動(dòng)點(diǎn)面積問(wèn)題

動(dòng)點(diǎn)面積問(wèn)題

1、如圖①所示，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在y軸正半軸與x軸負(fù)半軸上.過(guò)點(diǎn)B、C作

直線/.將直線/平移，平移后的直線/與x軸交于點(diǎn)D,與>軸交于點(diǎn)E.

（1）將直線/向右平移，設(shè)平移距離CD為「（包0）,直角梯形OABC被直線/掃過(guò)的面積（圖

中陰影部份）為s,s關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖②所示，0M為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射

線，且NQ平行于x軸，N點(diǎn)橫坐標(biāo)為4,求梯形上底AB的長(zhǎng)及直角梯形OABC的面積.

（2）當(dāng)2<r<4時(shí)，求S關(guān)于f的函數(shù)解析式.

【思路分析】本題雖然不難，但是非?？简?yàn)考生對(duì)于函數(shù)圖像的理解。很多考生看到圖二的函

數(shù)圖像沒(méi)有數(shù)學(xué)感覺(jué)，反應(yīng)不上來(lái)那個(gè)M點(diǎn)是何含義，于是無(wú)從下手。其實(shí)M點(diǎn)就表示當(dāng)平移距

離為2的時(shí)候整個(gè)陰影部分面積為8,相對(duì)的，N點(diǎn)表示移動(dòng)距離超過(guò)4之后陰影部分面積就不動(dòng)

了。腦中模擬一下就能想到陰影面積固定就是當(dāng)D移動(dòng)過(guò)了0點(diǎn)的時(shí)候.所以根據(jù)這么幾種情況去作

答就可以了。第二問(wèn)建立函數(shù)式則需要看出當(dāng)2<"4時(shí)，陰影部分面積就是整個(gè)梯形面積減去4

ODE的面積，于是根據(jù)這個(gè)構(gòu)造函數(shù)式即可。動(dòng)態(tài)幾何連帶函數(shù)的問(wèn)題往往需要找出圖形的移動(dòng)與

函數(shù)的變化之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后利用對(duì)應(yīng)關(guān)系去分段求解。

【解】（1）由圖（2）知，/點(diǎn)的坐標(biāo)是（2,8）.?.由此判斷：AB=2,OA=4.

點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4,NQ是平行于x軸的射線，。。=4

.??直角梯形OABC的面積為：1（AB+OC）-CM=1（2+4）x4=12..…（3分）

（2）當(dāng)2<f<4時(shí)，

陰影部分的面積=直角梯形0ABe的面積-AODE的面積（基本上實(shí)際考試中碰到這種求怪異

圖形面積的都要先想是不是和題中所給特殊圖形有割補(bǔ)關(guān)系）

：.S=n--ODOE?：-=-,OD=4-t.-2（4-。

2OE2''

1

/.S=12--x2（4-z）-（4-r）=12-（4-r）9

S=-t2+8Z-4.

2、已知：等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4厘米，長(zhǎng)為1厘米的線段MN在△ABC的邊A8上沿A8方

向以1厘米/秒的速度向8點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，點(diǎn)"與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)終止)，過(guò)

點(diǎn)M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、。兩點(diǎn)，線段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒.

(1)線段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，,為何值時(shí)，四邊形MNQP恰為矩形？并求出該矩形的面積；

(2)線段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形MNQP的面積為S,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/.求四邊形MNQP

的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間/變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量/的取值范圍.

26.(10分)

(1)過(guò)點(diǎn)垂足為。.則AD=2,

當(dāng)MN運(yùn)動(dòng)到被CO垂直平分時(shí)，四邊形MNQP是矩形,

3

即AM=5時(shí)，四邊形MNQ尸是矩形，

3

.一=5秒時(shí)，四邊形肱M2尸是矩形.PM=AMDNB

?*,S四邊形MNQP=30

(2)1。當(dāng)0<，<1時(shí)，/

S四邊形MN。=g(尸河+QNYMNp/

=51也/+G(/+1)]=+AMLNBAAMNB

2。當(dāng)1WK2時(shí)SmMNQP=^PM+QN)-MN

3°當(dāng)2<r<3時(shí)，

c

S四邊形MW>=：(PM+QN)?MN

=g[6(3T)+G(4—/)]=—技+|■退

AAMNB

3、如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm,ZA=60°,BD,AD.一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1cm的

速度沿A-B-C的路線勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作直線PM,使PMLAD.

