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動(dòng)點(diǎn)面積問(wèn)題
1、如圖①所示,直角梯形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在y軸正半軸與x軸負(fù)半軸上.過(guò)點(diǎn)B、C作
直線/.將直線/平移,平移后的直線/與x軸交于點(diǎn)D,與>軸交于點(diǎn)E.
(1)將直線/向右平移,設(shè)平移距離CD為「(包0),直角梯形OABC被直線/掃過(guò)的面積(圖
中陰影部份)為s,s關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖②所示,0M為線段,MN為拋物線的一部分,NQ為射
線,且NQ平行于x軸,N點(diǎn)橫坐標(biāo)為4,求梯形上底AB的長(zhǎng)及直角梯形OABC的面積.
(2)當(dāng)2<r<4時(shí),求S關(guān)于f的函數(shù)解析式.
【思路分析】本題雖然不難,但是非??简?yàn)考生對(duì)于函數(shù)圖像的理解。很多考生看到圖二的函
數(shù)圖像沒(méi)有數(shù)學(xué)感覺(jué),反應(yīng)不上來(lái)那個(gè)M點(diǎn)是何含義,于是無(wú)從下手。其實(shí)M點(diǎn)就表示當(dāng)平移距
離為2的時(shí)候整個(gè)陰影部分面積為8,相對(duì)的,N點(diǎn)表示移動(dòng)距離超過(guò)4之后陰影部分面積就不動(dòng)
了。腦中模擬一下就能想到陰影面積固定就是當(dāng)D移動(dòng)過(guò)了0點(diǎn)的時(shí)候.所以根據(jù)這么幾種情況去作
答就可以了。第二問(wèn)建立函數(shù)式則需要看出當(dāng)2<"4時(shí),陰影部分面積就是整個(gè)梯形面積減去4
ODE的面積,于是根據(jù)這個(gè)構(gòu)造函數(shù)式即可。動(dòng)態(tài)幾何連帶函數(shù)的問(wèn)題往往需要找出圖形的移動(dòng)與
函數(shù)的變化之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,然后利用對(duì)應(yīng)關(guān)系去分段求解。
【解】(1)由圖(2)知,/點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,8).?.由此判斷:AB=2,OA=4.
點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4,NQ是平行于x軸的射線,。。=4
.??直角梯形OABC的面積為:1(AB+OC)-CM=1(2+4)x4=12..…(3分)
(2)當(dāng)2<f<4時(shí),
陰影部分的面積=直角梯形0ABe的面積-AODE的面積(基本上實(shí)際考試中碰到這種求怪異
圖形面積的都要先想是不是和題中所給特殊圖形有割補(bǔ)關(guān)系)
:.S=n--ODOE?:-=-,OD=4-t.-2(4-。
2OE2''
1
/.S=12--x2(4-z)-(4-r)=12-(4-r)9
S=-t2+8Z-4.
2、已知:等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4厘米,長(zhǎng)為1厘米的線段MN在△ABC的邊A8上沿A8方
向以1厘米/秒的速度向8點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí),點(diǎn)"與點(diǎn)A重合,點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B時(shí)運(yùn)動(dòng)終止),過(guò)
點(diǎn)M、N分別作AB邊的垂線,與△ABC的其它邊交于P、。兩點(diǎn),線段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒.
(1)線段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,,為何值時(shí),四邊形MNQP恰為矩形?并求出該矩形的面積;
(2)線段MN在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,四邊形MNQP的面積為S,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/.求四邊形MNQP
的面積S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間/變化的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量/的取值范圍.
26.(10分)
(1)過(guò)點(diǎn)垂足為。.則AD=2,
當(dāng)MN運(yùn)動(dòng)到被CO垂直平分時(shí),四邊形MNQP是矩形,
3
即AM=5時(shí),四邊形MNQ尸是矩形,
3
.一=5秒時(shí),四邊形肱M2尸是矩形.PM=AMDNB
?*,S四邊形MNQP=30
(2)1。當(dāng)0<,<1時(shí),/
S四邊形MN。=g(尸河+QNYMNp/
=51也/+G(/+1)]=+AMLNBAAMNB
2。當(dāng)1WK2時(shí)SmMNQP=^PM+QN)-MN
3°當(dāng)2<r<3時(shí),
c
S四邊形MW>=:(PM+QN)?MN
=g[6(3T)+G(4—/)]=—技+|■退
AAMNB
3、如圖,在平行四邊形ABCD中,AD=4cm,ZA=60°,BD,AD.一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā),以每秒1cm的
速度沿A-B-C的路線勻速運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)P作直線PM,使PMLAD.
