142三角形的內角和（分層練習）-2022-2023學年七年級數學下冊2

14.2三角形的內角和（分層練習）【夯實基礎】一、單選題1．（2022春·上?！て吣昙壠谀┫铝姓f法中，正確的是（

）A．三角形的高都在三角形內B．三角形的三條中線相交于三角形內一點C．三角形的一個外角大于任何一個內角D．三角形最大的一個內角的度數可以小于60度【答案】B【分析】根據三角形的有關性質，對選項逐個判斷即可．【詳解】解：A、銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，鈍角三角形的高不都在三角形內部，故本選項錯誤，不符合題意；B、三角形的三條中線相交于三角形內一點，故本選項正確，符合題意；C、三角形的一個外角大于任何一個不相鄰的一個內角，故本選項錯誤，不符合題意；D、根據三角形內角和等于180°，三角形最大的一個內角的度數大于或等于60度，故本選項錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查三角形高線，中線的概念，三角形外角的性質和三角形內角和定理，掌握這些知識點是解題的關鍵．2．（2021春·上海奉賢·七年級校聯考期末）下圖中能體現∠1一定大于∠2的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由對頂角的性質可判斷A，由平行線的性質可判斷B，由三角形的外角的性質可判斷C，由直角三角形中同角的余角相等可判斷D，從而可得答案.【詳解】解：A、∠1和∠2是對頂角，∠1＝∠2．故此選項不符合題意；B、如圖，若兩線平行，則∠3＝∠2，則若兩線不平行，則大小關系不確定，所以∠1不一定大于∠2．故此選項不符合題意；C、∠1是三角形的外角，所以∠1＞∠2，故此選項符合題意；D、根據同角的余角相等，可得∠1＝∠2，故此選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查的是對頂角的性質，平行線的性質，直角三角形中兩銳角互余，三角形的外角的性質，同角的余角相等，掌握幾何基本圖形，基本圖形的性質是解本題的關鍵.3．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）在△ABC中，如果∠A﹣∠B＝90°，那么△ABC是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．斜三角形【答案】B【分析】因為∠A﹣∠B＝90°，即∠A＝90°+∠B，那么∠A一定大于90°，即為鈍角三角形．【詳解】解：在△ABC中，∵∠A﹣∠B＝90°，∴∠A＝90°+∠B＞90°（∠B肯定大于0o），那么△ABC是鈍角三角形．故選：B．【點睛】此題考查了三角形內角和定理，解題的關鍵是得到∠A一定大于90°．4．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，已知△ABC中，BD，CE分別是△ABC的角平分線，BD與CE交于點O，如果設∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角形的內角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度數，結合角平分線的定義可求得∠OBC+∠OCB的度數，再利用三角形外角的性質可求解．【詳解】解：∵∠A=n°，∴∠ABC+∠ACB=（180n）°，∵BD、CE分別是△ABC的角平分線，∴∠OBC+∠OCB=（180n）°=90°n°，∴∠COD=∠OBC+∠OCB=90°n°，故選：C．【點睛】本題主要考查角平分線的定義，三角形的內角和定理，三角形外角的性質，求解∠OBC+∠OCB的度數是解題的關鍵．二、填空題5．（2021春·上?！て吣昙壣虾Ｊ酗L華初級中學?？计谥校┰谥?，若，則是______三角形（按角分類）．【答案】直角【分析】設∠C=x°，由∠C=∠B=∠A，可得：∠B=2∠C=2x，∠A=3∠C=3x，然后由三角形內角和定理即可求出∠A、∠B、∠C的度數，即可判斷三角形的形狀．【詳解】解：∠C=x°，∵∠C=∠B=∠A，∴∠B=2∠C=2x，∠A=3∠C=3x，∵∠A+∠B+∠C=180°，即：3x+2x+x=180°，解得：x=30°，∴∠C=30°，∠A=3∠C=90°，∠B=2∠C=60°，∴此三角形是直角三角形．故答案為：直角．【點睛】本題考查了三角形內角和定理及直角三角形的判定，解題的關鍵是由∠C=∠B=∠A，得到∠B=2∠C，∠A=3∠C．6．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝36°，則∠C的一個外角等于_____度．【答案】116【分析】根據三角形外角性質得出∠C的一個外角的度數即可．【詳解】解：如圖所示，∵∠A＝80°，∠B＝36°，∴∠C的一個外角＝∠A+∠B＝80°+36°＝116°，故答案為：116．【點睛】本題考查了三角形的外角性質，解題關鍵是掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．7．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，，，那么＝___．【答案】##65度【分析】利用三角形的外角性質得出，從而求出的度數．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形外角性質，熟練掌握相關性質定理是解決本題的關鍵．8．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）將一副三角板如圖表示擺放（其中一塊三角板的一條直角邊與另一塊三角板的斜邊擺放在一直線上），那么圖中=_________度【答案】．【分析】先標注圖形頂點，先求解，再利用三角形的外角的性質可得答案．【詳解】解：如圖，先標注字母，由題意故答案為：【點睛】本題考查的是角的和差，三角形是外角的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．