1.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，設(shè)直線PM與AD相交于點(diǎn)E,求4APE的面積；

2.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)Q也從A出發(fā)沿A-B的路線運(yùn)動(dòng)，且在AB上以每秒1cm的

速度勻速運(yùn)動(dòng)，（當(dāng)P、Q中的某一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).）過(guò)Q作直線QN,使QN〃PM,

設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0WtW8）,直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S（cm2）.

（1）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求S的最大值.

1.分析：此題為點(diǎn)動(dòng)題，因此，1）搞清動(dòng)點(diǎn)所走的路線及速度，這

°樣就能求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)；2）分析在運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的幾種特殊位置.

/由題意知，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，所走的路線為：A-B-C速度為lcm/s。而

APBt=2s,故可求出AP的值，進(jìn)而求出4APE的面積.

略解：由AP=2,ZA=60°得AE=1,EP=V^.因此

2.分析：兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在前，點(diǎn)Q在后，速度相等，因此兩點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn)A的距離相差總

是2cm.P在AB邊上運(yùn)動(dòng)后，又到BC邊上運(yùn)動(dòng).因此PM、QN截平行四邊形ABCD所得圖形不同.故分

兩種情況：

（1）①當(dāng)P、Q都在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PM、QN截平行四邊形ABCD所得的圖形永遠(yuǎn)為直角梯形.止匕

時(shí)0WtW6.

②當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng)，而Q在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，畫出相應(yīng)圖形，所成圖形為六邊形DFQBPG.不規(guī)

則圖形面積用割補(bǔ)法.此時(shí)6<tW8.

\P\BAB

(0WtW6)(6<tW8)

⑴略解：①當(dāng)P、Q同時(shí)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0WtW6.

AQ=t,AP=t+2,AF=2t,QF=2t,AG=2(t+2),由三角函數(shù)PG=2(t+2),

l_￡￡L且且追且

FG=AG-AF=2(t+2)-2t=l.S=2?(QF+PG)?FG=2[Tt+T(t+2)]?1=Tt+T.

②當(dāng)6VtW8時(shí),

=

SS平行四邊形ABCD-S^AQF-SAGCP.

1

易求S平行四邊形ABCD=16返,SAAQF=2AF?QF=3t2.

1PC__PG_CG10-f_PG_CG

而SAC^^PC?PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式記一詬一五'可得44、百%

2

/.PG=^(10-t)..,.SACGP=2PC?PG=2(10-t)?幣(10-th~(10-t).

打包，也+6-^3

.*.S=16酒-8t2-2(10-t)2=8(6<tW8

⑵分析:求面積的最大值時(shí),應(yīng)用函數(shù)的增減性求.若題中分多種情況,那么每一種情況都要分

別求出最大值，然后綜合起來(lái)得出一個(gè)結(jié)論.此題分兩種情況,那么就分別求出0WtW6和6<tW8

時(shí)的最大值.0WtW6時(shí),是一次函數(shù),應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)，由于一次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù),面積S隨t的

增大而增大.當(dāng)6<tW8時(shí),是二次函數(shù),應(yīng)用配方法或公式法求最值.

A7

略解：由于2'人”所以t=6時(shí)，S最大=2"；

由于S='(6<tW8,所以t=8時(shí)，S最大=6〃3.

=6E.

綜上所述，當(dāng)t=8時(shí)，S最大:

4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),ZA0C=60°,垂直于x

軸的直線1從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線1與菱形0ABC的

兩邊分別交于點(diǎn)M、N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方).

1.求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

2.設(shè)AOMN的面積為S,直線/運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0WtW6),試求S與t的函數(shù)表達(dá)式;

3.在題⑵的條件下，t為何值時(shí)，S的面積最大？最大面積是多少？

1.分析：由菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)易求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).

解：?.?四邊形OABC為菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),

，0A=AB=BC=C0=4.如圖①,過(guò)點(diǎn)A作ADLOC于D.：NA0C=60°,/.0D=2,AD=2扉.

AA(2,2g),B(6,2g).

2.分析：直線/在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，隨時(shí)間t的變化，^MON的形狀也不斷變化，因此，首先要把

所有情況畫出相應(yīng)的圖形，每一種圖形都要相應(yīng)寫出自變量的取值范圍。這是解決動(dòng)點(diǎn)題關(guān)鍵之一.

