北師大版必修一課后作業(yè)第二章　函數(shù)22（一）

2.2函數(shù)的表示法(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)的三種表示法及各自的優(yōu)缺點.2.掌握求函數(shù)解析式的常見方法.3.嘗試作圖并從圖像上獲取有用的信息．知識點一解析法思考一次函數(shù)如何表示？答案y＝kx＋b(k≠0)．梳理一個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系可以用自變量的解析表達(dá)式(簡稱解析式)表示出來，這種方法稱為解析法．知識點二圖像法思考要知道林黛玉長什么樣，你覺得一個字的描述和一張二寸照片哪個更直觀？答案一張二寸照片．梳理用圖像把兩個變量間的函數(shù)關(guān)系表示出來的方法，稱為圖像法．知識點三列表法思考在街頭隨機(jī)找100人，請他們依次隨意地寫一個數(shù)字．設(shè)找的人序號為x，x＝1,2,3，…，100.第x個人寫下的數(shù)字為y，則x與y之間是不是函數(shù)關(guān)系？能否用解析式表示？答案對于任意一個人的序號x，都有一個他寫的數(shù)字y與之對應(yīng)，故x，y之間是函數(shù)關(guān)系，但因為人是隨機(jī)找的，數(shù)字是隨意寫的，故難以用解析式表示．這時可以制作一個表格來表示x的值與y的值之間的對應(yīng)關(guān)系．梳理用表格的形式表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法，稱為列表法．函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點：類型一解析式的求法例1根據(jù)下列條件，求f(x)的解析式．(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)為一次函數(shù)；解由題意，設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1，由恒等式性質(zhì)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2，,ab＋b＝－1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)，,b＝1－\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\r(2)，,b＝1＋\r(2).))∴所求函數(shù)解析式為f(x)＝eq\r(2)x＋1－eq\r(2)或f(x)＝－eq\r(2)x＋1＋eq\r(2).(2)f(x＋eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)；解∵f(x＋eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)＝(x＋eq\f(1,x))2－2，∴f(x)＝x2－2.又x≠0，∴x＋eq\f(1,x)≥2或x＋eq\f(1,x)≤－2，∴f(x)中的x與f(x＋eq\f(1,x))中的x＋eq\f(1,x)取值范圍相同，∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.解∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，將x換成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，∴聯(lián)立以上兩式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝eq\f(1,3)x2－2x.反思與感悟(1)如果已知函數(shù)類型，可以用待定系數(shù)法．(2)如果已知f(g(x))的表達(dá)式，想求f(x)的解析式，可以設(shè)t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一個x都換成t的表達(dá)式．(3)如果條件是一個關(guān)于f(x)、f(－x)的方程，我們可以用x的任意性進(jìn)行賦值．如把每一個x換成－x，其目的是再得到一個關(guān)于f(x)、f(－x)的方程，然后消元消去f(－x)．跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列條件，求f(x)的解析式．(1)f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；解由題意，設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性質(zhì)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,3a＋2b＝9，))∴a＝1，b＝3.∴所求函數(shù)解析式為f(x)＝x＋3.(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；解設(shè)x＋1＝t，則x＝t－1，f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函數(shù)解析式為f(x)＝x2＋2x－2.(3)2f(eq\f(1,x))＋f(x)＝x(x≠0)．解∵f(x)＋2f(eq\f(1,x))＝x，將原式中的x與eq\f(1,x)互換，得f(eq\f(1,x))＋2f(x)＝eq\f(1,x).于是得關(guān)于f(x)的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋2f\f(1,x)＝x，,f\f(1,x)＋2fx＝\f(1,x)，))解得f(x)＝eq\f(2,3x)－eq\f(x,3)(x≠0)．類型二圖像的畫法及應(yīng)用eq\x(命題角度1畫函數(shù)圖像)例2試畫出函數(shù)y＝eq\r(1－x2)的圖像．解由1－x2≥0解得函數(shù)定義域為[－1,1]．當(dāng)x＝±1時，y有最小值0.當(dāng)x＝0時，y有最大值1.x＝±eq\f(1,2)時，y＝eq\f(\r(3),2).利用以上五點描點連線，即得函數(shù)y＝eq\r(1－x2)的圖像如下：反思與感悟描點法作函數(shù)圖像的三個關(guān)注點(1)畫出函數(shù)圖像時首先應(yīng)關(guān)注函數(shù)的定義域，即在定義域內(nèi)作圖．