9．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，在△ABC中，兩個內角∠BAC與∠BCA的角平分線交于點D，若∠B＝70°，則∠D＝_____度．【答案】125【分析】根據角平分線的性質和三角形內角和定理求解即可.【詳解】∵AD、CD是∠BAC與∠BCA的平分線，∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣（180°﹣∠B）＝90°+∠B＝125°，故答案為：125．【點睛】本題考查三角形的內角和定理以及角平分線的性質，根據角平分線的性質將∠ADC轉化到三角形中，利用三角形的內角和求解是解題的關鍵.10．（2021秋·上?！て吣昙壠谀┤鐖D所示，把沿直線翻折后得到，如果，那么___度．【答案】【分析】根據折疊的性質：折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置改變，對應邊和對應角相等，可以得到，再根據平角的定義即可求解．【詳解】沿直線翻折后得到，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形折疊中的角度問題，它屬于軸對稱，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．11．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，在直線l1∥l2，把三角板的直角頂點放在直線l2上，三角板中60°的角在直線l1與l2之間，如果∠1=35°，那么∠2=___度．【答案】65【分析】根據三角形外角性質即可求得∠3的度數，再依據平行線的性質，可求得∠3=∠2．【詳解】解：∵∠3是△ABC的外角，∠1=∠ABC=35°，∴∠3=∠C+∠ABC=30°+35°=65°，∵直線l1∥l2，∴∠2=∠3=65°，故答案為：65．【點睛】本題主要考查平行線的性質，掌握平行線的性質和判定是解題的關鍵，即①同位角相等?兩直線平行，②內錯角相等?兩直線平行，③同旁內角互補?兩直線平行．12．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，E為△ABC的BC邊上一點，點D在BA的延長線上，DE交AC于點F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，則∠D＝______．【答案】34°##34度【分析】根據題意先求∠DAC，再依據△ADF三角形內角和180°可得答案．【詳解】解：∵∠B=46°，∠C=30°，∴∠DAC=∠B+∠C=76°，∵∠EFC=70°，∴∠AFD=70°，∴∠D=180°∠DAC∠AFD=34°，故答案為：34°．【點睛】本題考查三角形內角和定理及三角形一個外角等于不相鄰的兩個內角的和，解題的關鍵是掌握三角形內角和定理．13．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，如果∠B＝80°，∠C＝40°，那么∠ADC的度數等于_____．【答案】110°##110度【分析】由三角形的內角和可求得∠BAC＝60°，再由角平分線的定義得∠BAD＝30°，利用三角形的外角性質即可求∠ADC的度數．【詳解】解：∵∠B＝80°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝110°．故答案為：110°．【點睛】本題主要考查三角形的外角性質，三角形的內角和定理，角平分線的定義，解答的關鍵是對相應的知識的掌握．14．（2022春·七年級單元測試）如圖，AF，AD分別是△ABC的高和角平分線，且∠B＝36°，∠C＝76°，則∠DAF＝_____度．【答案】20【分析】根據角平分線的定義和高的定義結合三角形的內角和定理來解答．【詳解】解：∵∠B＝36°，∠C＝76°，∴∠BAC＝180﹣∠B﹣∠C＝180°﹣76°﹣36°＝68°，又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD＝68°×＝34°，在Rt△AFC中，∠FAC＝90﹣∠C＝90°﹣76°＝14°，于是∠DAF＝34°﹣14°＝20°．故答案為：20．【點睛】本題主要考查了角平分線、三角形高的定義和三角形的內角和定理．15．（2022春·七年級單元測試）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于H，則∠CHD＝_____．【答案】45°##45°【分析】延長CH交AB于點F，銳角三角形三條高交于一點，所以CF⊥AB，再根據三角形內角和定理得出答案．【詳解】解：延長CH交AB于點F，在△ABC中，三邊的高交于一點，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°在△CDH中，三內角之和為180°，∴∠CHD＝45°，故答案為：45°．【點睛】本題考查三角形中，三條邊的高交于一點，且內角和為180°．16．（2022春·上海·七年級專題練習）已知任意一個三角形三個內角的和為180°，如果有一個三角形三個內角的度數比是1：3：5，這個三角形中最大的內角是_____度．【答案】100【分析】根據三角形的內角和定理求出最大的內角即可．【詳解】解：由題意得，三角形的最大的內角＝×180°＝100°，故答案為：100．【點睛】本題考查三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．17．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，點D是△ABC兩條角平分線AP、CE的交點，如果∠BAC+∠BCA＝140°，那么∠ADC＝_____°．