2025屆高考數學一輪復習第二章函數導數及其應用第九節(jié)函數模型及其應用教師文檔教案文北師大版

PAGE第九節(jié)函數模型及其應用授課提示：對應學生用書第34頁[基礎梳理]1．幾類常見的函數模型函數模型函數解析式一次函數模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)反比例函數模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數且k≠0)二次函數模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)指數函數模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a＞0且a≠1)對數函數模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a＞0且a≠1)冪函數模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)2.三種函數模型的性質函數性質y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖像的改變隨x的增大漸漸表現為與y軸平行隨x的增大漸漸表現為與x軸平行隨n值改變而各有不同值的比較存在一個x0，當x>x0時，有l(wèi)ogax＜xn＜ax解決實際應用問題的一般步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型．(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學學問，建立相應的數學模型．(3)求模：求解數學模型，得出數學結論．(4)還原：將數學問題還原為實際問題的意義，以上過程用框圖表示如下：[四基自測]1．(基礎點：指數函數換型)某種產品的產量原來是a件，在今后m年內，支配使每年的產量比上一年增加p%，則該產品的產量y隨年數x改變的函數解析式為()A．y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m)B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)C．y＝a(1＋xp%)(0＜x＜m)D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N)答案：B2．(基礎點：擬合函數模型)在某種新型材料的研制中，試驗人員獲得了下列一組試驗數據．現打算用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規(guī)律，其中最接近的一個是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y＝2x B．y＝log2xC．y＝eq\f(1,2)(x2－1) D．y＝2.61cosx答案：B3．(基礎點：分段函數模型)某城市客運公司確定客票價格的方法是：假如行程不超過100km，票價是0.5元/km，假如超過100km，超過100km的部分按0.4元/km定價，則客運票價y(元)與行駛千米數x(km)之間的函數關系式是________．答案：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x，0≤x≤100,0.4x＋10，x＞100))4．(基礎點：二次函數模型)有一批材料可以建成200m長的圍墻，假如用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成的矩形最大面積為________．(圍墻厚度不計)答案：2500m2授課提示：對應學生用書第35頁考點一由函數圖像刻畫改變過程挖掘體會函數中變量的關系/自主練透[例](1)(2024·安陽模擬)如圖是張大爺晨練時所走的離家距離(y)與行走時間(x)之間的函數關系圖，若用黑點表示張大爺家的位置，則張大爺漫步行走的路途可能是()[解析]由圖形可知，張大爺的行走路途是：起先一段時間離家越來越遠，然后有一段時間離家的距離不變，然后離家越來越近，C符合．[答案]C(2)2024年6月，上海合作組織青島峰會后，青島成為國內外旅游的好去處，隨著游客的增加，菜價上漲，某部門為盡快實現穩(wěn)定菜價，提出四種綠色運輸方案．據預料，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內完成預料的運輸任務Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數關系如圖所示，在這四種方案中，運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是()[解析]由運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高得曲線上的點的切線斜率應當漸漸增大．[答案]B[破題技法]推斷函數圖像與實際問題中兩變量改變過程相吻合的兩種方法(1)構建函數模型法：當依據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖像．(2)驗證法：當依據題意不易建立函數模型時，則依據實際問題中兩變量的改變特點，結合圖像的改變趨勢，驗證是否吻合，從中解除不符合實際的狀況，選擇出符合實際狀況的答案．考點二已知函數模型的實際問題挖掘函數模型的應用/互動探究[例]為了實行習近平總書記提出的“決戰(zhàn)決勝脫貧攻堅戰(zhàn)”，某地開展了“萬名干部下基層”，以實際行動踐行初心使命，某工作隊結合所駐村的自然條件，幫助村民投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，依據以往的種菜閱歷，發(fā)覺種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬元)滿意P＝80＋4eq\r(2a)，Q＝eq\f(1,4)a＋120，設甲大棚的投入為x(單位：萬元)，每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)．(1)求f(50)的值；(2)試問如何支配甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？[解析](1)由題意知甲大棚投入50萬元，則乙大棚投入150萬元，∴f(50)＝80＋4eq\r(2×50)＋eq\f(1,4)×150＋120＝277.5(萬元)．(2)f(x)＝80＋4eq\r(2x)＋eq\f(1,4)(200－x)＋120＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋250，依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥20，,200－x≥20))?20≤x≤180，故f(x)＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋250(20≤x≤180)．令t＝eq\r(x)，則t∈[2eq\r(5)，6eq\r(5)]，y＝－eq\f(1,4)t2＋4eq\r(2)t＋250＝－eq\f(1,4)(t－8eq\r(2))2＋282，當t＝8eq\r(2)，即x＝128時，f(x)取得最大值，f(x)max＝282.∴甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時，總收益最大，且最大總收益為282萬元．[破題技法]對于已知函數模型解決問題(1)將題目中已知函數變量轉化為實際量理解．(2)依據實際意義，求自變量x的取值范圍(定義域)．(3)依據函數模型，確定要解決的問題及方法．(4)回答實際問題．