(2)圖像是實線或?qū)嶞c，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖像．(3)要標(biāo)出某些關(guān)鍵點，例如圖像的頂點、端點、與坐標(biāo)軸的交點等．要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點．跟蹤訓(xùn)練2作出下列函數(shù)的圖像并求出其值域．(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝eq\f(2,x)，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．解(1)列表：x0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)2y12345當(dāng)x∈[0,2]時，圖像是直線的一部分，觀察圖像可知，其值域為[1,5]．(2)列表：x2345…y1eq\f(2,3)eq\f(1,2)eq\f(2,5)…當(dāng)x∈[2，＋∞)時，圖像是反比例函數(shù)y＝eq\f(2,x)的一部分，觀察圖像可知其值域為(0,1]．(3)列表：x－2－1012y0－1038圖像是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x≤2之間的部分．由圖可得函數(shù)的值域是[－1,8]．eq\x(命題角度2函數(shù)圖像的應(yīng)用)例3已知f(x)的圖像如圖所示，則f(x)的定義域為________，值域為________．答案[－2,4]∪[5,8][－4,3]解析函數(shù)的定義域?qū)?yīng)圖像上所有點橫坐標(biāo)的取值集合，值域?qū)?yīng)縱坐標(biāo)的取值集合．反思與感悟函數(shù)圖像很直觀，在解題過程中常用來幫助理解問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，尋求最優(yōu)解．跟蹤訓(xùn)練3函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的圖像與y＝m有兩個交點，求實數(shù)m的取值范圍．解f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)圖像如圖，f(x)與直線y＝m圖像有2個不同交點，由圖易知－1<m≤3.類型三列表法及函數(shù)表示法的選擇例4下表是某校高一(1)班三名同學(xué)在高一學(xué)年度六次數(shù)學(xué)測試的成績及班級平均分表.測試序號成績姓名第1次第2次第3次第4次第5次第6次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班級平均分88.278.385.480.375.782.6(1)選擇合適的方法表示測試序號與成績的關(guān)系；(2)根據(jù)表示出來的函數(shù)關(guān)系對這三位同學(xué)的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行分析．解(1)不能用解析法表示，用圖像法表示為宜．在同一個坐標(biāo)系內(nèi)畫出這四個函數(shù)的圖像如下：(2)王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)成績始終高于班級平均水平，學(xué)習(xí)情況比較穩(wěn)定而且成績優(yōu)秀．張城同學(xué)的數(shù)學(xué)成績不穩(wěn)定，總是在班級平均水平上下波動，而且波動幅度較大．趙磊同學(xué)的數(shù)學(xué)成績低于班級平均水平，但他的成績曲線呈上升趨勢，表明他的數(shù)學(xué)成績在穩(wěn)步提高．反思與感悟函數(shù)的三種表示方法都有各自的優(yōu)點，有些函數(shù)能用三種方法表示，有些只能用其中的一種來表示．跟蹤訓(xùn)練4若函數(shù)f(x)如下表所示：x0123f(x)3210則f(f(1))＝________.答案1解析∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝1.1．已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(f(3))等于()x1234f(x)3241A.1B．2C．3D．4答案A2．如果二次函數(shù)的圖像開口向上且關(guān)于直線x＝1對稱，且過點(0,0)，則此二次函數(shù)的解析式可以是()A．f(x)＝x2－1B．f(x)＝－(x－1)2＋1C．f(x)＝(x－1)2＋1D．f(x)＝(x－1)2－1答案D3．已知正方形的邊長為x，它的外接圓的半徑為y，則y關(guān)于x的解析式為()A．y＝eq\f(\r(2),2)x B．y＝eq\f(\r(2),4)xC．y＝eq\f(\r(2),8)x D．y＝eq\f(\r(2),16)x答案A4．某同學(xué)從家里到學(xué)校，為了不遲到，先跑步，跑累了再走余下的路，設(shè)在途中花的時間為t，離開家里的路程為d，下面圖形中，能反映該同學(xué)的行程的是()答案C5．畫出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的圖像，并求出y的最大值，最小值．解y＝2x2－4x－3(0<x≤3)的圖像如下：由圖易知，當(dāng)x＝3時，ymax＝2×32－4×3－3＝3.由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，∴當(dāng)x＝1時，y有最小值－5.1．如何求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式的關(guān)鍵是理解對應(yīng)關(guān)系f的本質(zhì)與特點(對應(yīng)關(guān)系就是對自變量進(jìn)行對應(yīng)處理的操作方法，與用什么字母表示無關(guān))，應(yīng)用適當(dāng)?shù)姆椒?，注意有的函?shù)要注明定義域．主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、解方程組法(消元法)．2．如何作函數(shù)的圖像一般地，作函數(shù)圖像主要有三步：列表、描點、連線．作圖像時一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)所列表中的點描出圖像，畫圖時要注意一些關(guān)鍵點，如與坐標(biāo)軸的交點，端點的虛、實問題等．