【答案】110【分析】根據CE，AP分別平分∠ACB和∠BAC，得∠CAP＝∠BAC，∠ACE＝∠BCA，再根據三角形內角和定理，求出∠ADC即可．【詳解】解：∵CE，AP分別平分∠ACB和∠BAC，∴∠ACE＝∠BCA，∠CAP＝∠BAC，∵∠BAC+∠BCA＝140°，∴∠CAP+∠ACE＝70°，∴∠ADC＝180°﹣（∠CAP+∠ACE）＝180°﹣70°＝110°，故答案為：110．【點睛】本題考查了角平分線的性質和三角形內角和定理，熟練掌握了角平分線的性質是解題的關鍵．18．（2021春·上海徐匯·七年級上海市民辦華育中學?？计谀┤鐖D，與是的兩個外角，平分交的平分線于點.若，則________．【答案】60°##60度【分析】先求出∠DBC+∠BCE，再利用鄰補角的性質和三角形內角和定理求解即可．【詳解】∵∠F=60°，∴∠CBF+∠BCF=120°，∵BF平分∠DBC交∠ECB的平分線于點F，∴∠DBC+∠BCE=2（∠FBC+∠BCF）=240°，∴∠ABC+∠ACB=（180°∠DBC）+（180°∠BCE）=120°，∴∠A=180°120°=60°，故答案為：60°．【點睛】本題考查了角平分線定義、鄰補角互補和三角形內角和是180°，解題關鍵是牢記性質和定義．三、解答題19．（2022春·上?！て吣昙壠谀┰谥?，，求的度數．【答案】．【分析】設，，，再根據求出的值，進而可得出結論．【詳解】解：中，設，，．，，解得，．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，熟知三角形內角和是是解答此題的關鍵．20．（2022春·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D：已知AB∥CD，BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，求∠BOC的度數．∵AB∥CD（已知），∴∠ABC+＝180°（）．∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，（已知），∴∠DBC＝∠ABC，∠ACB＝∠BCD（角平分線的意義）．∴∠DBC+∠ACB＝（）（等式性質），即∠DBC+∠ACB＝°．∵∠DBC+∠ACB+∠BOC＝180°（），∴∠BOC＝°（等式性質）．【答案】∠BCD，兩直線平行，同旁內角互補，∠ABC+∠BCD，90，三角形內角和等于180°，90【分析】根據題意利用AB∥CD得∠ABC+∠BCD=180；等式的性質得∠DBC+∠ACB=（∠ABC+∠ACD），進而由三角形內角和為180°得∠BOC=90°．【詳解】解：∵AB∥CD（已知），∴∠ABC+∠BCD＝180°（兩直線平行，同旁內角互補），∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD（已知），∴∠DBC＝∠ABC，∠ACB＝∠BCD（角平分線定義），∴∠DBC+∠ACB＝（∠ABC+∠BCD）（等式性質），即∠DBC+∠ACB＝90°，∴∠DBC+∠ACB+∠BOC＝180°（三角形內角和等于180°），∴∠BOC＝90°（等式性質），故答案為：∠BCD，兩直線平行，同旁內角互補，∠ABC+∠BCD，90，三角形內角和等于180°，90．【點睛】本題考查平行線的性質，等式的性質，三角形內角和定理，角平分線的性質等，解題的關鍵是掌握相關性質的應用．21．（2022春·七年級單元測試）如圖∠A＝20°，∠B＝45°，∠C＝40°，求∠DFE的度數．【答案】105°【分析】先根據三角形的外角性質求出∠ADB，再根據三角形的外角性質計算即可．【詳解】解：∵∠ADB＝∠B+∠C，∠B＝45°，∠C＝40°，∴∠ADB＝40°+45°＝85°，∵∠DFE＝∠A+∠ADB，∠A＝20°，∴∠DFE＝85°+20°＝105°．【點睛】本題考查的是三角形的外角性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．22．（2022春·上?！て吣昙壠谀┤鐖D，在中，，垂足為點，，，求的度數．【答案】【分析】根據垂直的定義和三角形內角和定理計算即可．【詳解】∵，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查的是三角形內角和定理，掌握三角形的內角和等于180°是解題的關鍵．23．（2022春·上海·七年級期末）已知AB∥CD，且CD平分∠FCB，∠CEB＝90°，∠CBE＝40°，求∠EBA的度數．【答案】25°【分析】由三角形的外角性質可求得∠FCB＝130°，再由角平分線的定義得∠FCD=∠BCD=65°，由平行線的性質可得∠CBA＝65°，根據∠EBA＝∠CBA﹣∠CBE即可求∠EBA的度數．【詳解】解：∵∠CEB＝90°，∠CBE＝40°，∴∠FCB＝∠CEB+∠CBE＝130°，又∵CD平分∠FCB，∴，又∵AB∥CD，∴∠CBA＝∠BCD＝65°，∴∠EBA＝∠CBA﹣∠CBE＝65°﹣40°＝25°．【點睛】本題主要考查了三角形外角，角平分線，平行線，解答的關鍵是熟練掌握三角形外角性質，角平分線性質和平行線的性質，并靈活運用．24．（2022春·上海·七年級專題練習）如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點，E為BC邊上一點，∠BCD＝∠BDC(1)若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，則∠B＝度（直接寫出答案）；(2)請說明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由．【答案】(1)70(2)見解析【分析】（1）利用三角形的外角性質可求出∠BDC的度數，結合∠BCD＝∠BDC可得出∠BCD的度數，再在△BCD中，利用三角形內角和定理可求出∠B的度數；（2）在△ABE中，利用三角形內角和定理可得出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B，在△BCD中，利用三角形內角和定理及∠BCD＝∠BDC可得出2∠BDC＝180°﹣∠B，進而可得出∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．