142三角形的內(nèi)角和（分層練習(xí)）-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)2

14.2三角形的內(nèi)角和（分層練習(xí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022春·上?！て吣昙?jí)期末）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．三角形的高都在三角形內(nèi)B．三角形的三條中線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)C．三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角D．三角形最大的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)可以小于60度【答案】B【分析】根據(jù)三角形的有關(guān)性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，鈍角三角形的高不都在三角形內(nèi)部，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、三角形的三條中線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，故本選項(xiàng)正確，符合題意；C、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)不相鄰的一個(gè)內(nèi)角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，三角形最大的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)大于或等于60度，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形高線，中線的概念，三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2021春·上海奉賢·七年級(jí)校聯(lián)考期末）下圖中能體現(xiàn)∠1一定大于∠2的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由對(duì)頂角的性質(zhì)可判斷A，由平行線的性質(zhì)可判斷B，由三角形的外角的性質(zhì)可判斷C，由直角三角形中同角的余角相等可判斷D，從而可得答案.【詳解】解：A、∠1和∠2是對(duì)頂角，∠1＝∠2．故此選項(xiàng)不符合題意；B、如圖，若兩線平行，則∠3＝∠2，則若兩線不平行，則大小關(guān)系不確定，所以∠1不一定大于∠2．故此選項(xiàng)不符合題意；C、∠1是三角形的外角，所以∠1＞∠2，故此選項(xiàng)符合題意；D、根據(jù)同角的余角相等，可得∠1＝∠2，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是對(duì)頂角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形中兩銳角互余，三角形的外角的性質(zhì)，同角的余角相等，掌握幾何基本圖形，基本圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.3．（2022春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．斜三角形【答案】B【分析】因?yàn)椤螦﹣∠B＝90°，即∠A＝90°+∠B，那么∠A一定大于90°，即為鈍角三角形．【詳解】解：在△ABC中，∵∠A﹣∠B＝90°，∴∠A＝90°+∠B＞90°（∠B肯定大于0o），那么△ABC是鈍角三角形．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是得到∠A一定大于90°．4．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC中，BD，CE分別是△ABC的角平分線，BD與CE交于點(diǎn)O，如果設(shè)∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求得∠OBC+∠OCB的度數(shù)，再利用三角形外角的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵∠A=n°，∴∠ABC+∠ACB=（180n）°，∵BD、CE分別是△ABC的角平分線，∴∠OBC+∠OCB=（180n）°=90°n°，∴∠COD=∠OBC+∠OCB=90°n°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，求解∠OBC+∠OCB的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2021春·上海·七年級(jí)上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)?？计谥校┰谥?，若，則是______三角形（按角分類）．【答案】直角【分析】設(shè)∠C=x°，由∠C=∠B=∠A，可得：∠B=2∠C=2x，∠A=3∠C=3x，然后由三角形內(nèi)角和定理即可求出∠A、∠B、∠C的度數(shù)，即可判斷三角形的形狀．【詳解】解：∠C=x°，∵∠C=∠B=∠A，∴∠B=2∠C=2x，∠A=3∠C=3x，∵∠A+∠B+∠C=180°，即：3x+2x+x=180°，解得：x=30°，∴∠C=30°，∠A=3∠C=90°，∠B=2∠C=60°，∴此三角形是直角三角形．故答案為：直角．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理及直角三角形的判定，解題的關(guān)鍵是由∠C=∠B=∠A，得到∠B=2∠C，∠A=3∠C．6．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝36°，則∠C的一個(gè)外角等于_____度．【答案】116【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠C的一個(gè)外角的度數(shù)即可．【詳解】解：如圖所示，∵∠A＝80°，∠B＝36°，∴∠C的一個(gè)外角＝∠A+∠B＝80°+36°＝116°，故答案為：116．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．7．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，，，那么＝___．【答案】##65度【分析】利用三角形的外角性質(zhì)得出，從而求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）將一副三角板如圖表示擺放（其中一塊三角板的一條直角邊與另一塊三角板的斜邊擺放在一直線上），那么圖中=_________度【答案】．