1.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí),設(shè)直線PM與AD相交于點(diǎn)E,求4APE的面積;
2.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí),另一動(dòng)點(diǎn)Q也從A出發(fā)沿A-B的路線運(yùn)動(dòng),且在AB上以每秒1cm的
速度勻速運(yùn)動(dòng),(當(dāng)P、Q中的某一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn),則兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).)過(guò)Q作直線QN,使QN〃PM,
設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0WtW8),直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S(cm2).
(1)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求S的最大值.
1.分析:此題為點(diǎn)動(dòng)題,因此,1)搞清動(dòng)點(diǎn)所走的路線及速度,這
°樣就能求出相應(yīng)線段的長(zhǎng);2)分析在運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的幾種特殊位置.
/由題意知,點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn),所走的路線為:A-B-C速度為lcm/s。而
APBt=2s,故可求出AP的值,進(jìn)而求出4APE的面積.
略解:由AP=2,ZA=60°得AE=1,EP=V^.因此
2.分析:兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P在前,點(diǎn)Q在后,速度相等,因此兩點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn)A的距離相差總
是2cm.P在AB邊上運(yùn)動(dòng)后,又到BC邊上運(yùn)動(dòng).因此PM、QN截平行四邊形ABCD所得圖形不同.故分
兩種情況:
(1)①當(dāng)P、Q都在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),PM、QN截平行四邊形ABCD所得的圖形永遠(yuǎn)為直角梯形.止匕
時(shí)0WtW6.
②當(dāng)P在BC上運(yùn)動(dòng),而Q在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),畫出相應(yīng)圖形,所成圖形為六邊形DFQBPG.不規(guī)
則圖形面積用割補(bǔ)法.此時(shí)6<tW8.
\P\BAB
(0WtW6)(6<tW8)
⑴略解:①當(dāng)P、Q同時(shí)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),0WtW6.
AQ=t,AP=t+2,AF=2t,QF=2t,AG=2(t+2),由三角函數(shù)PG=2(t+2),
l_££L且且追且
FG=AG-AF=2(t+2)-2t=l.S=2?(QF+PG)?FG=2[Tt+T(t+2)]?1=Tt+T.
②當(dāng)6VtW8時(shí),
=
SS平行四邊形ABCD-S^AQF-SAGCP.
1
易求S平行四邊形ABCD=16返,SAAQF=2AF?QF=3t2.
1PC__PG_CG10-f_PG_CG
而SAC^^PC?PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式記一詬一五'可得44、百%
2
/.PG=^(10-t)..,.SACGP=2PC?PG=2(10-t)?幣(10-th~(10-t).
打包,也+6-^3
.*.S=16酒-8t2-2(10-t)2=8(6<tW8
⑵分析:求面積的最大值時(shí),應(yīng)用函數(shù)的增減性求.若題中分多種情況,那么每一種情況都要分
別求出最大值,然后綜合起來(lái)得出一個(gè)結(jié)論.此題分兩種情況,那么就分別求出0WtW6和6<tW8
時(shí)的最大值.0WtW6時(shí),是一次函數(shù),應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì),由于一次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù),面積S隨t的
增大而增大.當(dāng)6<tW8時(shí),是二次函數(shù),應(yīng)用配方法或公式法求最值.
A7
略解:由于2'人”所以t=6時(shí),S最大=2";
由于S='(6<tW8,所以t=8時(shí),S最大=6〃3.
=6E.
綜上所述,當(dāng)t=8時(shí),S最大:
4、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為菱形,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),ZA0C=60°,垂直于x
軸的直線1從y軸出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),設(shè)直線1與菱形0ABC的
兩邊分別交于點(diǎn)M、N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方).
1.求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
2.設(shè)AOMN的面積為S,直線/運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0WtW6),試求S與t的函數(shù)表達(dá)式;
3.在題⑵的條件下,t為何值時(shí),S的面積最大?最大面積是多少?
1.分析:由菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)易求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).
解:?.?四邊形OABC為菱形,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),
,0A=AB=BC=C0=4.如圖①,過(guò)點(diǎn)A作ADLOC于D.:NA0C=60°,/.0D=2,AD=2扉.
AA(2,2g),B(6,2g).
2.分析:直線/在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,隨時(shí)間t的變化,^MON的形狀也不斷變化,因此,首先要把
所有情況畫出相應(yīng)的圖形,每一種圖形都要相應(yīng)寫出自變量的取值范圍。這是解決動(dòng)點(diǎn)題關(guān)鍵之一.
