第07講不等關系不等式的基本性質不等式的解集

第07講不等關系、不等式的基本性質、不等式的解集思維導圖核心考點聚焦1.不等式的定義2.列不等式3.不等式的基本性質4.利用不等式的基本性質解不等式5.不等式的解6.不等式的解集1.不等式的概念：一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小關系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關系的式子也是不等式．特別說明：(1)不等號“＜”或“＞”表示不等關系，它們具有方向性，不等號的開口所對的數(shù)較大．(2)五種不等號的讀法及其意義：符號讀法意義“≠”讀作“不等于”它說明兩個量之間的關系是不相等的，但不能確定哪個大，哪個小“＜”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小“＞”讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量大“≤”讀作“小于或等于”即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量“≥”讀作“大于或等于”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量(3)有些不等式中不含未知數(shù)，如3＜4，1＞2；有些不等式中含有未知數(shù)，如2x＞5中，x表示未知數(shù)，對于含有未知數(shù)的不等式，當未知數(shù)取某些值時，不等式的左、右兩邊符合不等號所表示的大小關系，我們說不等式成立，否則，不等式不成立．2.不等式的基本性質不等式的基本性質1：不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性質2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．特別說明：不等式的基本性質的掌握注意以下幾點：(1)不等式的基本性質是對不等式變形的重要依據(jù)，是學習不等式的基礎，它與等式的兩條性質既有聯(lián)系，又有區(qū)別，注意總結、比較、體會．(2)運用不等式的性質對不等式進行變形時，要特別注意性質2和性質3的區(qū)別，在乘(或除以)同一個數(shù)時，必須先弄清這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，如果是負數(shù)，不等號的方向要改變．3.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.4.不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．注意：不等式的解是具體的未知數(shù)的值，不是一個范圍不等式的解集是一個集合，是一個范圍．其含義：①解集中的每一個數(shù)值都能使不等式成立；②能夠使不等式成立的所有數(shù)值都在解集中1.充分理解不等式的概念，特別注意的是用“≠”表示不等關系的式子也是不等式．2.不等式的基本性質中，左右兩邊乘或除以不為0的數(shù).3.不等式的解與不等式的解集之間的區(qū)別與聯(lián)系.考點剖析考點一、不等式的定義例題：在下列數(shù)學表達式中，不等式的個數(shù)是（）①；②；③；④；⑤．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解析】不等式有：①；②；④；⑤；所以共有4個．故選C．【變式訓練】1．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解析】①；②；⑤；⑥是不等式，∴共個不等式．故選．2．下列式子：；；；；．其中是不等式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【解析】不等式有；；，故選B．考點二、列不等式例題：將“x與3的和小于5”用不等式表示為．【答案】【解析】根據(jù)題意，得．故答案為：．【變式訓練】1．根據(jù)數(shù)量關系“x的2倍與y的差大于3”，列不等式：．【答案】【解析】解∶“x的2倍與y的差大于3”可表示為．故答案為∶．2．據(jù)氣象臺報道．2023年2月14日鄭州市的最高氣溫為，最低氣溫為，則當天氣溫的變化范圍是．【答案】/【解析】由鄭州市的最高氣溫為，最低氣溫為，可得當天氣溫的變化范圍是，故答案為：．考點三、不等式的基本性質例題：下列不等式的變形正確的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】D【解析】A.當時，，，故選項錯誤，不符合題意；

B.當，，，故選項錯誤，不符合題意；C.當，由，得，故選項錯誤，不符合題意；

D.由，得，故選項正確，符合題意．故選D．【變式訓練】1．若，則下列結論成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A選項，由，可得，原變形錯誤，不符合題意；對于B選項，由，可得，原變形錯誤，不符合題意；對于C選項，由，可得，原變形錯誤，不符合題意；對于D選項，由，可得，原變形正確，符合題意；故選D．2．下列說法錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若，則【答案】C【解析】A、若，則是正確的；B、若，那么，則是正確的；C、若且，當，則；當，則，當時，則，所以故該選項是錯誤的；D、若，則，因為，所以，則，故該選項是正確的；故選C?？键c四、利用不等式的基本性質解不等式例題：根據(jù)不等式的性質，把下列不等式化為“”或“”的形式（a為常數(shù)）．(1)；(2)．【解析】（1）不等式兩邊同時加得，，不等號兩邊同時除以5得，；（2）不等號兩邊同時乘以3得，，不等號兩邊同時減1得，，不等號兩邊同時除以得，．【變式訓練】1．把下列各不等式化成“”或“”的形式．(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1），，；（2），，；（3），，；（4），，．2．將下列不等式化成“”或“”的形式：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）兩邊同時減去得：，即；（2）兩邊同時加上2得：，兩邊同時乘得：；（3），兩邊同時除以得：；（4），兩邊同時減去得：，合并同類項得：，兩邊同時乘2得：．考點五、不等式的解例題：下列各數(shù)，是不等式的解的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A、，所以3不是不等式的解，故本選項不符合題意；B、，所以1不是不等式的解，故本選項不符合題意；C、，所以1不是不等式的解，故本選項不符合題意；D、，所以是不等式的解，故本選項符合題意；故選D．【變式訓練】1．如果是某不等式的解，那么該不等式可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴是不等式的解，故D正確．故選D．2．下列說法中，正確的是（