【分析】先標(biāo)注圖形頂點(diǎn)，先求解，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，先標(biāo)注字母，由題意故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是角的和差，三角形是外角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，兩個(gè)內(nèi)角∠BAC與∠BCA的角平分線交于點(diǎn)D，若∠B＝70°，則∠D＝_____度．【答案】125【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可.【詳解】∵AD、CD是∠BAC與∠BCA的平分線，∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣（180°﹣∠B）＝90°+∠B＝125°，故答案為：125．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)將∠ADC轉(zhuǎn)化到三角形中，利用三角形的內(nèi)角和求解是解題的關(guān)鍵.10．（2021秋·上?！て吣昙?jí)期末）如圖所示，把沿直線翻折后得到，如果，那么___度．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)：折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置改變，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等，可以得到，再根據(jù)平角的定義即可求解．【詳解】沿直線翻折后得到，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形折疊中的角度問(wèn)題，它屬于軸對(duì)稱，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在直線l1∥l2，把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線l2上，三角板中60°的角在直線l1與l2之間，如果∠1=35°，那么∠2=___度．【答案】65【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求得∠3的度數(shù)，再依據(jù)平行線的性質(zhì)，可求得∠3=∠2．【詳解】解：∵∠3是△ABC的外角，∠1=∠ABC=35°，∴∠3=∠C+∠ABC=30°+35°=65°，∵直線l1∥l2，∴∠2=∠3=65°，故答案為：65．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即①同位角相等?兩直線平行，②內(nèi)錯(cuò)角相等?兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)?兩直線平行．12．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，E為△ABC的BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，DE交AC于點(diǎn)F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，則∠D＝______．【答案】34°##34度【分析】根據(jù)題意先求∠DAC，再依據(jù)△ADF三角形內(nèi)角和180°可得答案．【詳解】解：∵∠B=46°，∠C=30°，∴∠DAC=∠B+∠C=76°，∵∠EFC=70°，∴∠AFD=70°，∴∠D=180°∠DAC∠AFD=34°，故答案為：34°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理及三角形一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理．13．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，如果∠B＝80°，∠C＝40°，那么∠ADC的度數(shù)等于_____．【答案】110°##110度【分析】由三角形的內(nèi)角和可求得∠BAC＝60°，再由角平分線的定義得∠BAD＝30°，利用三角形的外角性質(zhì)即可求∠ADC的度數(shù)．【詳解】解：∵∠B＝80°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝110°．故答案為：110°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的知識(shí)的掌握．14．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，AF，AD分別是△ABC的高和角平分線，且∠B＝36°，∠C＝76°，則∠DAF＝_____度．【答案】20【分析】根據(jù)角平分線的定義和高的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理來(lái)解答．【詳解】解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，∴∠BAC＝180﹣∠B﹣∠C＝180°﹣76°﹣36°＝68°，又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD＝68°×＝34°，在Rt△AFC中，∠FAC＝90﹣∠C＝90°﹣76°＝14°，于是∠DAF＝34°﹣14°＝20°．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線、三角形高的定義和三角形的內(nèi)角和定理．15．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于H，則∠CHD＝_____．【答案】45°##45°【分析】延長(zhǎng)CH交AB于點(diǎn)F，銳角三角形三條高交于一點(diǎn)，所以CF⊥AB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案．【詳解】解：延長(zhǎng)CH交AB于點(diǎn)F，在△ABC中，三邊的高交于一點(diǎn)，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°在△CDH中，三內(nèi)角之和為180°，∴∠CHD＝45°，故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中，三條邊的高交于一點(diǎn)，且內(nèi)角和為180°．16．（2022春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）已知任意一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的和為180°，如果有一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是1：3：5，這個(gè)三角形中最大的內(nèi)角是_____度．【答案】100【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出最大的內(nèi)角即可．【詳解】解：由題意得，三角形的最大的內(nèi)角＝×180°＝100°，故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．17．