【詳解】（1）解：∵∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，∴∠BDC＝∠ACD+∠CAD＝55°，∴∠BCD＝∠BDC＝55°．在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣55°﹣55°＝70°．故答案為：70；（2）解：在△ABE中，∠EAB+∠AEB+∠B＝180°，∴∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B．在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∠BCD＝∠BDC，∴2∠BDC＝180°﹣∠B，∴∠EAB+∠AEB＝2∠BDC．【點睛】本題考查了三角形內角和定理以及三角形的外角性質，解題的關鍵是：（1）利用三角形的外角性質，求出∠BDC的度數；（2）利用三角形內角和定理，找出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B及2∠BDC＝180°﹣∠B．【能力提升】一、單選題1．（2022春·上海·七年級專題練習）BP和CP是△ABC兩個外角的平分線，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意作出圖形，根據由三角形的內角和定理以及三角形外角的性質，求得∠P與∠A的關系，從而計算出∠P的度數．【詳解】解：如圖，∵BP、CP是△ABC的外角平分線，∴∠PBC＝（∠A＋∠ACB），∠PCB＝（∠A＋∠ABC），又∵∠PBC＋∠PCB＋∠P＝180°，∴∠P＝180°?（∠PBC＋∠PCB）＝180°?（∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC）＝180°?（180＋∠A）＝90°?∠A，故選C．【點睛】本題考查了三角形外角的性質以及三角形的內角和定理．解決問題的關鍵是掌握：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．2．（2022春·上海·七年級專題練習）如圖，，，則、和的關系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長DC交AB于G，延長CD交EF于H，然后由平行線的性質，三角形的內角和定理，外角的性質，即可求出角的關系．【詳解】解：延長DC交AB于G，延長CD交EF于H，如圖在直角△BGC中，；在△EHD中，，∵，∴，∴，∴；故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形的內角和定理，外角的性質，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的進行解題．二、填空題3．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖所示，AOB是一鋼架，且∠AOB=10°，為了使鋼架更加堅固，需在其內部添加一些鋼管EF，FG，GH…，添加的鋼管長度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管_____根．【答案】8

【詳解】試題解析：因為添加鋼管的長度都與OE相等，，所以，…….從圖中我們會發(fā)現有好幾個等腰三角形，由上可知，第一個等腰三角形的底角為10°，第二個是20°，第三個是30°，第三個是30°，第四個是40°，第五個是50°，第六個是60°，第七個是70°，第八個是80°，第九個是90°就不存在了，所以最多能添加這樣的鋼管8根.故本題的正確答案應為8.點睛：本題考查了三角形的內角和定理、等腰三角形的性質以及三角形外角的性質，解題的關鍵是找出規(guī)律.4．（2022春·上海·七年級專題練習）如圖所示,∠ACD是△ABC的外角,∠A=45°,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且BE、CE交于點E.∠E=______．【答案】22.5°【分析】根據外角的性質有∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，由角平分線的性質，得∠ECD=（∠A+∠ABC），∠EBC=∠ABC，利用等量代換，即可求得∠E．【詳解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠ECD=（∠A+∠ABC）．又∵∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）．∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC，∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC），∴∠E=∠A=22.5°，故答案為22.5°【點睛】本題考查了三角形外角的性質及角平分線性質，理清各角之間的關系是解題的關鍵．5．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF與CE交于G，若∠BDC=m°，∠BGC=n°，則∠A的度數為_____（用m，n表示）．【答案】（）°【分析】連接BC，根據三角形內角和定理可求得∠DBC＋∠DCB的度數，再根據三角形內角和定理及角平分線的定義可求得∠ABC＋∠ACB的度數，從而不難求得∠A的度數．【詳解】解：連接BC，∵∠BDC＝m°，∴∠DBC＋∠DCB＝180°?m°，∵∠BGC＝n°，∴∠GBC＋∠GCB＝180°?n°，∵BF是∠ABD的平分線，CE是∠ACD的平分線，∴∠GBD＋∠GCD＝∠ABD＋∠ACD＝180°?n°?