【解析】

可行域是如圖的菱形ABCD,代入計(jì)算,知為最小.14、5.【解析】

由約束條件作出可行域,令z=3x+y,化為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取最大值5.故答案為:5【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.15、{5}【解析】易得A∪B=A={1,3,9},則?U(A∪B)={5}.16、【解析】

利用展開式各項(xiàng)系數(shù)之和求得的值,由此寫出展開式的通項(xiàng),令指數(shù)為零求得參數(shù)的值,代入通項(xiàng)計(jì)算即可得解.【詳解】的展開式各項(xiàng)系數(shù)和為,得,所以,的展開式通項(xiàng)為,令,得,因此,展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算,涉及二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、(1):,:;(2),此時(shí).【解析】試題分析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為到的距離當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為,此時(shí)的直角坐標(biāo)為.試題解析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,因?yàn)槭侵本€,所以的最小值即為到的距離的最小值,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為,此時(shí)的直角坐標(biāo)為.考點(diǎn):坐標(biāo)系與參數(shù)方程.【方法點(diǎn)睛】參數(shù)方程與普通方程的互化:把參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?,常見的消參方法有:代入消參法;加減消參法;平方和(差)消參法;乘法消參法;混合消參法等.把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵:一是適當(dāng)選取參數(shù);二是確?;セ昂蠓匠痰牡葍r(jià)性.注意方程中的參數(shù)的變化范圍.18、(1)p=4;(2)OA?【解析】試題分析:(1)聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程y=2x-2x2=2py,化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系,由于直線y=p2平分∠M1FM2,所以kM1F+kM2F=0,代入點(diǎn)的坐標(biāo)化簡(jiǎn)得4-(2+p2)?x試題解析:(1)由y=2x-2x2=2py設(shè)M1(x1,因?yàn)橹本€y=p2平分∠M所以y1-p所以4-(2+p2)?x1+x(2)由(1)知拋物線方程為x2=8y,且x1+x設(shè)M3(x3,x328所以x2+x整理得:x2由B,M3,②式兩邊同乘x2得:x即:16x由①得:x2x3即:16(x2+所以O(shè)A?考點(diǎn):直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.【方法點(diǎn)晴】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系.閱讀題目后明顯發(fā)現(xiàn),所有的點(diǎn)都是由直線和拋物線相交或者直線與直線相交所得.故第一步先聯(lián)立y=2x-2x2=2py,相當(dāng)于得到M1,M2的坐標(biāo),但是設(shè)而不求.根據(jù)直線y=p219、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)求導(dǎo)得到,解得答案.(2)變形得到,令函數(shù),求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到,,得到證明.【詳解】(1),,解得.(2)得,變形得,令函數(shù),,令解得,當(dāng)時(shí),時(shí).函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,,即,即,恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)切線求參數(shù),證明不等式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力,綜合應(yīng)用能力.20、(1);(2)【解析】

(1)利用正弦定理將邊化成角,可得,展開并整理可得,從而可求出角;(2)由余弦定理得,進(jìn)而可得,由,可求出的值,設(shè)邊上的高為,可得的面積為,從而可求出.【詳解】(1)由題意,由正弦定理得.因?yàn)?,所以,所以,展開得,整理得.因?yàn)?,所以,故,?(2)由余弦定理得,則,得,故,故的面積為.設(shè)邊上的高為,有,故,所以邊上的高為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查三角形的面積公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.21、(1)..(2)【解析】

(1)先求解a,b,消去參數(shù),即得曲線的直角坐標(biāo)方程;再求解,利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式,即得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)由于,可設(shè),,代入曲線直角坐標(biāo)方程,可得的關(guān)系,轉(zhuǎn)化,可得解.【詳解】(1)將及對(duì)應(yīng)的參數(shù),代入得,即,所以曲線的方程為,為參數(shù),所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.設(shè)圓的半徑為R,由題意,圓的極坐標(biāo)方程為(或),將點(diǎn)代入,得,即,所以曲線的極坐標(biāo)方程為,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)由于,故可設(shè),代入曲線直角坐標(biāo)方程,可得,,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo),參數(shù)方程和一般方程的互化以及極坐標(biāo)的幾何意義的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.22、(1)見證明;(2)【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求得函數(shù)的最小值,得到要證明的結(jié)論;(2)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解,法一:對(duì)a分類討論,分別研究a的不同取值下,導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及值域,從而得到結(jié)論.法二:構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域,再利用零點(diǎn)存在定理說(shuō)明函數(shù)存在極值.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,于是,.又因?yàn)?,?dāng)時(shí),且.故當(dāng)時(shí),,即.所以,函數(shù)為上的增函數(shù),于是,.因此,對(duì),;(2)方法一:由題意在上存在極值,則在上存在零點(diǎn),①當(dāng)時(shí),為上的增函數(shù),注意到,,所以,存在唯一實(shí)數(shù),使得成立.于是,當(dāng)時(shí),,為上的減函數(shù);當(dāng)時(shí),,為上的增函數(shù);所以為函數(shù)的極小值點(diǎn);②當(dāng)時(shí),在上成立,所以在上單調(diào)遞增

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