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)D是△ABC兩條角平分線AP、CE的交點(diǎn)，如果∠BAC+∠BCA＝140°，那么∠ADC＝_____°．【答案】110【分析】根據(jù)CE，AP分別平分∠ACB和∠BAC，得∠CAP＝∠BAC，∠ACE＝∠BCA，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出∠ADC即可．【詳解】解：∵CE，AP分別平分∠ACB和∠BAC，∴∠ACE＝∠BCA，∠CAP＝∠BAC，∵∠BAC+∠BCA＝140°，∴∠CAP+∠ACE＝70°，∴∠ADC＝180°﹣（∠CAP+∠ACE）＝180°﹣70°＝110°，故答案為：110．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握了角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2021春·上海徐匯·七年級(jí)上海市民辦華育中學(xué)?？计谀┤鐖D，與是的兩個(gè)外角，平分交的平分線于點(diǎn).若，則________．【答案】60°##60度【分析】先求出∠DBC+∠BCE，再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】∵∠F=60°，∴∠CBF+∠BCF=120°，∵BF平分∠DBC交∠ECB的平分線于點(diǎn)F，∴∠DBC+∠BCE=2（∠FBC+∠BCF）=240°，∴∠ABC+∠ACB=（180°∠DBC）+（180°∠BCE）=120°，∴∠A=180°120°=60°，故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義、鄰補(bǔ)角互補(bǔ)和三角形內(nèi)角和是180°，解題關(guān)鍵是牢記性質(zhì)和定義．三、解答題19．（2022春·上?！て吣昙?jí)期末）在中，，求的度數(shù)．【答案】．【分析】設(shè)，，，再根據(jù)求出的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：中，設(shè)，，．，，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是是解答此題的關(guān)鍵．20．（2022春·上?！て吣昙?jí)期中）如圖：已知AB∥CD，BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，求∠BOC的度數(shù)．∵AB∥CD（已知），∴∠ABC+＝180°（）．∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，（已知），∴∠DBC＝∠ABC，∠ACB＝∠BCD（角平分線的意義）．∴∠DBC+∠ACB＝（）（等式性質(zhì)），即∠DBC+∠ACB＝°．∵∠DBC+∠ACB+∠BOC＝180°（），∴∠BOC＝°（等式性質(zhì)）．【答案】∠BCD，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，∠ABC+∠BCD，90，三角形內(nèi)角和等于180°，90【分析】根據(jù)題意利用AB∥CD得∠ABC+∠BCD=180；等式的性質(zhì)得∠DBC+∠ACB=（∠ABC+∠ACD），進(jìn)而由三角形內(nèi)角和為180°得∠BOC=90°．【詳解】解：∵AB∥CD（已知），∴∠ABC+∠BCD＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD（已知），∴∠DBC＝∠ABC，∠ACB＝∠BCD（角平分線定義），∴∠DBC+∠ACB＝（∠ABC+∠BCD）（等式性質(zhì)），即∠DBC+∠ACB＝90°，∴∠DBC+∠ACB+∠BOC＝180°（三角形內(nèi)角和等于180°），∴∠BOC＝90°（等式性質(zhì)），故答案為：∠BCD，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，∠ABC+∠BCD，90，三角形內(nèi)角和等于180°，90．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，等式的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用．21．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖∠A＝20°，∠B＝45°，∠C＝40°，求∠DFE的度數(shù)．【答案】105°【分析】先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠ADB，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠ADB＝∠B+∠C，∠B＝45°，∠C＝40°，∴∠ADB＝40°+45°＝85°，∵∠DFE＝∠A+∠ADB，∠A＝20°，∴∠DFE＝85°+20°＝105°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．22．（2022春·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，在中，，垂足為點(diǎn)，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)垂直的定義和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．23．（2022春·上海·七年級(jí)期末）已知AB∥CD，且CD平分∠FCB，∠CEB＝90°，∠CBE＝40°，求∠EBA的度數(shù)．【答案】25°【分析】由三角形的外角性質(zhì)可求得∠FCB＝130°，再由角平分線的定義得∠FCD=∠BCD=65°，由平行線的性質(zhì)可得∠CBA＝65°，根據(jù)∠EBA＝∠CBA﹣∠CBE即可求∠EBA的度數(shù)．【詳解】解：∵∠CEB＝90°，∠CBE＝40°，∴∠FCB＝∠CEB+∠CBE＝130°，又∵CD平分∠FCB，∴，又∵AB∥CD，∴∠CBA＝∠BCD＝65°，∴∠EBA＝∠CBA﹣∠CBE＝65°﹣40°＝25°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角，角平分線，平行線，解答的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角性質(zhì)，角平分線性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，并靈活運(yùn)用．24．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點(diǎn)，E為BC邊上一點(diǎn)，∠BCD＝∠BDC(1)若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，則∠B＝度（直接寫(xiě)出答案）；(2)請(qǐng)說(shuō)明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由．