(180°?m°)＝m°?n°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°?m°＋2（m°?n°）＝180°＋m°?2n°，∴∠A＝180°?（180°＋m°?2n°）＝(2n?m)°．故答案為(2n?m)°．【點睛】本題考查的是三角形內角和定理以及角平分線的定義，根據題意作出輔助線，構造出三角形是解答此題的關鍵．6．（2022春·上海徐匯·七年級上海市徐匯中學校考期中）按虛線剪去長方形紙片相鄰的兩個角，并使∠1＝130°，AB⊥BC，∠2＝______【答案】140°##140度【分析】連接AC，根據兩直線平行同旁內角互補，三角形內角和為180°，計算求值；【詳解】解：如圖，連接AC，點E、F為長方形頂點，則AE∥CF，∴∠CAE+∠ACF=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAC+∠ACB=90°，∴∠1+∠2=∠CAE+∠BAC+∠ACF+∠ACB=270°，∵∠1=130°，∴∠2=140°，故答案為：140°【點睛】本題考查了平行線的性質和三角形內角和定理；正確作出輔助線是解題關鍵．7．（2022春·上?！て吣昙壣虾Ｊ形膩碇袑W?？计谥校┤鐖D，三角形紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點C落在內，則__________度．【答案】80【分析】如圖延長AE、BF交于點C′，連接CC′．首先證明∠1+∠2=2∠AC′B，求出∠AC′B即可解決問題．【詳解】解：如圖延長AE、BF交于點C′，連接CC′．在△ABC′中，∠AC′B=180°65°75°=40°，∵∠ECF=∠AC′B=40°，∠1=∠ECC′+∠EC′C，∠2=∠FCC′+∠FC′C，∴∠1+∠2=∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C=2∠AC′B=80°；故答案為：80【點睛】本題考查翻折變換、三角形的內角和定理、三角形的外角等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，記住基本結論∠1+∠2=2∠AC′B解決問題．三、解答題8．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）（1）在銳角△ABC中，BC邊上的高所在直線和AB邊上的高所在直線的交點為P，∠APC＝110°，求∠B的度數；（2）如圖1，AF和CE分別平分∠BAD和∠BCD．當點D在直線AC上時，∠APC＝100°，則∠B的度數；（3）在（2）的基礎上，當點D在直線AC外時，如圖2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度數．【答案】（1）70°；（2）20°；（3）70°【分析】（1）利用三角形的外角的性質求出∠PAE即可解決問題．（2）利用三角形的內角和定理求出∠PAC+∠PCA，再根據角平分線的定義求出∠BAC+∠BCA即可解決問題．（3）先證∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B，再由角平分線定義知∠1＝∠2，∠3＝∠4，進行等量代換即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，∵AF，CE是高，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，∵∠APC＝∠AEP+∠PAE，∴∠PAE＝110°﹣90°＝20°，∴∠B＝90°﹣∠PAE＝90°﹣20°＝70°．（2）如圖2中，∵∠APC＝100°，∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣100°＝80°，∵AF和CE分別平分∠BAD和∠BCD，∴∠BAC＝2∠PAC，∠BCA＝2∠PCA，∴∠BAC+∠BCA＝160°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣160°＝20°．（3）如圖3中，連接PD延長于點H，∵∠ADH＝∠2+∠APD，∠CDH＝∠3+∠CPD，∴∠ADC＝∠2+∠APD+∠3+∠CPD＝∠2+∠3+∠APC，同理，∠APC＝∠1+∠4+∠B，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ADC＝130°，∠APC＝100°，∴∠B＝∠APC﹣∠1﹣∠4＝∠APC﹣∠2﹣∠3＝∠APC﹣(∠ADC﹣∠APC)＝70°．【點睛】本題考查三角形的外角，角平分線的定義，三角形內角和定理等知識，第3問中通過作輔助線證明∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B是解題的關鍵．9．（2022春·上海·七年級專題練習）在△ABC中，(1)如圖1，點E，F分別是AC，AB上一點，若BE，CF相交于點G，請說明∠BGC＝∠1+∠A+∠2；(2)如圖2，若BE，CF分別是AC，AB上的高，請說明∠1＝∠2理由；(3)如圖3，若∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分線BE，CF，AD相交于點G，則：①∠1+∠2+∠3＝；②若過點G作GH⊥BC于點H，發(fā)現∠BGD＝∠CGH，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①90°②見解析【分析】（1）根據三角形的外角性質，求得∠BGC＝∠BGP+∠CGP，據此進行計算即可；（2）根據BE，CF分別是AC，AB上的高，可得△ABE和△ACF是直角三角形，進而得出∠1+∠A＝∠2+∠A＝90°，據此可得∠1＝∠2；（3）根據∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分線BE，CF，AD相交于點G，可得∠1+∠2+∠3＝（∠ABC+∠ACB+∠BAC），據此進行計算即可；②根據∠BGD是△ABG的外角，得出∠BGD＝∠1+∠3＝∠ABC+∠BAC＝90°﹣∠ACB，再根據CF平分∠ACB，GH⊥BC，可得Rt△CHG中，∠CGH＝90°﹣∠GCH＝90°﹣∠ACB，進而得到∠BGD＝∠CGH．