山西省忻州市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

山西省忻州市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則有（）A.， B.，C.， D.，2．設(shè)雙曲線：（，）的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為雙曲線在第二象限上的點(diǎn)，直線交雙曲線于另一個點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若直線平分線段，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．過點(diǎn)且垂直于的直線方程為（）A. B.C. D.4．在中，若，，，則此三角形解的情況為（）A.無解 B.兩解C.一解 D.解的個數(shù)不能確定5．已知點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線的右分支上，是等邊三角形，則的面積是A. B.C. D.6．中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“今有俸糧三百零五石，令五等官（正一品、從一品、正二品、從二品、正三品）依品遞差十三石分之，問，各若干？”其大意是，現(xiàn)有俸糧石，分給正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員，依照品級遞減石分這些俸糧，問，每個人各分得多少俸糧？在這個問題中，正三品分得俸糧是（）A.石 B.石C.石 D.石7．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對任意，C.對任意， D.對任意，8．已知直線與圓相切，則的值是（）A. B.C. D.9．命題“，使得”的否定形式是A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得10．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點(diǎn)，，且，則△的歐拉線的方程為（）A. B.C. D.11．如圖，是邊長為4的等邊三角形的中位線，將沿折起，使得點(diǎn)A與P重合，平面平面，則四棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.12．關(guān)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列說法正確的是（）A.如果，則，，成等差數(shù)列B.如果，則，，成等比數(shù)列C.如果，則，，成等差數(shù)列D.如果，則，，成等差數(shù)列二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“”的否定為_____________.14．圓被直線所截得弦的最短長度為___________.15．已知直線，，若，則實(shí)數(shù)______16．圓關(guān)于直線的對稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，A1C的中點(diǎn)，AD=AA1=2，AB=（1）求證：EF∥平面ADD1A1；（2）求平面EFD與平面DEC的夾角的余弦值；（3）在線段A1D1上是否存在點(diǎn)M，使得BM⊥平面EFD？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由18．（12分）已知橢圓左，右頂點(diǎn)分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點(diǎn)（1）若，證明：直線必過坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，若，求動點(diǎn)的軌跡方程19．（12分）如圖，在三棱錐中，底面，．點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長20．（12分）解答下列兩個小題：（1）雙曲線：離心率為，且點(diǎn)在雙曲線上，求的方程；（2）雙曲線實(shí)軸長為2，且雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，，，對任意的正數(shù)，都有成立？若存在，求出，，的所有值；若不存在，請說明理由.22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】將直線方程的一般形式化為截距式，由此可得其在x軸和y軸上的截距.【詳解】直線方程化成截距式為，所以，故選：B.2、A【解析】由給定條件寫出點(diǎn)A，F(xiàn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出線段FC的中點(diǎn)坐標(biāo)，由三點(diǎn)共線列式計(jì)算即得.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，點(diǎn)，設(shè)，由雙曲線對稱性得，線段FC的中點(diǎn)，因直線平分線段，即點(diǎn)D，A，B共線，于是有，即，即，離心率.故選：A3、B【解析】求出直線l的斜率，再借助垂直關(guān)系的條件即可求解作答.【詳解】直線的斜率為，而所求直線垂直于直線l，則所求直線斜率為，于是有：，即，所以所求直線方程為.故選：B4、C【解析】求出的值，結(jié)合大邊對大角定理可得出結(jié)論.【詳解】由正弦定理可得可得，因?yàn)?，則，故為銳角，故滿足條件的只有一個.故選：C.5、C【解析】設(shè)點(diǎn)在軸上方，由是等邊三角形得直線斜率.又直線過點(diǎn)，故方程為.代入雙曲線方程，得點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故的面積為,選C.6、D【解析】令位官員(正一品、從一品、正二品、從二品、正三品)所分得的俸糧數(shù)是公差為數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求，進(jìn)而求出正三品即可.【詳解】正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員所分得的俸糧數(shù)記為數(shù)列，由題意，是以為公差的等差數(shù)列，且，解得.故正三品分得俸糧數(shù)量為（石）.故選：D.7、D【解析】根據(jù)特稱命題否定的方法求解，改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對任意，”.故選：D.8、D【解析】直線與圓相切，直接通過求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，所以，.故選：D9、D【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故選D【考點(diǎn)】全稱命題與特稱命題的否定【方法點(diǎn)睛】全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．對含有存在（全稱）量詞的命題進(jìn)行否定需要兩步操作：①將存在（全稱）量詞改成全稱（存在）量詞；②將結(jié)論加以否定10、D【解析】由題設(shè)條件求出垂直平分線的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，結(jié)合歐拉線的定義，即垂直平分線即為歐拉線.【詳解】由題設(shè)，可得，且中點(diǎn)為，∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，∴△的歐拉線的方程為.故選：D11、A【解析】分別取的中點(diǎn)，易得，則點(diǎn)為四邊形的外接圓的圓心，則四棱錐外接球的球心在過點(diǎn)且垂直平面的直線上，設(shè)球心為，設(shè)外接球的半徑為，，利用勾股定理求得半徑，從而可得出答案.【詳解】解：分別取的中點(diǎn)，在等邊三角形中，，是中位線，則都是等邊三角形，所以，所以點(diǎn)為四邊形的外接圓的圓心，則四棱錐外接球的球心在過點(diǎn)且垂直平面的直線上，設(shè)球心為，由為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，平面，所以平面，則，設(shè)外接球半徑為，，，則，，所以，解得，所以，所以四棱錐外接球的表面積是.故選：A.第II卷12、B【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合取特值、推理計(jì)算等方法逐一分析各個選項(xiàng)并判斷即可作答.【詳解】對于A，若，取，而，即，，不成等差數(shù)列，A不正確；對于B，若，則，即，，成等比數(shù)列，B正確；對于C，若，取，而，，，不成等差數(shù)列，C不正確；對于D，a，b，c是實(shí)數(shù)，若，顯然都可以為負(fù)數(shù)或者0，此時a，b，c無對數(shù)，D不正確.