【答案】(1)70(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用三角形的外角性質(zhì)可求出∠BDC的度數(shù)，結(jié)合∠BCD＝∠BDC可得出∠BCD的度數(shù)，再在△BCD中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠B的度數(shù)；（2）在△ABE中，利用三角形內(nèi)角和定理可得出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B，在△BCD中，利用三角形內(nèi)角和定理及∠BCD＝∠BDC可得出2∠BDC＝180°﹣∠B，進(jìn)而可得出∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．【詳解】（1）解：∵∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，∴∠BDC＝∠ACD+∠CAD＝55°，∴∠BCD＝∠BDC＝55°．在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣55°﹣55°＝70°．故答案為：70；（2）解：在△ABE中，∠EAB+∠AEB+∠B＝180°，∴∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B．在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∠BCD＝∠BDC，∴2∠BDC＝180°﹣∠B，∴∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用三角形的外角性質(zhì)，求出∠BDC的度數(shù)；（2）利用三角形內(nèi)角和定理，找出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B及2∠BDC＝180°﹣∠B．【能力提升】一、單選題1．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）BP和CP是△ABC兩個(gè)外角的平分線，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)由三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，求得∠P與∠A的關(guān)系，從而計(jì)算出∠P的度數(shù)．【詳解】解：如圖，∵BP、CP是△ABC的外角平分線，∴∠PBC＝（∠A＋∠ACB），∠PCB＝（∠A＋∠ABC），又∵∠PBC＋∠PCB＋∠P＝180°，∴∠P＝180°?（∠PBC＋∠PCB）＝180°?（∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC）＝180°?（180＋∠A）＝90°?∠A，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．2．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，，，則、和的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長(zhǎng)DC交AB于G，延長(zhǎng)CD交EF于H，然后由平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)，即可求出角的關(guān)系．【詳解】解：延長(zhǎng)DC交AB于G，延長(zhǎng)CD交EF于H，如圖在直角△BGC中，；在△EHD中，，∵，∴，∴，∴；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的進(jìn)行解題．二、填空題3．（2022春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，AOB是一鋼架，且∠AOB=10°，為了使鋼架更加堅(jiān)固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF，F(xiàn)G，GH…，添加的鋼管長(zhǎng)度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管_____根．【答案】8

【詳解】試題解析：因?yàn)樘砑愉摴艿拈L(zhǎng)度都與OE相等，，所以，…….從圖中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有好幾個(gè)等腰三角形，由上可知，第一個(gè)等腰三角形的底角為10°，第二個(gè)是20°，第三個(gè)是30°，第三個(gè)是30°，第四個(gè)是40°，第五個(gè)是50°，第六個(gè)是60°，第七個(gè)是70°，第八個(gè)是80°，第九個(gè)是90°就不存在了，所以最多能添加這樣的鋼管8根.故本題的正確答案應(yīng)為8.點(diǎn)睛：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律.4．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖所示,∠ACD是△ABC的外角,∠A=45°,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且BE、CE交于點(diǎn)E.∠E=______．【答案】22.5°【分析】根據(jù)外角的性質(zhì)有∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，由角平分線的性質(zhì)，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代換，即可求得∠E．【詳解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠ECD=（∠A+∠ABC）．又∵∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）．∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC，∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），∴∠E=∠A=22.5°，故答案為22.5°【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)及角平分線性質(zhì)，理清各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF與CE交于G，若∠BDC=m°，∠BGC=n°，則∠A的度數(shù)為_(kāi)____（用m，n表示）．【答案】（）°【分析】連接BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得∠DBC＋∠DCB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義可求得∠ABC＋∠ACB的度數(shù)，從而不難求得∠A的度數(shù)．【詳解】解：連接BC，∵∠BDC＝m°，∴∠DBC＋∠DCB＝180°?m°，∵∠BGC＝n°，∴∠GBC＋∠GCB＝180°?n°，∵BF是∠ABD的平分線，CE是∠ACD的平分線，∴∠GBD＋∠GCD＝∠ABD＋∠ACD＝180°?n°?