考點三構建函數模型的實際問題挖掘1構建一次函數、二次函數、分段函數模型/自主練透[例1](2024·西寧模擬)牧場中羊群的最大畜養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長空間，實際畜養(yǎng)量不能達到最大畜養(yǎng)量，必需留出適當的空閑量．已知羊群的年增長量y只和實際畜養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比，比例系數為k(k>0)．(1)寫出y關于x的函數關系式，并指出這個函數的定義域；(2)求羊群年增長量的最大值；(3)當羊群的年增長量達到最大值時，求k的取值范圍．[解析](1)依據題意，由于最大畜養(yǎng)量為m只，實際畜養(yǎng)量為x只，則畜養(yǎng)率為eq\f(x,m)，故空閑率為1－eq\f(x,m)，由此可得y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m)))(0<x<m)．(2)對原二次函數配方，得y＝－eq\f(k,m)(x2－mx)＝－eq\f(k,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(km,4).即當x＝eq\f(m,2)時，y取得最大值eq\f(km,4).(3)由題意知為給羊群留有肯定的生長空間，則有實際畜養(yǎng)量與年增長量的和小于最大畜養(yǎng)量，即0<x＋y<m.因為當x＝eq\f(m,2)時，ymax＝eq\f(km,4)，所以0<eq\f(m,2)＋eq\f(km,4)<m，解得－2<k<2.又因為k>0，所以0<k<2.挖掘2構建y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)函數模型/互動探究[例2](2024·煙臺模擬)小王高校畢業(yè)后，確定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)．經過市場調查，生產某小型電子產品需投入年固定成本為3萬元，每生產x萬件，需另投入流淌成本為W(x)萬元．在年產量不足8萬件時，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋x(萬元)；在年產量不小于8萬件時，W(x)＝6x＋eq\f(100,x)－38(萬元)．每件產品售價為5元．通過市場分析，小王生產的商品能當年全部售完．(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產量x(萬件)的函數解析式；(注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流淌成本)(2)年產量為多少萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？[解析](1)因為每件產品售價為5元，則x萬件產品的銷售收入為5x萬元，依題意得：當0<x<8時，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋x))－3＝－eq\f(1,3)x2＋4x－3，當x≥8時，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(100,x)－38))－3＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))，所以L(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0<x<8，,35－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))，x≥8.))(2)當0<x<8時，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋9，此時，當x＝6時，L(x)取得最大值L(6)＝9(萬元)．當x≥8時，L(x)＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq\r(x·\f(100,x))＝35－20＝15(萬元)．此時，當且僅當x＝eq\f(100,x)，即x＝10時，L(x)取得最大值15萬元．因為9<15，所以當年產量為10萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元．挖掘3構建指數、對數模型的實際問題/互動探究[例3]候鳥每年都要隨季節(jié)的改變而進行大規(guī)模地遷徙，探討某種鳥類的專家發(fā)覺，該種鳥類的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關系為：v＝a＋blog3eq\f(Q,10)(其中a，b是實數)．據統(tǒng)計，該種鳥類在靜止的時候其耗氧量為30個單位，而其耗氧量為90個單位時，其飛行速度為1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，則其耗氧量至少要多少個單位？[解析](1)由題意可知，當這種鳥類靜止時，它的速度為0m/s，此時耗氧量為30個單位，故有a＋blog3eq\f(30,10)＝0，即a＋b＝0；當耗氧量為90個單位時，速度為1m/s，故a＋blog3eq\f(90,10)＝1，整理得a＋2b＝1.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,a＋2b＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1.))(2)由(1)知，v＝a＋blog3eq\f(Q,10)＝－1＋log3eq\f(Q,10).所以要使飛行速度不低于2m/s，則有v≥2，即－1＋log3eq\f(Q,10)≥2，即log3eq\f(Q,10)≥3，解得Q≥270.所以若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，則其耗氧量至少要270個單位．挖掘4擬合函數的選擇/互動探究[例4]某種特色水果每年的上市時間從4月1號起先僅能持續(xù)5個月的時間．上市初期價格呈現上漲態(tài)勢，中期價格起先下降，后期價格在原有價格基礎之上接著下跌．現有三種價格改變的模擬函數可供選擇：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋7；③f(x)＝logq(x＋p)．其中p，q均為常數且q＞1.(注：x表示上市時間，f(x)表示價格，記x＝0表示4月1號，x＝1表示5月1號，…，以此類推x∈[0，5])(1)在上述三個價格模擬函數中，哪一個更能體現該種水果的價格改變態(tài)勢，請你選擇，并簡要說明理由；(2)對(1)中所選的函數f(x)，若f(2)＝11，f(3)＝10，記g(x)＝eq\f(f（x）－2x－13,x＋1)，經過多年的統(tǒng)計發(fā)覺，當函數g(x)取得最大值時，拓展外銷市場的效果最為明顯，請預料明年拓展外銷市場的時間是幾月1號？[解析](1)依據題意，該種水果價格改變趨勢是先單調遞增后始終單調遞減，基本符合開口向下的二次函數改變趨勢，故應當選擇②f(x)＝px2＋qx＋7.(2)由f(2)＝11，f(3)＝10解得f(x)＝－x2＋4x＋7.g(x)＝eq\f(f（x）－2x－13,x＋1)＝－eq\f(x2－2x＋6,x＋1)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,x＋1)＋（x＋1）－4)).因為－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,x＋1)＋（x＋1）－4))≤－2，當且僅當x＋1＝3即x＝2時等號成立．所以明年拓展外銷的時間應為6月1號．[破題技法]1.建立函數模型的技巧(1)在實際問題中，若兩個變量之間的關系是直線上升或直線下