河北省邢臺市部分高中高三下學期二模試題數(shù)學

數(shù)學試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘．第I卷（選擇題共58分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．下列集合關(guān)系不成立的是（）A． B．C． D．2．若，則的虛部為（）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列的首項為1，公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則的第5項為（）A． B． C．或1 D．或14．已知向量在向量上的投影向量為，且，則的值為（）A．1 B． C． D．5．已知函數(shù)的圖像在，兩個不同點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．的最小正周期 B．的圖像關(guān)于點中心對稱C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增7．已知實數(shù)，滿足，則的最小值與最大值之和為（）A．4 B．5 C．6 D．78．設，，，為拋物線上不同的四點，點，關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，平行于該拋物線在點處的切線，設點到直線和直線的距離分別為，，且，則（）A． B． C． D．二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．下列結(jié)論正確的是（）A．若樣本數(shù)據(jù)，，，，，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，，，，的方差為17B．一組數(shù)據(jù)8，9，10，11，12的第80百分位數(shù)是11.5C．用比較兩個模型的擬合效果時，若越大，則相應模型的擬合效果越好D．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設，求得線性回歸方程為，則，的值分別是和210．若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的值可以是（）A． B． C． D．211．把底面為橢圓且母線與底面均垂直的柱體稱為“橢圓柱”．如圖，橢圓柱中橢圓長軸，短軸，，為下底面橢圓的左、右焦點，為上底面橢圓的右焦點，，為線段上的動點，為線段上的動點，為過點的下底面的一條動弦（不與重合），則（）A．當平面時，為的中點B．三棱錐外接球的表面積為C．若點是下底面橢圓上的動點，是點在上底面的射影，且，與下底面所成角分別為，，則的最大值為D．三棱錐體積的最大值為8第II卷（非選擇題共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知，則________．13．如圖，四邊形和是兩個相同的矩形，面積均為300，圖中陰影部分也是四個相同的矩形，現(xiàn)將陰影部分分別沿，，，折起，得到一個無蓋長方體，則該長方體體積的最大值為________．14．在中，，，點與點分別在直線的兩側(cè)，且，，則的長度的最大值是________．四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．（13分）如圖，已知四邊形為等腰梯形，為以為直徑的半圓弧上一點，平面平面，為的中點，為的中點，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．16．（15分）已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）求證：．17．（15分）“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學生．為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學里挑選優(yōu)秀學生參加數(shù)學、物理、化學學科夏令營活動．（1）若數(shù)學組的7名學員中恰有3人來自中學，從這7名學員中選取3人，記表示選取的人中來自中學的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩道題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利．已知甲、乙兩位同學組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，．假設甲、乙兩人每次答題相互獨立，且互不影響．當時，求甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值．18．（17分）將上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標不變），所得曲線為．記，，過點的直線與交于不同的兩點，，直線，與的另一個交點分別為，．（1）求的方程；（2）設直線，的傾斜角分別為，．當時．（i）求的值；（ii）若有最大值，求的取值范圍．19．（17分）在函數(shù)極限的運算過程中，洛必達法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法，其含義為：若函數(shù)和滿足下列條件：①且（或，）；②在點的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導，且；③（可為實數(shù)，也可為）．則．（1）用洛必達法則求；（2）函數(shù)（，），判斷并說明的零點個數(shù)；（3）已知，，，求的解析式．參考公式：，．參考答案及解析一、選擇題1．D2．D3．B4．B5．B6．D7．C8．B二、選擇題9．BCD 10．AB 11．ACD三、填空題12．3 13．1000 14．四、解答題15．（1）證明：取的中點，連接，，則且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中點，連接，因為四邊形為等腰梯形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．過點作直線的垂線交于點，以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為為直徑，所以，所以，，．在等腰梯形中，，，所以，所以，，，，，所以，，，設平面的法向量為，則所以令，則，，所以．設平面的法向量為，則?。O平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．16．（1）解：由，得當時，，兩式相減得，當時，，因此數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以．（2）證明：由（1）知．當時，；當時，，所以，所以，所以當時，．綜上，．17．解：（1）由題意知的可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為0123．（2）因為甲、乙兩人每次答題相互獨立，設甲答對題數(shù)為，則，設乙答對題數(shù)為，則．設“甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝”，則，由，，，得，則，又，所以．設，所以，，由二次函數(shù)可知當時取得最大值，所以甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值為．18．解：（1）設所求軌跡上的任意點為，與對應的點為，根據(jù)題意可得即代入方程，可得，整理得，所以曲線的軌跡方程為．（2）（i）設直線的方程為，，，，，聯(lián)立方程組整理得，則，且，，可得，所以，可得，所以，同理可得．又因為，，三點共線，可得，即，所以，所以．（ii）設直線的方程為，其中，由（i）知，直線的斜率為，則，當且僅當，即時等號成立，聯(lián)立方程組整理得，則，解得．