(180°?m°)＝m°?n°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°?m°＋2（m°?n°）＝180°＋m°?2n°，∴∠A＝180°?（180°＋m°?2n°）＝(2n?m)°．故答案為(2n?m)°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形是解答此題的關(guān)鍵．6．（2022春·上海徐匯·七年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┌刺摼€剪去長(zhǎng)方形紙片相鄰的兩個(gè)角，并使∠1＝130°，AB⊥BC，∠2＝______【答案】140°##140度【分析】連接AC，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，三角形內(nèi)角和為180°，計(jì)算求值；【詳解】解：如圖，連接AC，點(diǎn)E、F為長(zhǎng)方形頂點(diǎn)，則AE∥CF，∴∠CAE+∠ACF=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAC+∠ACB=90°，∴∠1+∠2=∠CAE+∠BAC+∠ACF+∠ACB=270°，∵∠1=130°，∴∠2=140°，故答案為：140°【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理；正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．7．（2022春·上?！て吣昙?jí)上海市文來(lái)中學(xué)校考期中）如圖，三角形紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在內(nèi)，則__________度．【答案】80【分析】如圖延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)C′，連接CC′．首先證明∠1+∠2=2∠AC′B，求出∠AC′B即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)C′，連接CC′．在△ABC′中，∠AC′B=180°65°75°=40°，∵∠ECF=∠AC′B=40°，∠1=∠ECC′+∠EC′C，∠2=∠FCC′+∠FC′C，∴∠1+∠2=∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C=2∠AC′B=80°；故答案為：80【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，記住基本結(jié)論∠1+∠2=2∠AC′B解決問(wèn)題．三、解答題8．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）（1）在銳角△ABC中，BC邊上的高所在直線和AB邊上的高所在直線的交點(diǎn)為P，∠APC＝110°，求∠B的度數(shù)；（2）如圖1，AF和CE分別平分∠BAD和∠BCD．當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上時(shí)，∠APC＝100°，則∠B的度數(shù)；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)點(diǎn)D在直線AC外時(shí)，如圖2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度數(shù)．【答案】（1）70°；（2）20°；（3）70°【分析】（1）利用三角形的外角的性質(zhì)求出∠PAE即可解決問(wèn)題．（2）利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠PAC+∠PCA，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAC+∠BCA即可解決問(wèn)題．（3）先證∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B，再由角平分線定義知∠1＝∠2，∠3＝∠4，進(jìn)行等量代換即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）如圖1中，∵AF，CE是高，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，∵∠APC＝∠AEP+∠PAE，∴∠PAE＝110°﹣90°＝20°，∴∠B＝90°﹣∠PAE＝90°﹣20°＝70°．（2）如圖2中，∵∠APC＝100°，∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣100°＝80°，∵AF和CE分別平分∠BAD和∠BCD，∴∠BAC＝2∠PAC，∠BCA＝2∠PCA，∴∠BAC+∠BCA＝160°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣160°＝20°．（3）如圖3中，連接PD延長(zhǎng)于點(diǎn)H，∵∠ADH＝∠2+∠APD，∠CDH＝∠3+∠CPD，∴∠ADC＝∠2+∠APD+∠3+∠CPD＝∠2+∠3+∠APC，同理，∠APC＝∠1+∠4+∠B，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ADC＝130°，∠APC＝100°，∴∠B＝∠APC﹣∠1﹣∠4＝∠APC﹣∠2﹣∠3＝∠APC﹣(∠ADC﹣∠APC)＝70°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，第3問(wèn)中通過(guò)作輔助線證明∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）在△ABC中，(1)如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AB上一點(diǎn)，若BE，CF相交于點(diǎn)G，請(qǐng)說(shuō)明∠BGC＝∠1+∠A+∠2；(2)如圖2，若BE，CF分別是AC，AB上的高，請(qǐng)說(shuō)明∠1＝∠2理由；(3)如圖3，若∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分線BE，CF，AD相交于點(diǎn)G，則：①∠1+∠2+∠3＝；②若過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H，發(fā)現(xiàn)∠BGD＝∠CGH，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)①90°②見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，求得∠BGC＝∠BGP+∠CGP，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)BE，CF分別是AC，AB上的高，可得△ABE和△ACF是直角三角形，進(jìn)而得出∠1+∠A＝∠2+∠A＝90°，據(jù)此可得∠1＝∠2；（3）根據(jù)∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分線BE，CF，AD相交于點(diǎn)G，可得∠1+∠2+∠3＝（∠ABC+∠ACB+∠BAC），據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可；②根據(jù)∠BGD是△ABG的外角，得出∠BGD＝∠1+∠3＝∠ABC+∠BAC＝90°﹣∠ACB，再根據(jù)CF平分∠ACB，GH⊥BC，可得Rt△CHG中，∠CGH＝90°﹣∠GCH＝90°﹣∠ACB，進(jìn)而得到∠BGD＝∠CGH．