3．如何用函數(shù)圖像常借助函數(shù)圖像研究定義域、值域、函數(shù)變化趨勢及兩個函數(shù)圖像交點問題．課時作業(yè)一、選擇題1．一次函數(shù)f(x)的圖像過點A(－1,0)和B(2,3)，則下列各點在函數(shù)f(x)的圖像上的是()A．(2,1) B．(－1,1)C．(1,2) D．(3,2)答案C解析設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝kx＋b，又圖像過點A(－1,0)，B(2,3)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－k＋b＝0，,2k＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝1.))故y＝x＋1.結(jié)合選項中各點的坐標(biāo)，C中的點(1,2)滿足y＝x＋1.2．一個面積為100cm2的等腰梯形，上底長為xcm，下底長為上底長的3倍，則把它的高y表示成x的函數(shù)為()A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)C．y＝eq\f(50,x)(x>0) D．y＝eq\f(100,x)(x>0)答案C解析由eq\f(x＋3x,2)·y＝100，得2xy＝100.∴y＝eq\f(50,x)(x>0)．3．如果f(eq\f(1,x))＝eq\f(x,1－x)，則當(dāng)x≠0,1時，f(x)等于()A.eq\f(1,x)B.eq\f(1,x－1)C.eq\f(1,1－x)D.eq\f(1,x)－1答案B解析令eq\f(1,x)＝t，則x＝eq\f(1,t)，代入f(eq\f(1,x))＝eq\f(x,1－x)，則有f(t)＝eq\f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq\f(1,t－1)，故選B.4.函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的解析式為()A．f(x)＝(x－a)2(b－x)B．f(x)＝(x－a)2(x＋b)C．f(x)＝－(x－a)2(x＋b)D．f(x)＝(x－a)2(x－b)答案A解析由圖像知，當(dāng)x＝b時，f(x)＝0，故排除B，C；又當(dāng)x>b時，f(x)<0，故排除D.故選A.5．函數(shù)y＝eq\f(x,1＋x)的大致圖像是()答案A解析y＝eq\f(x,1＋x)定義域為{x|x≠－1}，排除C、D，當(dāng)x＝0時，y＝0，排除B.6．若函數(shù)f(x)滿足f(3x＋2)＝9x＋8，則f(x)的解析式是()A．f(x)＝9x＋8B．f(x)＝3x＋2C．f(x)＝－3x－4D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4答案B解析設(shè)t＝3x＋2，則x＝eq\f(t－2,3)，所以f(t)＝3(t－2)＋8＝3t＋2，所以f(x)＝3x＋2.二、填空題7．若g(x)＝1－2x，f(g(x))＝eq\f(1－x2,x2)，則f(eq\f(1,2))的值為______．答案15解析令1－2x＝eq\f(1,2)，則x＝eq\f(1,4)，∴f(eq\f(1,2))＝eq\f(1－\f(1,4)2,\f(1,4)2)＝15.8．若正比例函數(shù)y＝(m－1)xm2－3的圖像經(jīng)過二、四象限，則m＝________答案－2解析因為y＝(m－1)xm2－3是正比例函數(shù)，所以有m2－3＝1，m＝±2.又圖像經(jīng)過二、四象限，所以m＝－2.9．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出：則滿足f(g(x))＝g(f(x))的x的值為________.x1234f(x)1313g(x)3232答案2或4解析x＝1時，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3.x＝2時，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝3.x＝3時，f(g(3))＝f(3)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3.x＝4時，f(g(4))＝f(2)＝3，g(f(4))＝g(3)＝3.滿足f(g(x))＝g(f(x))的x的值只有2或4.10．如圖，函數(shù)f(x)的圖像是折線段ABC，其中點A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(f(2)))＝________.答案2解析由題意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2.因此，有f(f(f(2)))＝f(f(0))＝f(4)＝2.三、解答題11．求下列函數(shù)的解析式：(1)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)；(2)已知3f(x)＋2f(－x)＝x＋3，求f(x)．解(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2.由f(x＋1)－f(x)＝x－1，得恒等式2ax＋a＋b＝x－1，得a＝eq\f(1,2)，b＝－eq\f(3,2).故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2.(2)由3f(x)＋2f(－x)＝x＋3，①x用－x代換得3f(－x)＋2f(x)＝－x＋3，②解①②得f(x)＝x＋eq\f(3,5).12．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(1)＝0，f(2)＝－3.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(eq\f(1,\r(x＋1)))的解析式及其定義域．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝12－b＋c＝0，,f2＝22－2b＋c＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝6，,c＝5.))∴f(x)＝x2－6x＋5.(2)f(eq\f(1,\r(x＋1)))＝(eq\f(1,\r(x＋1