直線,從y軸出發(fā)，沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)與菱形OABC的兩邊相交有三種情況：

圖③①0WtW2時(shí)，直線,與0A、

0C兩邊相交(如圖①).②2<tW4時(shí)，直線,與AB、0C兩邊相交(如圖②).

③4<tW6時(shí)，直線/與AB、BC兩邊相交(如圖③).

￡且

略解：（DVMNXOC,.\ON=t..\MN=0Ntan60°=V3i./.S=2ON.MN=~t2.

②S=，ON?MN=2t?273=73t.

③方法一：設(shè)直線,與x軸交于點(diǎn)H.?；MN=2后-石(t-4)=6后-后t,

￡￡拒

.\S=2MN?0H=2(eV3-V3t)t=--1+3后t.

L￡

，，

方法二：設(shè)直線/與X軸交于點(diǎn)H..S=SAOMH-SAONH,.\s=2t-2^3-2t?V3(t-4)=

且r

~t?+3J3t.方法三：設(shè)直線/與x軸交于點(diǎn)H.?.?$=$切。屈電0500吐$2地,

￡

S卷挎OABC=4X2石=8后,SACMA/=5?2也?(t-2)=也t-2也,

1_1后

2

方際=2?4?后(t-4)=2t-8^3,拒(6-t)(6-t)=18^3-6V3t+2t,

，S=80-(力t-2后)-(2^t-8后)-(18后-6^t+了t2)=--V+sV^t.

3.求最大面積的時(shí)候，求出每一種情況的最大面積值，然后再綜合每種情況，求出最大值.

包廠

略解：由2知，當(dāng)0WtW2時(shí)，s^=~X22=2V3；

點(diǎn)9萬(wàn)

當(dāng)2VtW4時(shí)，還大=4^3；當(dāng)4ctW6時(shí)，配方得S=-5"(tYV+T,

且氈

.?.當(dāng)t=3時(shí)，函數(shù)S=-Tt2+3V3t的最大值是亍.

且逋

但t=3不在4VtW6內(nèi)，.?.在4VtW6內(nèi)，函數(shù)S=-〒召+353t的最大值不是亍.

且

而當(dāng)t>3時(shí)，函數(shù)S=-5-t2+3#t隨t的增大而減小，，當(dāng)4VtW6時(shí)，S<4V3.

綜上所述，當(dāng)t=4秒時(shí)，大=4上.

5、如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點(diǎn)A在原點(diǎn)，AB=3,AD=5.若矩

形以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿x軸正方向作勻速運(yùn)動(dòng).同時(shí)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿A-B

—C—D的路線作勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD也隨之停止運(yùn)動(dòng).

⑴求P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所需的時(shí)間；

⑵設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）.

當(dāng)t=5時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若/OAP的面積為s,試求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式（并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍）.

B--------------------iC

0(A)Dx

解：(1)P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所需的時(shí)間=(3+5+3)4-1=11(秒).

(2)當(dāng)t=5時(shí),P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC上,此時(shí)0A=10,AB+BP=5,/.BP=2.

過(guò)點(diǎn)P作PEXAD于點(diǎn)E,則PE=AB=3,AE=BP=2.

.?.0E=0A+AE=10+2=12..,.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,3).

分三種情況：

.當(dāng)0<tW3時(shí)，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)0A=2t,AP=t,/.s=2X2tXt=t2.

1

.當(dāng)3<tW8時(shí)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng),止匕時(shí)0A=2t,/.s=2X2tX3=3

t.

.當(dāng)8<t<n時(shí)，點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)0A=2t,AB+BC+CP=t,

.\DP=(AB+BC+CD)-(AB+BC+CP)=11-t./.s=2X2tX(11-t)=-

t2+llt.

綜上所述，s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：當(dāng)0VtW3時(shí)，s=t2；當(dāng)3VtW8時(shí)，s=3t；當(dāng)8

<t<ll時(shí)，s=-t2+llt.

6、如圖，已知△ABC中，A3=AC=10厘米，BC=8厘米，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)尸在線段3C上以3厘米/秒的速度由3點(diǎn)向。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段C4上由C

點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).