直線,從y軸出發(fā),沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)與菱形OABC的兩邊相交有三種情況:
圖③①0WtW2時(shí),直線,與0A、
0C兩邊相交(如圖①).②2<tW4時(shí),直線,與AB、0C兩邊相交(如圖②).
③4<tW6時(shí),直線/與AB、BC兩邊相交(如圖③).
£且
略解:(DVMNXOC,.\ON=t..\MN=0Ntan60°=V3i./.S=2ON.MN=~t2.
②S=,ON?MN=2t?273=73t.
③方法一:設(shè)直線,與x軸交于點(diǎn)H.?;MN=2后-石(t-4)=6后-后t,
££拒
.\S=2MN?0H=2(eV3-V3t)t=--1+3后t.
L£
,,
方法二:設(shè)直線/與X軸交于點(diǎn)H..S=SAOMH-SAONH,.\s=2t-2^3-2t?V3(t-4)=
且r
~t?+3J3t.方法三:設(shè)直線/與x軸交于點(diǎn)H.?.?$=$切。屈電0500吐$2地,
£
S卷挎OABC=4X2石=8后,SACMA/=5?2也?(t-2)=也t-2也,
1_1后
2
方際=2?4?后(t-4)=2t-8^3,拒(6-t)(6-t)=18^3-6V3t+2t,
,S=80-(力t-2后)-(2^t-8后)-(18后-6^t+了t2)=--V+sV^t.
3.求最大面積的時(shí)候,求出每一種情況的最大面積值,然后再綜合每種情況,求出最大值.
包廠
略解:由2知,當(dāng)0WtW2時(shí),s^=~X22=2V3;
點(diǎn)9萬(wàn)
當(dāng)2VtW4時(shí),還大=4^3;當(dāng)4ctW6時(shí),配方得S=-5"(tYV+T,
且氈
.?.當(dāng)t=3時(shí),函數(shù)S=-Tt2+3V3t的最大值是亍.
且逋
但t=3不在4VtW6內(nèi),.?.在4VtW6內(nèi),函數(shù)S=-〒召+353t的最大值不是亍.
且
而當(dāng)t>3時(shí),函數(shù)S=-5-t2+3#t隨t的增大而減小,,當(dāng)4VtW6時(shí),S<4V3.
綜上所述,當(dāng)t=4秒時(shí),大=4上.
5、如圖所示,在直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD的邊AD在x軸上,點(diǎn)A在原點(diǎn),AB=3,AD=5.若矩
形以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿x軸正方向作勻速運(yùn)動(dòng).同時(shí)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿A-B
—C—D的路線作勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng),矩形ABCD也隨之停止運(yùn)動(dòng).
⑴求P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所需的時(shí)間;
⑵設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).
當(dāng)t=5時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
若/OAP的面積為s,試求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式(并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍).
B--------------------iC
0(A)Dx
解:(1)P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所需的時(shí)間=(3+5+3)4-1=11(秒).
(2)當(dāng)t=5時(shí),P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC上,此時(shí)0A=10,AB+BP=5,/.BP=2.
過(guò)點(diǎn)P作PEXAD于點(diǎn)E,則PE=AB=3,AE=BP=2.
.?.0E=0A+AE=10+2=12..,.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,3).
分三種情況:
.當(dāng)0<tW3時(shí),點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng),此時(shí)0A=2t,AP=t,/.s=2X2tXt=t2.
1
.當(dāng)3<tW8時(shí),點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng),止匕時(shí)0A=2t,/.s=2X2tX3=3
t.
.當(dāng)8<t<n時(shí),點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng),此時(shí)0A=2t,AB+BC+CP=t,
.\DP=(AB+BC+CD)-(AB+BC+CP)=11-t./.s=2X2tX(11-t)=-
t2+llt.
綜上所述,s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是:當(dāng)0VtW3時(shí),s=t2;當(dāng)3VtW8時(shí),s=3t;當(dāng)8
<t<ll時(shí),s=-t2+llt.
6、如圖,已知△ABC中,A3=AC=10厘米,BC=8厘米,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn).
(1)如果點(diǎn)尸在線段3C上以3厘米/秒的速度由3點(diǎn)向。點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段C4上由C
點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).
①若點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等,經(jīng)過(guò)1秒后,與△CQP是否全等,請(qǐng)說(shuō)明理
由;
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等,當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí),能夠使△5PD與
△CQP全等?