）A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集【答案】A【解析】A、當x＝3時，2×3＞1，成立，故A符合題意；B、當x＝3時，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合題意；C、當x＝3時，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合題意；D、當x＝3時，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集為：x＞，故D不符合題意；故選A．考點六、不等式的解集例題：下列說法錯誤的是（

）A．不等式的解集是3 B．3是不等式的解C．不等式的解集是 D．是不等式的解集【答案】A【解析】解∶A、3是不等式的解，但是不等式的解集不是3，故本選項錯誤，符合題意；B、3是不等式的解，說法正確，故本選項不符合題意；C、不等式的解集是，說法正確，故本選項不符合題意；D、是不等式的解集，說法正確，故本選項不符合題意．故選∶A．【變式訓練】1．下列說法錯誤的是（

）A．不等式的解集是B．不等式的整數(shù)解有無數(shù)個C．不等式的整數(shù)解是0D．是不等式的一個解【答案】C【解析】A、不等式x?3＞2的解集是x＞5，正確，不符合題意；B、由于整數(shù)包括負整數(shù)、0、正整數(shù)，所以不等式x＜3的整數(shù)解有無數(shù)個，正確，不符合題意；C、不等式x＋3＜3的解集為x＜0，所以不等式x＋3＜3的整數(shù)解不能是0，錯誤，符合題意；D、由于不等式2x＜3的解集為x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一個解，正確，不符合題意．故選C．2．如果關于的不等式的解集為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】關于的不等式的解集為，，解得，故選C．過關檢測一、選擇題1．已知，則下列不等式一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，所以符合題意．故選D．2．x與y的差為負數(shù)，用不等式表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】與的差是；差是負數(shù)，．故選A．3．給出下列數(shù)學式：①；②；③；④；⑤．其中不等式的個數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．1【答案】C【解析】③是等式，④是代數(shù)式，沒有不等關系，所以不是不等式．不等式有①②⑤，共3個．故選C．4．下列判斷中，不正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】A．若，則，故A正確，不符合題意；B．若，則，故B正確，不符合題意；C．當時，則，故C錯誤，符合題意；D．若，則，故D正確，不符合題意．故選C．5．下列說法錯誤的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、【答案】D【解析】A選項，把代入不等式，不等式成立，故正確；B選項，把代入不等式，不等式成立，故正確；C選項，解不等式得，故正確；D選項，不是不等式的解，故錯誤．故選D．二、填空題6．在，，，四個數(shù)中，是不等式的解．【答案】6【解析】，，在，，，四個數(shù)中，符合條件的只有，即是不等式的解，故答案為：．7．“x的倍與的和大于”用不等式表示．【答案】【解析】∵x的2倍為，∴x的2倍與3的和大于35可表示為：，故答案為：．8．已知，試比較大?。海ㄌ睢啊被颉啊保敬鸢浮俊窘馕觥俊撸?，故答案為：．9．有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有個．【答案】3【解析】①是用“＞”連接的式子，是不等式，符合題意；②是用“≤”連接的式子，是不等式，符合題意；③是等式，不是不等式，不符合題意；④沒有不等號，不是不等式，不符合題意；⑤是用“＞”連接的式子，是不等式，符合題意；∴不等式有①②⑤共3個，故答案為：3．10．已知關于x的不等式的解集為，則a的取值范圍為．【答案】【解析】∵不等式的解集為，∴，∴a的取值范圍為：，故答案為：．三、解答題11．說出下列不等式的變形依據(jù)．(1)若，則；(2)若，則．【解析】（1）由，得，根據(jù)不等式的性質1，不等式的兩邊同時加1，不等號的方向不變；（2）由，得，根據(jù)不等式的性質3，不等式的兩邊同除以，不等號的方向改變．12．判斷下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）52；（7）．【解析】等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7），既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）．13．用不等式表示：(1)0大于；(2)x減去y不大于；(3)a的倍與的和是非負數(shù)；(4)a的與b的平方的和為正數(shù)．【解析】（1）0大于表示為：；（2）x減去y不大于表示為：；（3）a的倍與的和是非負數(shù)表示為：；（4）a的與b的平方的和為正數(shù)：．14．將下列不等式化成“”或“”的形式．(1)；(2)．【解析】（1），不等式兩邊同時乘以，可得，（2），不等式兩邊同時減，可得，不等式兩邊同時減，可得，系數(shù)化為，可得，15．試寫出一個不等式，使它的解集滿足下列條件：（1）是不等式的一個解；（2），，0都是不等式的解；（3）不等式的正整數(shù)解只有1，2，3；（4）不等式的非正整數(shù)解只有，，0；（5）不等式的解中不含0．【解析】（1）滿足題意的不等式為（答案不唯一）；（2）滿足題意的不等式為（答案不唯