2024-2025學年新教材高中數學第11章解三角形11.1余弦定理課時素養(yǎng)評價含解析蘇教版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)評價十五余弦定理(20分鐘35分)1.在△ABC中,a=7,b=4QUOTE,c=QUOTE,則△ABC的最小角為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由三角形邊角關系可知,角C為△ABC的最小角,則cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因為C∈(0,π),所以C=QUOTE.【補償訓練】在△ABC中,已知a=2QUOTE,b=6+2QUOTE,c=4QUOTE,求A,B,C.【解析】依據余弦定理的推論得,cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因為A∈(0,π),所以A=QUOTE,cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因為C∈(0,π),所以C=QUOTE.所以B=π-A-C=π-QUOTE-QUOTE=QUOTE,所以A=QUOTE,B=QUOTE,C=QUOTE.2.(2024·合肥高一檢測)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=QUOTE,c=2,cosA=QUOTE,則b= ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.3【解析】選D.由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×QUOTE,解得b=3QUOTE.3.(2024·定遠高一檢測)在△ABC中,a2=b2+c2+QUOTEbc,則A等于 ()A.60° B.45° C.120° D.150°【解析】選D.在△ABC中,因為a2=b2+c2+QUOTEbc所以b2+c2-a2=-QUOTEbc,由余弦定理可得cosA=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.又因為A∈(0,π),所以A=150°.4.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a,b,c滿意b2=ac,且c=2a,則cosB=________.

【解析】因為b2=ac,且c=2a,所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.(2024·蘇州高一檢測)在點O的正上方有氣球P,從點O的正西方A點,測得氣球P的仰角為30°,同時從點O南偏東60°的B點,測得氣球P的仰角為45°.若A,B兩點的距離為10QUOTEm,則氣球P離地面的距離為________m.

【解析】依題意可得圖形,且∠OAP=30°,∠AOB=150°,∠OBP=45°,AB=10QUOTE,∠AOP=∠POB=90°,設OP=x,則OB=x,AO=QUOTEx,在△AOB中由余弦定理可得AB2=AO2+BO2-2AO·BO·cos∠AOB,即(10QUOTE)2=(QUOTEx)2+x2-2·QUOTEx·x·cos150°,解得x=10或x=-10(舍去).答案:106.已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(a-c)2=b2-QUOTEac.(1)求cosB的值;(2)若b=QUOTE,且a+c=2b,求ac的值.【解析】(1)由(a-c)2=b2-QUOTEac,可得a2+c2-b2=QUOTEac.所以QUOTE=QUOTE,即cosB=QUOTE.(2)因為b=QUOTE,cosB=QUOTE,由余弦定理得b2=13=a2+c2-QUOTEac=(a+c)2-QUOTEac,又a+c=2b=2QUOTE,所以13=52-QUOTEac,解得ac=12.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A=QUOTE,a=QUOTE,若a-b=ccosB-ccosA,且a≠b,則△ABC的面積為 ()A.2QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解題指南】利用余弦定理統(tǒng)一成邊之后推斷出三角形的形態(tài),然后求其面積.【解析】選B.因為a-b=ccosB-ccosA,所以a-b=c·QUOTE-c·QUOTE,去分母得2a2b-2b2a=a2b+c2b-b3-(b2a+c2a-a3),整理得ab(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2-c2),因為a≠b,所以ab=a2+ab+b2-c2,即a2+b2=c2得△ABC為直角三角形,則S△ABC=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.2.已知銳角三角形ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,則b= (A.10 B.9 C.8 【解析】選D.由23cos2A+cos2A=0得23cos2A+2cos2A-1=0,解得cosA=±QUOTE.因為A是銳角,所以cosA=QUOTE.又因為a2=b2+c2-2bccosA,所以49=b2+36-2×b×6×QUOTE.解得b=5或b=-QUOTE.又因為b>0,所以b=5.3.在△ABC中,a,b,c為角A,B,C的對邊,且b2=ac,則B的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.cosB=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥QUOTE,因為0<B<π,所以B∈QUOTE.【補償訓練】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若C=120°,c=QUOTEa,則a,b的大小關系為 ()A.a>b B.a<bC.a=b D.不能確定【解析】選A.在△ABC中,c2=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab.因為c=QUOTEa,所以2a2=a2+b2+ab,所以a2-b2=ab>0,所以a2>b2,又a,b均為正數,所以a>b.4.△ABC的三邊長分別為AB=7,BC=5,CA=6,則·的值為 ()A.19 B.14 C.-18 D.-19【解析】選D.由余弦定理的推論知cosB=QUOTE=QUOTE,所以·=||·||·cos(π-B)=7×5×QUOTE=-19.【誤區(qū)警示】本題應當特殊留意兩向量的夾角不是角B而是角B的補角,忽視這一點很簡單出錯.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.(2024·本溪高一檢測)在△ABC中,a=5,b=7,c=8,則下列角的正弦值等于QUOTE的是 ()A.角B B.角CC.角A+B D.角A+C【解析】選AD.cosB=QUOTE=QUOTE,則B=60°,A+C=120°,則sinB=QUOTE,sin(A+C)=QUOTE.6.(2024·滕州高一檢測)在△ABC中角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,則下列結論正確的是 ()A.a∶b∶c=4∶5∶7B.△ABC是鈍角三角形C.△ABC的最大內角是最小內角的2倍D.若c=6,則△ABC的面積為QUOTE【解析】選CD.因為(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11所以可設QUOTE(其中x>0),解得:a=4x,b=5x,c=6x,所以a∶b∶c=4∶5∶6,所以A錯誤;由上可知:c邊最大,所以三角形中C角最大,又cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE>0,所以C角為銳角,所以B錯誤;由上可知:a邊最小,所以三角形中A角最小,又cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以cos2A=2cos2A-1=QUOTE,所以cos2A=cosC.由三角形中C角最大且C角為銳角可得2A∈(0,π),C∈QUOTE,所以2A=C,所以C正確;因為sinC=QUOTE=QUOTE,c=6,所以S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTE,所以D正確.【光速解題】本題選項C、D最難求,故可以針對性求解A、B,通過兩選項的錯誤和多選題的基本要求易得CD選項正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.在△ABC中,若a=2bcosC,則△ABC的形態(tài)為________.