（1）解：∵如圖1，連接AG并延長至P，∵∠BGP是△ABG的外角，∴∠BGP＝∠1+∠BAP，同理可得，∠CGP＝∠2+∠CAP，∴∠BGC＝∠BGP+∠CGP＝∠1+∠BAP+∠2+∠CAP＝∠1+∠A+∠2；（2）解：∵如圖2，BE，CF分別是AC，AB上的高，∴△ABE和△ACF是直角三角形，∴∠1+∠A＝∠2+∠A＝90°，∴∠1＝∠2；（3）解：①如圖3，∵∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分線BE，CF，AD相交于點G，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∠3＝∠BAC，∴∠1+∠2+∠3＝（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝×180°＝90°，故答案為：90°；②∵∠BGD是△ABG的外角，∴∠BGD＝∠1+∠3＝∠ABC+∠BAC＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，∵CF平分∠ACB，∴∠GCH＝∠ACB，∵GH⊥BC，∴Rt△CHG中，∠CGH＝90°﹣∠GCH＝90°﹣∠ACB，∴∠BGD＝∠CGH．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理以及角平分線的定義的運用，解決問題的關鍵是掌握：三角形內角和等于180°．解決第（3）問的難點在于將∠BGD和∠CGH都用90°﹣∠ACB表示出來．10．（2022春·上?！て吣昙壠谥校┮阎?，直線GE上有一點C，B在直線GE外(1)如圖1，點A在GE上，作∠BAG，∠BCG的平分線AF，CF交于點F，請直接寫出∠B與∠F數量關系．(2)如圖2，A在直線外（在B點的下方，直線GE的上方），過A作HD∥GE，試說明∠BCE+∠ABC＝∠BAD．(3)如圖3，HD∥GE，分別作∠BAH與∠BCG的角平分線，兩線交于點F．問∠B與∠F有何數量關系，試說明．【答案】(1)∠B＝2∠F(2)見解析(3)∠B＝2∠F；理由見解析【分析】（1）根據三角形的外角的性質即可得到結論；（2）根據平行線的性質得到∠BND＝∠BCE，根據三角形的外角的性質即可得到結論；（3）根據平行線的性質得到∠FMH＝∠FCG，∠BNH＝∠BCG，根據角平分線的定義得到∠BAH＝2∠FAH，∠BCG＝2∠FCG，等量代換得到∠BNH＝2∠FMH，根據三角形的外角的性質即可得到結論．【詳解】（1）證明：∵AF、CF分別平分∠CAB、∠GCB，∴，，∵∠GCB為△ABC的外角，∴，∵為△ACF的外角，∴，，，，∴，∴．（2），∴∠BND＝∠BCE，∵∠BAD＝∠BND+∠ABC，∴∠BCE+∠ABC＝∠BAD．（3）∠B＝2∠F；，∴∠FMH＝∠FCG，∠BNH＝∠BCG，∵FA，FC是∠BAH與∠BCG的角平分線，∴∠BAH＝2∠FAH，∠BCG＝2∠FCG，∴∠BNH＝2∠FMH，∵∠BNH＝∠B+∠BAH，∠FMH＝∠F+∠FAH，∴∠B＝2∠F．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形的外角的性質，熟練掌握兩直線平行同位角相等，三角形外角的性質，是解題的關鍵．11．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）在△ABC中，若存在一個內角是另外一個內角度數的n倍（n為大于1的正整數），則稱△ABC為n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC為2倍角三角形．(1)在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，則△DEF為倍角三角形；(2)如圖，直線MN⊥直線PQ于點O，點A、點B分別在射線OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分線分別與∠BOQ的角平分線所在的直線交于點E、F；①說明∠ABO＝2∠E的理由；②若△AEF為4倍角三角形，直接寫出∠ABO的度數．【答案】(1)3(2)①見解析；②45°或36°【分析】（1）由∠E＝40°，∠F＝35°可知∠D＝105°，再根據n倍角三角形的定義可得結論．（2）①根據三角形內角和定理及一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和，利用角的和差計算即可求得結果．②首先證明∠EAF＝90°，分∠EAF＝4∠E和∠F＝4∠E兩種情形分別求解即可．【詳解】（1）解：∵∠E＝40°，∠F＝35°，∴∠D＝180°﹣40°﹣35°＝105°，∴∠D＝3∠F，∴△ABC為3倍角三角形，故答案為：3；（2）解：①∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，∴∠BAO＝2∠EAQ，∠BOQ＝2∠EOQ，由外角的性質可得：∠BOQ＝∠BAO+∠ABO，∠EOQ＝∠EAQ+∠E，∴∠ABO＝∠BOQ﹣∠BAO＝2∠EOQ﹣2∠EAQ＝2∠EAQ+2∠E﹣2∠EAQ＝2∠E，∴∠ABO＝2∠E．②∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝（∠BAO+∠OAG）＝90°，∵△EAF是4倍角三角形，∴當∠EAF＝4∠E時，∠E＝×90°＝22.5°，當∠F＝4∠E時，∠E＝×90°＝18°，∵∠ABO＝2∠E，∴∠ABO＝45°或36°．