（1）解：∵如圖1，連接AG并延長(zhǎng)至P，∵∠BGP是△ABG的外角，∴∠BGP＝∠1+∠BAP，同理可得，∠CGP＝∠2+∠CAP，∴∠BGC＝∠BGP+∠CGP＝∠1+∠BAP+∠2+∠CAP＝∠1+∠A+∠2；（2）解：∵如圖2，BE，CF分別是AC，AB上的高，∴△ABE和△ACF是直角三角形，∴∠1+∠A＝∠2+∠A＝90°，∴∠1＝∠2；（3）解：①如圖3，∵∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分線BE，CF，AD相交于點(diǎn)G，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∠3＝∠BAC，∴∠1+∠2+∠3＝（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝×180°＝90°，故答案為：90°；②∵∠BGD是△ABG的外角，∴∠BGD＝∠1+∠3＝∠ABC+∠BAC＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，∵CF平分∠ACB，∴∠GCH＝∠ACB，∵GH⊥BC，∴Rt△CHG中，∠CGH＝90°﹣∠GCH＝90°﹣∠ACB，∴∠BGD＝∠CGH．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：三角形內(nèi)角和等于180°．解決第（3）問(wèn)的難點(diǎn)在于將∠BGD和∠CGH都用90°﹣∠ACB表示出來(lái)．10．（2022春·上海·七年級(jí)期中）已知，直線GE上有一點(diǎn)C，B在直線GE外(1)如圖1，點(diǎn)A在GE上，作∠BAG，∠BCG的平分線AF，CF交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠B與∠F數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，A在直線外（在B點(diǎn)的下方，直線GE的上方），過(guò)A作HD∥GE，試說(shuō)明∠BCE+∠ABC＝∠BAD．(3)如圖3，HD∥GE，分別作∠BAH與∠BCG的角平分線，兩線交于點(diǎn)F．問(wèn)∠B與∠F有何數(shù)量關(guān)系，試說(shuō)明．【答案】(1)∠B＝2∠F(2)見(jiàn)解析(3)∠B＝2∠F；理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BND＝∠BCE，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FMH＝∠FCG，∠BNH＝∠BCG，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAH＝2∠FAH，∠BCG＝2∠FCG，等量代換得到∠BNH＝2∠FMH，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AF、CF分別平分∠CAB、∠GCB，∴，，∵∠GCB為△ABC的外角，∴，∵為△ACF的外角，∴，，，，∴，∴．（2），∴∠BND＝∠BCE，∵∠BAD＝∠BND+∠ABC，∴∠BCE+∠ABC＝∠BAD．（3）∠B＝2∠F；，∴∠FMH＝∠FCG，∠BNH＝∠BCG，∵FA，F(xiàn)C是∠BAH與∠BCG的角平分線，∴∠BAH＝2∠FAH，∠BCG＝2∠FCG，∴∠BNH＝2∠FMH，∵∠BNH＝∠B+∠BAH，∠FMH＝∠F+∠FAH，∴∠B＝2∠F．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行同位角相等，三角形外角的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．11．（2022春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，若存在一個(gè)內(nèi)角是另外一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC為2倍角三角形．(1)在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，則△DEF為倍角三角形；(2)如圖，直線MN⊥直線PQ于點(diǎn)O，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在射線OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分線分別與∠BOQ的角平分線所在的直線交于點(diǎn)E、F；①說(shuō)明∠ABO＝2∠E的理由；②若△AEF為4倍角三角形，直接寫(xiě)出∠ABO的度數(shù)．【答案】(1)3(2)①見(jiàn)解析；②45°或36°【分析】（1）由∠E＝40°，∠F＝35°可知∠D＝105°，再根據(jù)n倍角三角形的定義可得結(jié)論．（2）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，利用角的和差計(jì)算即可求得結(jié)果．②首先證明∠EAF＝90°，分∠EAF＝4∠E和∠F＝4∠E兩種情形分別求解即可．【詳解】（1）解：∵∠E＝40°，∠F＝35°，∴∠D＝180°﹣40°﹣35°＝105°，∴∠D＝3∠F，∴△ABC為3倍角三角形，故答案為：3；（2）解：①∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，∴∠BAO＝2∠EAQ，∠BOQ＝2∠EOQ，由外角的性質(zhì)可得：∠BOQ＝∠BAO+∠ABO，∠EOQ＝∠EAQ+∠E，∴∠ABO＝∠BOQ﹣∠BAO＝2∠EOQ﹣2∠EAQ＝2∠EAQ+2∠E﹣2∠EAQ＝2∠E，∴∠ABO＝2∠E．②∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝（∠BAO+∠OAG）＝90°，∵△EAF是4倍角三角形，∴當(dāng)∠EAF＝4∠E時(shí)，∠E＝×90°＝22.5°，當(dāng)∠F＝4∠E時(shí)，∠E＝×90°＝18°，∵∠ABO＝2∠E，∴∠ABO＝45°或36°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，角的和差計(jì)算等，讀懂新定義n倍角三角形的意義并注意分類討論是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．12．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）已知：如圖，△ABC的兩個(gè)外角的平分線交于點(diǎn)P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度數(shù)．