【解題指南】因為三角形是僅從邊或者角上進行定義的,故推斷三角形的形態(tài)應當將所給關系式統(tǒng)一,即全部化為角或者全部化為邊后再進行推斷.【解析】因為a=2bcosC=2b·QUOTE=QUOTE,所以a2=a2+b2-c2,即b2=c2,b=c,所以△ABC為等腰三角形.答案:等腰三角形【補償訓練】在△ABC中,acosA+bcosB=ccosC,試推斷三角形的形態(tài).【解析】由余弦定理可知cosA=QUOTE,cosB=QUOTE,cosC=QUOTE,代入已知條件,得a·QUOTE+b·QUOTE+c·QUOTE=0,通分得a2(b2+c2-a2)+b2(c2+a2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0,綻開整理得(a2-b2)2=c4.所以a2-b2=±c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2.依據勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形.8.在△ABC中,設邊a,b,c所對的角為A,B,C,若cosA=QUOTE,則4cos(B+C)·cos2A=________;若同時a=QUOTE,則bc的最大值為________.

【解析】依據題意,在△ABC中,若cosA=QUOTE,則A=QUOTE,則B+C=QUOTE,2A=QUOTE,則4cos(B+C)·cos2A=4cosQUOTEcosQUOTE=4×QUOTE×QUOTE=1,若a=QUOTE,則a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=6,又由(b+c)2≥4bc,則有4bc-3bc=bc≤6,即bc的最大值為6.答案:16四、解答題(每小題10分,共20分)9.在某次地震時,震中A(產生振動的中心位置)的南面有三座東西方向的城市B,C,D.已知B,C兩城市相距20km,C,D兩城市相距34km,C市在B,D兩市之間,如圖所示,某時刻C市感到地表振動,8s后B市感到地表振動,20s后D市感到地表振動,已知震波在地表傳播的速度為每秒1.5km.求震中A到B,C,D三市的距離.【解析】在△ABC中,由題意得AB-AC=1.5×8=12(km).在△ACD中,由題意得AD-AC=1.5×20=30(km).設AC=xkm,AB=(12+x)km,AD=(30+x)km.在△ABC中,cos∠ACB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,在△ACD中,cos∠ACD=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因為B,C,D在一條直線上,所以QUOTE=-QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得x=QUOTE.所以AB=QUOTEkm,AD=QUOTEkm.即震中A到B,C,D三市的距離分別為QUOTEkm,QUOTEkm,QUOTEkm.10.(2024·沈陽高一檢測)已知△ABC同時滿意下列四個條件中的三個:①A=QUOTE;②cosB=-QUOTE;③a=7;④b=3.(1)請指出這三個條件,并說明理由;(2)求△ABC的面積.【解析】(1)△ABC同時滿意①,③,④.理由如下:若△ABC同時滿意①,②.因為cosB=-QUOTE<-QUOTE,且B∈(0,π),所以B>QUOTEπ.所以A+B>π,沖突.所以△ABC只能同時滿意③④.所以a>b,所以A>B,故△ABC不滿意②.故△ABC滿意①,③,④.(2)因為a2=b2+c2-2bccosA,所以72=32+c2-2×3×c×QUOTE.解得c=8,或c=-5(舍).所以△ABC的面積S=QUOTEbcsinA=6QUOTE.1.假如將直角三角形三邊增加同樣的長度,則新三角形的形態(tài)為 ()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.由增加長度確定【解析】選A.設直角三角形的三條邊分別為a,b,c,c為斜邊,設同時增加長度k,則三邊長變?yōu)閍+k,b+k,c+k(k>0),最大角仍為角C,由余弦定理的推論得cosC==QUOTE=QUOTE>0,所以新三角形為銳角三角形.2.在△ABC中,a2+c2=b2+QUOTEac.(1)求B的大小;(2)求QUOTEcosA+cosC的最大值.【解析】(1)由余弦定理得,b2=a2+c2-