【點睛】本題考查三角形的內角和定理，角平分線的定義，角的和差計算等，讀懂新定義n倍角三角形的意義并注意分類討論是解決問題的基礎和關鍵．12．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）已知：如圖，△ABC的兩個外角的平分線交于點P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度數．【答案】70°，詳見解析【分析】先根據三角形內角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，再根據角平分線的定義、三角形內角和定理計算即可．【詳解】解：∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣140°＝220°，∵BP、CP是△ABC的外角平分線，∴∠PBC＝∠EBC，∠PCB＝∠FCB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠EBC+∠FCB）＝110°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝70°．【點睛】本題考查的是三角形內角和定理、角平分線的定義，掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．13．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，已知△中，，，點是上一點，且，點在邊的延長線上，平分，說明∥的理由．解：因為點在邊的延長線上（已知），所以（______________________）．因為（已知），所以（等式性質）．因為平分（已知），所以（___________________）．因為（_________________________________），所以（等量代換）．所以∥（____________________________________）．【答案】答案見解析【分析】根據平行線的判定定理進行判定即可．【詳解】解：因為點在邊的延長線上（已知），所以（鄰補角的意義）因為（已知），所以（等式性質）．因為平分（已知），所以（角平分線的意義）．因為（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），所以（等量代換）．所以∥（內錯角相等，兩直線平行）．14．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖①，點O為直線MN上一點，過點O作直線OC，使∠NOC=60°．將一把直角三角尺的直角頂點放在點O處，一邊OA在射線OM上，另一邊OB在直線AB的下方，其中∠OBA=30°（1）將圖②中的三角尺沿直線OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度數；（2）將圖①中的三角尺繞點O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉，旋轉角為α（0＜α＜360°），在旋轉的過程中，在第幾秒時，直線OA恰好平分銳角∠NOC；（3）將圖①中的三角尺繞點O順時針旋轉，當點A點B均在直線MN上方時（如圖③所示），請?zhí)骄俊螹OB與∠AOC之間的數量關系，請直接寫出結論，不必寫出理由．【答案】（1）∠A′ON=60°；（2）第15或秒時，直線OA恰好平分銳角∠NOC；（3）①當OB，OA在OC的兩旁時，∠MOB∠AOC=30°，②當OB，OA在OC的同側時，∠MOB+∠AOC=120°90°=30°．【分析】（1）如圖②中，延長CO到C′．利用翻折不變性求出∠A′O′C′即可解決問題；（2）設t秒時，直線OA恰好平分銳角∠NOC．構建方程即可解決問題；（3）分兩種情形分別求解即可解決問題；【詳解】（1）如圖②中，延長CO到C′．∵三角尺沿直線OC翻折至△A′B′O，∴∠A′OC′=∠AOC′=∠CON=60°，∴∠A′ON=180°60°60°=60°．（2）設t秒時，直線OA恰好平分銳角∠NOC．由題意10t=150或10t=330，解得t=15或33s，答：第15或秒時，直線OA恰好平分銳角∠NOC；（3）①當OB，OA在OC的兩旁時，∵∠AOB=90°，∴120°∠MOB+∠AOC=90°，∴∠MOB∠AOC=30°．②當OB，OA在OC的同側時，∠MOB+∠AOC=120°90°=30°．【點睛】本題考查了翻折變換，旋轉變換，三角形的內角和定理等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數構建方程解決問題，學會用分類討論的思想思考問題．15．（2022春·上海·七年級專題練習）已知中，記，.（1）如圖，若平分，、分別是的外角和的平分線，，用含的代數式表示的度數，用含的代數式表示的度數，并說明理由.（2）如圖，若點為的三條內角平分線的交點，于點，猜想（1）中的兩個結論是否發(fā)生變化，補全圖形并直接寫出你的結論...【答案】（1），；（2），【分析】（1）根據三角形內角和定理可求出，根據鄰補角的性質可求出，再根據角平分線的性質可得=，根據三角形內角和定理算出∠BPC．由三角形外角的性質得出，進而利用直角三角形兩銳角互余求出.（2）根據角平分線性質和三角形外角性質可得，，進而可得答案.【詳解】（1）解：∵在中，，∴又∵，∴∴∵在中，∴∵∴又∵平分∴同理∵∴∴∵在中，，∴（2）如圖2，若點為的三條內角平分線的交點，于點，猜想（1）中的兩個結論已發(fā)生變化∵點為的三條內角平分線的交點，∴，，=，即：，∴，，∴，.故答案為；．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，角平分線，三角形外角的性質．注意知識的靈活運用，對角進行代換運算．16．