【答案】70°，詳見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，再根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，∵BP、CP是△ABC的外角平分線，∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知△中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，平分，說(shuō)明∥的理由．解：因?yàn)辄c(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上（已知），所以（______________________）．因?yàn)椋ㄒ阎裕ǖ仁叫再|(zhì)）．因?yàn)槠椒郑ㄒ阎?，所以（___________________）．因?yàn)椋╛________________________________），所以（等量代換）．所以∥（____________________________________）．【答案】答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)平行線的判定定理進(jìn)行判定即可．【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上（已知），所以（鄰補(bǔ)角的意義）因?yàn)椋ㄒ阎裕ǖ仁叫再|(zhì)）．因?yàn)槠椒郑ㄒ阎?，所以（角平分線的意義）．因?yàn)椋ㄈ切蔚囊粋€(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），所以（等量代換）．所以∥（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．14．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖①，點(diǎn)O為直線MN上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線OC，使∠NOC=60°．將一把直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OA在射線OM上，另一邊OB在直線AB的下方，其中∠OBA=30°（1）將圖②中的三角尺沿直線OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度數(shù)；（2）將圖①中的三角尺繞點(diǎn)O按每秒10°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α＜360°），在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，在第幾秒時(shí)，直線OA恰好平分銳角∠NOC；（3）將圖①中的三角尺繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A點(diǎn)B均在直線MN上方時(shí)（如圖③所示），請(qǐng)?zhí)骄俊螹OB與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不必寫(xiě)出理由．【答案】（1）∠A′ON=60°；（2）第15或秒時(shí)，直線OA恰好平分銳角∠NOC；（3）①當(dāng)OB，OA在OC的兩旁時(shí)，∠MOB∠AOC=30°，②當(dāng)OB，OA在OC的同側(cè)時(shí)，∠MOB+∠AOC=120°90°=30°．【分析】（1）如圖②中，延長(zhǎng)CO到C′．利用翻折不變性求出∠A′O′C′即可解決問(wèn)題；（2）設(shè)t秒時(shí)，直線OA恰好平分銳角∠NOC．構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；（3）分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題；【詳解】（1）如圖②中，延長(zhǎng)CO到C′．∵三角尺沿直線OC翻折至△A′B′O，∴∠A′OC′=∠AOC′=∠CON=60°，∴∠A′ON=180°60°60°=60°．（2）設(shè)t秒時(shí)，直線OA恰好平分銳角∠NOC．由題意10t=150或10t=330，解得t=15或33s，答：第15或秒時(shí)，直線OA恰好平分銳角∠NOC；（3）①當(dāng)OB，OA在OC的兩旁時(shí)，∵∠AOB=90°，∴120°∠MOB+∠AOC=90°，∴∠MOB∠AOC=30°．②當(dāng)OB，OA在OC的同側(cè)時(shí)，∠MOB+∠AOC=120°90°=30°．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，旋轉(zhuǎn)變換，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．15．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）已知中，記，.（1）如圖，若平分，、分別是的外角和的平分線，，用含的代數(shù)式表示的度數(shù)，用含的代數(shù)式表示的度數(shù)，并說(shuō)明理由.（2）如圖，若點(diǎn)為的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，于點(diǎn)，猜想（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化，補(bǔ)全圖形并直接寫(xiě)出你的結(jié)論...【答案】（1），；（2），【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可求出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得=，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理算出∠BPC．由三角形外角的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用直角三角形兩銳角互余求出.（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得答案.【詳解】（1）解：∵在中，，∴又∵，∴∴∵在中，∴∵∴又∵平分∴同理∵∴∴∵在中，，∴（2）如圖2，若點(diǎn)為的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，于點(diǎn)，猜想（1）中的兩個(gè)結(jié)論已發(fā)生變化∵點(diǎn)為的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，∴，，=，即：，∴，，∴，.故答案為；．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線，三角形外角的性質(zhì)．注意知識(shí)的靈活運(yùn)用，對(duì)角進(jìn)行代換運(yùn)算．16．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“靈動(dòng)三角形”．