黑龍江省高三下學(xué)期第四次模擬考試數(shù)學(xué)

2023~2024學(xué)年度高三年級(jí)第四次模擬數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.若，則的虛部為（）A.1B.1C.3D.33.佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心是比利時(shí)洛默爾市的地標(biāo)性建筑，該建筑是一座全玻璃建筑，整體成圓錐形，它利用現(xiàn)代設(shè)計(jì)手法令空間與其展示的藝術(shù)品無縫交融，形成一個(gè)統(tǒng)一的整體，氣勢恢宏，美輪美央.佛蘭德現(xiàn)代藝術(shù)中心的底面直徑為，高為，則該建筑的側(cè)面積為（）A.B.C.D.4.現(xiàn)有紅色?黃色?藍(lán)色的小球各4個(gè)，從中任取3個(gè)小球，若這3個(gè)小球顏色不全相同，則不同取法有（）A.160種B.208種C.256種D.472種5.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3條對稱軸，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6.已知內(nèi)角的對邊分別為，動(dòng)點(diǎn)位于線段上，則的最小值為（）A.0B.C.D.7.已知函數(shù)在上的最大值和最小值分別為，則（）A.4B.0C.2D.48.已知點(diǎn)是拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則原點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A.B.C.D.1二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，方差為，極差為，由這數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)，其中，則對于所得新數(shù)據(jù)，下列說法一定正確的是（）A.平均數(shù)是B.中位數(shù)是C.方差是D.極差是10.加斯帕爾?蒙日（如圖1）是18~19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓則被稱為“蒙日圓”（如圖2）.已知矩形的四邊均與橢圓相切，則下列說法正確的是（）A.橢圓的離心率為B.橢圓與橢圓有相同的焦點(diǎn)C.橢圓的蒙日圓方程為D.矩形的面積最大值為5011.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈目蓪?dǎo)函數(shù)，.若是奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.B.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為2C.是的導(dǎo)函數(shù)D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知，則__________.13.已知過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是__________，為坐標(biāo)原點(diǎn)的取值范圍為__________.14.如圖，中，分別是邊上的點(diǎn)，，將沿折起，點(diǎn)折起后的位置記為點(diǎn)，得到四棱錐，則四棱錐體積的最大值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知等差數(shù)列的公差與的等差中項(xiàng)為5，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)求數(shù)列的前20項(xiàng)和.16.（15分）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，富裕起來的人們健康意識(shí)日益提升，越來越多的人走向公園?場館，投入健身運(yùn)動(dòng)中，成為一道美麗的運(yùn)動(dòng)風(fēng)景線.某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時(shí)長情況，隨機(jī)抽取400人進(jìn)行調(diào)査，得到如下表的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：周平均鍛煉時(shí)間少于5小時(shí)周平均鍛煉時(shí)間不少于5小時(shí)合計(jì)50歲以下8012020050歲以上（含50）50150200合計(jì)130270400（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長與年齡有關(guān)聯(lián)？（2）現(xiàn)從50歲以上（含50）的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于5小時(shí)，用分層隨機(jī)抽樣法抽取8人做進(jìn)一步訪談，再從這8人中隨機(jī)抽取3人填寫調(diào)査問卷.記抽取3人中周平均鍛煉時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.82817.（15分）如圖，在直三棱杜中，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.18.（17分）已知雙曲線的一條漸近線方程為，點(diǎn)在上.