(2)若點(diǎn)。以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā),點(diǎn)尸以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)3同時(shí)出發(fā),都逆時(shí)針沿
△ABC三邊運(yùn)動(dòng),求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)。第一次在△ABC的哪條邊上相遇?
解:(1)①..:=1秒,A
族=。。=3*1=3厘米,\
;AB=10厘米,點(diǎn)。為A8的中點(diǎn),D/\
.?.30=5厘米./\
又,;PC=BC-BP,BC=8厘米,/\
PC=8—3=5厘米,3〉JC
PC=BD.
又:AB=AC,
:.ZB=ZC,
:.4BPD咨ACQP.......................................................................................(4分)
②:埒j,/.BP^CQ,
又,:4BPD/XCOP,/B=NC,則3P=PC=4,CQ=BD=5,
點(diǎn)P,點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間/==g秒,
.??V=絲=?="厘米/秒....................................(7分)
2?44
3
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)大秒后點(diǎn)P與點(diǎn)。第一次相遇,
由題意,得"x=3x+2xl0,解得了=里秒.
43
.?.點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了以x3=80厘米.
3
80=2x28+24,
???點(diǎn)P、點(diǎn)。在A3邊上相遇,
???經(jīng)過(guò)三秒點(diǎn)P與點(diǎn)。第一次在邊上相遇...................(12分)
7、如圖1,在Rt^ABC中,ZC=90°,BC=8厘米,點(diǎn)D在AC上,CD=3厘米.點(diǎn)P、Q分
別由A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P沿AC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng),速度為每秒k厘米,行完AC全程
用時(shí)8秒;點(diǎn)Q沿CB方向向點(diǎn)B勻速移動(dòng),速度為每秒1厘米.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒(OVxV8),
△DCQ的面積為yi平方厘米,4PCQ的面積為y2平方厘米.
⑴求yi與x的函數(shù)關(guān)系,并在圖2中畫出yi的圖象;
⑵如圖2,y2的圖象是拋物線的一部分,其頂點(diǎn)坐標(biāo)是(4,12),求點(diǎn)P的速度及AC的長(zhǎng);
⑶在圖2中,點(diǎn)G是x軸正半軸上一點(diǎn)(0<OGV6=,過(guò)G作EF垂直于x軸,分別交yi>y2
于點(diǎn)E、F.
①說(shuō)出線段EF的長(zhǎng)在圖1中所表示的實(shí)際意義;
②當(dāng)0<x<6時(shí),求線段EF長(zhǎng)的最大值.
yM
C。一
圖1圖2
2、解:(DVSADCQ^—CQCD,CD=3,CQ=x,
.3
??丹=5%?
圖象如圖所示.
⑵方法一:S^CQ=^CQCP,CP=8k-xk,CQ=x,
2
/.^2=^X(8Z:-AX)-X=-^AX+4AX.
y
???拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是(4,12),
1
.??一一%?492+4左-4=12?
2
解…3?
則點(diǎn)P的速度每秒”米,AC=12厘米?
方法二:觀察圖象知,當(dāng)x=4時(shí),APCQ面積為12.
止匕時(shí)PC=AC—AP=8k—4k=4k,CQ=4.02p46810x
14"x4a
.,.由S”儀=:CQ-CP,得吃—=12.解得左=:.
則點(diǎn)P的速度每秒士厘米,AC=12厘米.
2
方法三:設(shè)y2的圖象所在拋物線的解析式是y=af+bx+c.
:圖象過(guò)(0,0),(4,12),(8,0),
3
c=0,u——,
解得4
/.J16tz+4Z?+c=lZ<b=6,
64a+8b+c=Q.c=0.
3°
??%=——x2+6x.(J)
2
,?*=~CQCP,CP=8k-xk,CQ=x,/.y2=-^kx+4kx.②
比較①②得上==3.
2
則點(diǎn)P的速度每秒2厘米,AC=12厘米.
2
⑶①觀察圖象,知
線段的長(zhǎng)EF=y2—yi,表示APCQ與4DCQ的面積差(或面積).
2
②由(2)得當(dāng)=一3/+6x.(方法二,y9=—x|8x--—%=%+6%)
4-222J4
*.*EF=y2—yi,
;
?.?EEr_------3-x2+ox3x-_3x,H—9x9
4242
???二次項(xiàng)系數(shù)小于0,
27
???在OOV6范圍,當(dāng)x=3時(shí),跖=——最大.
3
【答案】分析:(1)直接根據(jù)三角形的面積公式可得yi=Ex;
1fc33
(2)先設(shè)y2=1x(12-kx)=-2X2+6X,把x=12時(shí),y2=12代入解析式
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