例如，三個(gè)內(nèi)角分別為120°、40°、20°的三角形是“靈動(dòng)三角形”；三個(gè)內(nèi)角分別為80°、75°、25°的三角形也是“靈動(dòng)三角形”等等．如圖，∠MON＝60°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（規(guī)定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度數(shù)為_(kāi)____°，△AOB_______．（填“是”或“不是”）“靈動(dòng)三角形”；（2）若∠BAC＝70°，則△AOC_______（填“是”或“不是”）“靈動(dòng)三角形”；（3）當(dāng)△ABC為“靈動(dòng)三角形”時(shí)，求∠OAC的度數(shù)．【答案】（1）30；是；（2）是；（3）30°或52.5°或80°．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題即可．（2）求出∠OAC即可解決問(wèn)題．（3）分三種情形分別求出即可．【詳解】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠BAO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∵90°＝3×30°，∴△AOB是“靈動(dòng)三角形”．故答案為：30，是．（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，∴∠OAC＝20°，∵∠AOC＝60°＝3×20°，∴△AOC是“靈動(dòng)三角形”．故答案為：是．（3：①當(dāng)∠ACB＝3∠ABC時(shí)，∵∠ABO＝30°，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°，∴∠OAC＝30°；②當(dāng)∠ABC＝3∠CAB時(shí)，∵∠ABO＝30°，∴∠CAB＝10°，∵∠OAB＝90°，∴∠OAC＝80°．③當(dāng)∠ACB＝3∠CAB時(shí)，∵∠ABO＝30°，∴4∠CAB＝150°，∴∠CAB＝37.5°，∴∠OAC＝52.5°．綜上所述，滿足條件的值為30°或52.5°或80°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，分類思想，數(shù)學(xué)新定義問(wèn)題，準(zhǔn)確理解新定義，靈活運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵．17．（2022春·上海閔行·七年級(jí)上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)?？计谥校┤鐖D已知點(diǎn)E是△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D是∠ABC內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)∠ABC＝∠ECD時(shí)，則∠A＝．（填相等的角）(2)如圖2，當(dāng)∠ACD＝∠ABC時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出與∠A相等的角，并說(shuō)明為什么？(3)如圖3當(dāng)ABDC，BD平分∠ABC，AC平分∠BCD時(shí)，試判斷線段AC和射線BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)∠ACD(2)∠A＝∠DCE，理由見(jiàn)解析(3)AC⊥BD，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由∠ABC＝∠ECD根據(jù)平行線的判定定理可得，AB∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出答案；（2）根據(jù)三角形的外角和定理可知，∠ACE＝∠A+∠ABC，由已知∠ACD＝∠ABC，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得出∠ABC+∠BCD＝180°，由角平分線的性質(zhì)可得∠OBC＝∠ABC，，可得出∠OBC+∠OCB＝90°，即可得出答案．（1）解：∵∠ABC＝∠ECD，∴AB∥CD，∴∠A＝∠ACD．故答案為：∠ACD；（2）∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，又∵∠ACD＝∠ABC，∴∠A＝∠DCE；（3）AC⊥BD．證明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，∴∠OBC＝∠ABC，，∴，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°，∴AC⊥BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角和定理及角平分線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．18．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)D為△ABC的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF⊥AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度數(shù)．解：因?yàn)镈F⊥AB（已知），所以∠DFB＝90°（垂直的意義）．因?yàn)椤螪FB+∠B+∠D＝180°（），又∠D＝42°，所以∠B＝°（等式性質(zhì)）．因?yàn)椤螦CD＝∠A+∠B（），又∠A＝35°，∠B＝°，所以∠ACD＝°（等式性質(zhì)）．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系及三角形內(nèi)角和定理解答．【詳解】解：因?yàn)镈F⊥AB（已知），所以∠DFB＝90（垂直的意義）．因?yàn)椤螪FB+∠B+∠D＝180（三角形內(nèi)角和是180），又∠D＝42，所以∠B＝48（等式性質(zhì)）．因?yàn)椤螦CD＝∠A+∠B（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），又∠A＝35°，∠B＝48°，所以∠ACD＝83（等式性質(zhì)）．故答案為：三角形內(nèi)角和是180，48，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，48，83．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系.19．（2022春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）【閱讀理解】題目：如圖①，∠ABE和∠DCE的邊AB與CD互相平行，邊BE與CE交于點(diǎn)E．若，，求∠BEC的度數(shù)．老師在黑板中寫(xiě)出了部分求解過(guò)程，請(qǐng)你完成下面的求解過(guò)程，并填空（理由或數(shù)學(xué)式）．解：如圖②，過(guò)點(diǎn)E作．∴（）．∵，∴．∵（），∴（）．∴（）∵，∴．∴（）°【問(wèn)題遷移】如