（1）求雙曲線的方程；（2）過雙曲線的左焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，且與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn).19.（17分）若函數(shù)滿足：對任意的實(shí)數(shù)，有恒成立，則稱函數(shù)為“增函數(shù)”.（1）求證：函數(shù)不是“增函數(shù)”；（2）若函數(shù)是“增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，若曲線在處的切線方程為，求的值，并證明函數(shù)是“增函數(shù)”.2023~2024學(xué)年度高三年級(jí)第四次模擬·數(shù)學(xué)參考答案?提示及評(píng)分細(xì)則1.C由題意得，則，則，故錯(cuò)誤；，則，故B錯(cuò)誤；又，故C正確；，故錯(cuò)誤.2.A因?yàn)椋?，所以，所以，則的虛部為1.3.C由題知該建筑的母線長為，則其側(cè)面積為.4.B若取出的3個(gè)球顏色各不相同，不同的取法有種；若取出的2個(gè)球顏色不同，可能出現(xiàn)的取法有紅1黃2，紅1藍(lán)2，紅2黃1，紅2藍(lán)1，黃1藍(lán)2，黃2藍(lán)1，即144，故不同取法有種.（從中任取3個(gè)球共有種取法，3個(gè)球顏色全相同共有12種取法，則顏色不全相同的取法有種.）5.D因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間恰有3條對稱軸，所以，解得.6.C由題知，而，所以當(dāng)時(shí)，有最小值為.7.A令，所以最大值和最小值分別為，又，故為奇函數(shù)，故的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故.8.D設(shè)，由題意可知的斜率存在且不為0，不妨設(shè)，聯(lián)立方程得，所以由直線與拋物線相切可得，解得，所以，又因?yàn)樵谥本€上，所以有，同理可得，若，則，即的直線方程為，則到的距離為1；若，則，兩式聯(lián)立消得：，所以，所以，整理得，所以到直線距離，綜上，.9.BC的平均數(shù)是，中位數(shù)是，方差是，極差是.10.ABD由題知栯圓中，，所以，故A正確；橢圓中，，故焦點(diǎn)與橢圓相同，B正確；因?yàn)榫匦蔚乃倪吘c橢圓相切，所以點(diǎn)，即在蒙日圓上，故半徑，可得橢圓的蒙日圓方程為，故錯(cuò)誤；設(shè)矩形的邊長分別為，則有，所以矩形的面積等于50，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.11.BC由題意有，令，有，故錯(cuò)誤；，令得，故B正確；為奇函數(shù)，即，又因?yàn)?，所以，所以，所以，即，故C正確；因?yàn)椋?，得，即關(guān)于對稱，所以，即關(guān)于對稱，故D錯(cuò)誤.12.因?yàn)?，而，因此，則，所以.13.（2分）（3分）設(shè)，直線的方程為.由，得，所以，解得；由，可得，所以，又若直線與圓相切于點(diǎn)，易得，當(dāng)與重合時(shí)，取最大值，所以.14.當(dāng)?shù)酌娴拿娣e一定時(shí)，當(dāng)平面平面，即平面時(shí)，四棱錐的體積最大，設(shè)，則，令，則，令，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即四棱錐的體積最大值為.15.解：（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，與的等差中項(xiàng)為5，所以.又，解得或因?yàn)楣?，所以，所以，所以，得，所?（2）由（1）得：，則所以.16.解：（1）零假設(shè)周平均鍛煉時(shí)長與年齡無關(guān)聯(lián).由表格數(shù)據(jù)得：，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長與年齡有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.（2）抽取的8人中，周平均鍛煉時(shí)長少于5小時(shí)的有人，不少于5小時(shí)的有人，則所有可能的取值為，所以；所以的分布列為：123所以數(shù)學(xué)期望.17.（1）證明：由直三棱柱的性質(zhì)可知，四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為正方形，所以.在直三棱柱中，平面平面，由得，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即令，則，即，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，則，解得.則，平面的一個(gè)法向量由題意，.即點(diǎn)到平面的距離為.18.（1）解：由雙曲線的一條漸近線方程為，且點(diǎn)在上，有解得故雙曲線的方程為.（2）證明：由題意可知不與漸近線平行，當(dāng)與坐標(biāo)軸平行時(shí)，顯然直線與軸重合.當(dāng)不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，左焦點(diǎn)為，不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去并整理得，，設(shè)，則所以，所以.又直線互相垂直，用替換，則可得.當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，直線過；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，所以直線的方程為，令，所以直線過.綜