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，可得結(jié)果.【詳解】由特稱命題否定是全稱命題，故條件不變，否定結(jié)論所以“”的否定為“”故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查特稱命題的否定是全稱命題，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】首先確定直線所過定點(diǎn)；由圓的方程可確定圓心和半徑，進(jìn)而求得圓心到的距離，由此可知所求最短長度為.【詳解】由得：，直線恒過點(diǎn)；，在圓內(nèi)；又圓的圓心為，半徑，圓心到點(diǎn)的距離，所截得弦的最短長度為.故答案為：.15、【解析】由直線垂直可得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程即可.【詳解】由直線垂直可得：，解得：.故答案為：16、【解析】先將已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求得圓心坐標(biāo)(2,2)和半徑2，然后可根據(jù)直線的位置直接看出(2,2)點(diǎn)的對稱點(diǎn)，進(jìn)而寫出方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心(2,2),半徑為2，圓心(2,2)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為原點(diǎn),所以所求對稱圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）不存在；理由見解析【解析】（1）連接AD1，A1D，交于點(diǎn)O，所以點(diǎn)O是A1D的中點(diǎn)，連接FO，根據(jù)判定定理證明四邊形AEFO是平行四邊形，進(jìn)而得到線面平行；（2）建立坐標(biāo)系，求出兩個面的法向量，求得兩個法向量的夾角的余弦值，進(jìn)而得到二面角的夾角的余弦值；（3）假設(shè)在線段A1D1上存在一點(diǎn)M，使得BM⊥平面EFD，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由第二問得到平面EFD的一個法向量，判斷出和該法向量不平行，故不存在滿足題意的點(diǎn)M.【詳解】（1）證明：連接AD1，A1D，交于點(diǎn)O，所以點(diǎn)O是A1D的中點(diǎn)，連接FO因?yàn)镕是A1C的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥CD，OF=CD因AE∥CD，AE=CD，所以O(shè)F∥AE，OF=AE所以四邊形AEFO是平行四邊形所以EF∥AO因?yàn)镋F?平面ADD1A1，AO?平面ADD1A1，所以EF∥平面ADD1A1（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB，AD，AA1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，A1C的中點(diǎn)，AD=AA1=2，AB=，所以B(，0，0)，D(0，2，0)，E，F(xiàn)所以=，=(0，1，1)設(shè)平面EFD的法向量為，則即令y=1，則z=-1，x=2所以，由題知，平面DEC的一個法向量為m=(0，0，1)，所以cos<，>==所以平面EFD與平面DEC的夾角的余弦值是（3）假設(shè)在線段A1D1上存在一點(diǎn)M，使得BM⊥平面EFD設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，t，2)(0≤t≤2)，則=(，t，2)因?yàn)槠矫鍱FD的一個法向量為，而與不平行，所以在線段A1D1上不存在點(diǎn)M，使得BM⊥平面EFD18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，首先證明，從而可得到，即得到；進(jìn)而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點(diǎn)，即可證明直線必過坐標(biāo)原點(diǎn)（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫韋達(dá)；根據(jù)條件可求出直線MN過定點(diǎn)，從而可得到過定點(diǎn)，進(jìn)而可得到點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動，從而可求出動點(diǎn)的軌跡方程【小問1詳解】設(shè)，則，即因?yàn)椋?，所以因?yàn)椋?，所?同理可證.因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以直線必過坐標(biāo)原點(diǎn)【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，，.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，解得?當(dāng)時，直線的方程為過點(diǎn)A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時，因?yàn)椋灾本€的方程為，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.故直線過定點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以過定點(diǎn).因?yàn)榇怪逼椒止蚕?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動，該圓的半徑，圓心坐標(biāo)為，故動點(diǎn)的軌跡方程為19、（1）證明見解析；（2）；（3）或【解析】本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，證明線面平行只需求出平面的法向量，計(jì)算直線對應(yīng)的向量與法向量的數(shù)量積為0，求二面角只需求出兩個半平面對應(yīng)的法向量，借助法向量的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異面直線所成角的余弦值，利用已知條件，求出的值.試題解析：如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（1）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設(shè)，為平面BDE的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2，），可得.因?yàn)槠矫鍮DE，所以MN//平面BDE.（2）解：易知為平面CEM的一個法向量.設(shè)為平面EMN的法向量，則，因?yàn)?，，所?不妨設(shè)，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值為.（3）解：依題意，設(shè)AH=h（），則H（0，0，h），進(jìn)而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，線段AH的長為或.【考點(diǎn)】直線與平面平行、二面角、異面直線所成角【名師點(diǎn)睛】空間向量是解決空間幾何問題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關(guān)系利用空間向量都很方便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準(zhǔn)，特別是借助平面的法向量求線面角，二面角或點(diǎn)到平面的距離都很容易.20、（1）；（2）.【解析】（1）由可得，再將點(diǎn)代入方程，聯(lián)立解出答案，可得答案.（2）先求出橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，由條件可得，且，從而得出答案.詳解】（1）由，得，即，又，即，雙曲線的方程即為，點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得所以，雙曲線的方程為（2）橢圓的焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線的方程為，所以，且，所以，所以，雙曲線的方程為21、（1）極小值為：，無極大值（2），，【解析】（1）先求導(dǎo)求單調(diào)性，再判斷極值點(diǎn)求極值即可；（2）易知，只需要為函數(shù)和的公切線即可，求出公切線，代入后分別證明和成立即可.【小問1詳解】由題意知：，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所