①若點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理

由；

②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△5PD與

△CQP全等？

(2)若點(diǎn)。以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)尸以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)3同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿

△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)。第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

解：（1）①..：=1秒，A

族=。。=3*1=3厘米，\

;AB=10厘米，點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，D/\

.?.30=5厘米./\

又，；PC=BC-BP,BC=8厘米，/\

PC=8—3=5厘米，3〉JC

PC=BD.

又：AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.4BPD咨ACQP.......................................................................................（4分）

②：埒j,/.BP^CQ,

又,：4BPD/XCOP,/B=NC,則3P=PC=4,CQ=BD=5,

點(diǎn)P,點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間/==g秒，

.??V=絲=?="厘米/秒....................................(7分)

2?44

3

(2)設(shè)經(jīng)過(guò)大秒后點(diǎn)P與點(diǎn)。第一次相遇，

由題意，得"x=3x+2xl0,解得了=里秒.

43

.?.點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了以x3=80厘米.

3

80=2x28+24,

???點(diǎn)P、點(diǎn)。在A3邊上相遇，

???經(jīng)過(guò)三秒點(diǎn)P與點(diǎn)。第一次在邊上相遇...................(12分)

7、如圖1,在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=8厘米，點(diǎn)D在AC上，CD=3厘米.點(diǎn)P、Q分

別由A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿AC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，速度為每秒k厘米，行完AC全程

用時(shí)8秒;點(diǎn)Q沿CB方向向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，速度為每秒1厘米.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒（OVxV8）,

△DCQ的面積為yi平方厘米，4PCQ的面積為y2平方厘米.

⑴求yi與x的函數(shù)關(guān)系，并在圖2中畫出yi的圖象；

⑵如圖2,y2的圖象是拋物線的一部分，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4,12）,求點(diǎn)P的速度及AC的長(zhǎng);

⑶在圖2中，點(diǎn)G是x軸正半軸上一點(diǎn)（0<OGV6=,過(guò)G作EF垂直于x軸，分別交yi>y2

于點(diǎn)E、F.

①說(shuō)出線段EF的長(zhǎng)在圖1中所表示的實(shí)際意義；

②當(dāng)0<x<6時(shí)，求線段EF長(zhǎng)的最大值.

yM

C。一

圖1圖2

2、解：（DVSADCQ^—CQCD,CD=3,CQ=x,

.3

??丹=5%?

圖象如圖所示.

⑵方法一：S^CQ=^CQCP,CP=8k-xk,CQ=x,

2

/.^2=^X（8Z:-AX）-X=-^AX+4AX.

y

???拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4,12）,

1

.??一一%?492+4左-4=12?

2

解…3?

則點(diǎn)P的速度每秒”米，AC=12厘米?

方法二：觀察圖象知，當(dāng)x=4時(shí)，APCQ面積為12.

止匕時(shí)PC=AC—AP=8k—4k=4k,CQ=4.02p46810x

14"x4a

.,.由S”儀=：CQ-CP,得吃—=12.解得左=：.

則點(diǎn)P的速度每秒士厘米，AC=12厘米.

2

方法三：設(shè)y2的圖象所在拋物線的解析式是y=af+bx+c.

:圖象過(guò)(0,0),(4,12),(8,0),

3

c=0,u——，

解得4

/.J16tz+4Z?+c=lZ<b=6,

64a+8b+c=Q.c=0.

3°

??%=——x2+6x.(J)

2

,?*=~CQCP,CP=8k-xk,CQ=x,/.y2=-^kx+4kx.②

比較①②得上==3.

2

則點(diǎn)P的速度每秒2厘米，AC=12厘米.

2

⑶①觀察圖象，知

線段的長(zhǎng)EF=y2—yi,表示APCQ與4DCQ的面積差(或面積).

2

②由(2)得當(dāng)=一3/+6x.(方法二，y9=—x|8x--—%=%+6%)

4-222J4

*.*EF=y2—yi,

；

?.?EEr_------3-x2+ox3x-_3x,H—9x9

4242

???二次項(xiàng)系數(shù)小于0,

27

???在OOV6范圍，當(dāng)x=3時(shí)，跖=——最大.

3

【答案】分析：(1)直接根據(jù)三角形的面積公式可得yi=Ex；

1fc33

(2)先設(shè)y2=1x(12-kx)=-2X2+6X,把x=12時(shí)，y2=12代入解析式