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）在一個三角形中，如果一個角是另一個角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“靈動三角形”．例如，三個內角分別為120°、40°、20°的三角形是“靈動三角形”；三個內角分別為80°、75°、25°的三角形也是“靈動三角形”等等．如圖，∠MON＝60°，在射線OM上找一點A，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點作射線AD，交線段OB于點C（規(guī)定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度數為_____°，△AOB_______．（填“是”或“不是”）“靈動三角形”；（2）若∠BAC＝70°，則△AOC_______（填“是”或“不是”）“靈動三角形”；（3）當△ABC為“靈動三角形”時，求∠OAC的度數．【答案】（1）30；是；（2）是；（3）30°或52.5°或80°．【分析】（1）利用三角形內角和定理解決問題即可．（2）求出∠OAC即可解決問題．（3）分三種情形分別求出即可．【詳解】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠BAO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∵90°＝3×30°，∴△AOB是“靈動三角形”．故答案為：30，是．（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，∴∠OAC＝20°，∵∠AOC＝60°＝3×20°，∴△AOC是“靈動三角形”．故答案為：是．（3：①當∠ACB＝3∠ABC時，∵∠ABO＝30°，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝60°，∴∠OAC＝30°；②當∠ABC＝3∠CAB時，∵∠ABO＝30°，∴∠CAB＝10°，∵∠OAB＝90°，∴∠OAC＝80°．③當∠ACB＝3∠CAB時，∵∠ABO＝30°，∴4∠CAB＝150°，∴∠CAB＝37.5°，∴∠OAC＝52.5°．綜上所述，滿足條件的值為30°或52.5°或80°．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，分類思想，數學新定義問題，準確理解新定義，靈活運用分類思想是解題的關鍵．17．（2022春·上海閔行·七年級上海市閔行區(qū)莘松中學?？计谥校┤鐖D已知點E是△ABC的邊BC的延長線上的一點，點D是∠ABC內的一動點．(1)如圖1，當∠ABC＝∠ECD時，則∠A＝．（填相等的角）(2)如圖2，當∠ACD＝∠ABC時，請寫出與∠A相等的角，并說明為什么？(3)如圖3當ABDC，BD平分∠ABC，AC平分∠BCD時，試判斷線段AC和射線BD的位置關系，并說明理由．【答案】(1)∠ACD(2)∠A＝∠DCE，理由見解析(3)AC⊥BD，理由見解析【分析】（1）由∠ABC＝∠ECD根據平行線的判定定理可得，AB∥CD，再根據平行線的性質即可得出答案；（2）根據三角形的外角和定理可知，∠ACE＝∠A+∠ABC，由已知∠ACD＝∠ABC，進行計算即可得出答案；（3）根據平行線的性質，兩直線平行，同旁內角互補，可得出∠ABC+∠BCD＝180°，由角平分線的性質可得∠OBC＝∠ABC，，可得出∠OBC+∠OCB＝90°，即可得出答案．（1）解：∵∠ABC＝∠ECD，∴AB∥CD，∴∠A＝∠ACD．故答案為：∠ACD；（2）∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，又∵∠ACD＝∠ABC，∴∠A＝∠DCE；（3）AC⊥BD．證明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，∴∠OBC＝∠ABC，，∴，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°，∴AC⊥BD．【點評】本題主要考查了平行線的性質，三角形外角和定理及角平分線的性質，熟練應用相關的性質進行計算是解決本題的關鍵．18．（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，已知點D為△ABC的邊BC延長線上一點，DF⊥AB于點F，交AC于點E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度數．解：因為DF⊥AB（已知），所以∠DFB＝90°（垂直的意義）．因為∠DFB+∠B+∠D＝180°（），又∠D＝42°，所以∠B＝°（等式性質）．因為∠ACD＝∠A+∠B（），又∠A＝35°，∠B＝°，所以∠ACD＝°（等式性質）．【答案】見解析【分析】根據三角形外角與內角的關系及三角形內角和定理解答．【詳解】解：因為DF⊥AB（已知），所以∠DFB＝90（垂直的意義）．因為∠DFB+∠B+∠D＝180（三角形內角和是180），又∠D＝42，所以∠B＝48（等式性質）．因為∠ACD＝∠A+∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和），又∠A＝35°，∠B＝48°，所以∠ACD＝83（等式性質）．故答案為：三角形內角和是180，48，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，48，83．【點睛】本題考查了三角形外角與內角的關系，三角形內角和定理．解題的關鍵是熟練掌握三角形外角與內角的關系.19．（2022春·上海·七年級專題練習）【閱讀理解】題目：如圖①，∠ABE和∠DCE的邊AB與CD互相平行，邊BE與CE交于點E．若，，求∠BEC的度數．老師在黑板中寫出了部分求解過程，請你完成下面的求解過程，并填空（理由或數學式）．解：如圖②，過點E作．∴（）．∵，∴．∵（），∴（）．∴（）∵，∴．∴（）°【問題遷移】如