重慶市名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

秘密★啟用前重慶市名校聯(lián)盟20232024學(xué)年度第二期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（高2025屆）【命題學(xué)校：潼南中學(xué)命題人：李倩審題人：龍希勝、徐厚燕】（本試卷共4頁，總分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，并認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號及科類名稱.2．請將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在右側(cè)的[考生條形碼粘貼處]的方框內(nèi).3．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫，字體工整、筆跡清楚.4．請按題號順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效.5．保持答題卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，再將代入即可.【詳解】，所以.故選：C.2.為了了解全國觀眾對2024年春晚語言類節(jié)目的滿意度，某網(wǎng)站對2024年春晚的3000名觀眾，按性別比例分層隨機抽樣的方法進行抽樣調(diào)查，已知這3000名觀眾中男、女人數(shù)之比為，若樣本容量為300，則不同的抽樣結(jié)果共有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先按比例分別計算出男女觀眾的人數(shù)與樣本數(shù)，由于是抽取，故只需用組合數(shù)列式，再按乘法原理相乘即可.【詳解】在這3000名觀眾中，男性人數(shù)為：人；女性人數(shù)為：人.因為要按性別比例分層隨機抽樣，且樣本容量為300，所以抽取的樣本中，男性觀眾的人數(shù)為：，女性觀眾人數(shù)為：.所以不同抽取結(jié)果共有：.故選：B3.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】，則，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即.故選：D.4.現(xiàn)有兩種不同的顏色要對如圖形中的三個部分進行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分步計數(shù)乘法原理及古典概型概率公式就可以得到結(jié)果.【詳解】對這三個部分著色，只需要三步完成，第一步給區(qū)域①著色有2種方法，第二步給區(qū)域②著色有2種方法，第三步給區(qū)域③著色有2種方法，根據(jù)分步計數(shù)乘法原理，對這三部分著色共有種不同方法，若要對這三個部分著色且任意有公共邊的兩塊著不同顏色，則按如下三步完成，第一步給區(qū)域①著色有2種方法，第二步給區(qū)域②著色僅有1種方法，第三步給區(qū)域③著色僅有1種方法，根據(jù)分步計數(shù)乘法原理，對這三部分著色共有種不同方法，設(shè)事件“任意有公共邊的兩塊著不同顏色”，則由古典概型的概率公式得，故選：B.5.的展開式中，的系數(shù)為（）A.20 B.15 C.6 D.3【答案】B【解析】【分析】由，寫出展開式的通項，再代入計算可得.【詳解】因為，其中展開式的通項為（且），令，解得，所以，即的展開式中的系數(shù)為.

故選：B6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性，將問題化為在上恒成立，即可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】由得，當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞增時，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，對應(yīng)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故.故選：A7.現(xiàn)將《論語》、《孟子》、《大學(xué)》、《中庸》、《詩經(jīng)》5本不同的書籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《論語》分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是（）A.50 B.80 C.120 D.150【答案】A【解析】【分析】按甲乙丙人各分得書籍本數(shù)分類即可，注意平均分與不平均分的情況.【詳解】5本書分給甲乙丙3人，每人至少本，則人書籍本數(shù)分為，，；，，兩類；第一類，，的情況：若甲分本，已分得書籍，則另兩人一人本，人本，共有種，若甲分本，即再取本，則剩余2本書分給乙丙，一人一本，則共有種，故第一類情況共有+種；第二類，，情況：若甲分本，已分得書籍，另兩人各本，共有種，若甲分本，另兩人一人本，人本，共有種，故第二類情況共有+種；所以不同的分發(fā)方式種數(shù)共.故答案為：.8.已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不等式可化為，故考慮構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合條件判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式可得結(jié)論.【詳解】不等式可化為，設(shè)，則原不等式可化為，對函數(shù)求導(dǎo)，得，因為，所以，所以函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，所以．故不等式的解集為.故選：B.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.甲、乙、丙等5人排成一列，下列說法正確的有（）A.若甲和乙相鄰，共有48種排法 B.若甲不排第一個共有96種排法C.若甲與丙不相鄰，共有36種排法 D.若甲在乙的前面，共有60種排法【答案】ABD【解析】【分析】利用捆綁法可判斷A選項；利用特殊元素優(yōu)先可判斷B選項；利用插空法可判斷C選項；利用組合法可判斷D選項.【詳解】選項A:若甲和乙相鄰，將甲和乙捆綁，形成一個大元素，與其余四個元素排序共有種排法，A對;選項B：若甲不排第一個，則甲有4種排法，其余全排，共有種，B對；選項C，若甲與丙不相鄰，將除甲和丙以外的人全排，然后將甲與丙插入人所形成的個空中的個空，所以，共有種排法，C錯；選項D，若甲在乙的前面，只需在5個位置中先選兩個位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后將其余3個人全排，共有種排法，D對.故選：ABD.10.小明在超市購買大米，共有包裝相同的10袋大米，其中一級大米有4袋，二級大米有6袋，從中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到一級大米”，用B表示事件“第二次取到二級大米”，則（）A. B.C. D.事件相互獨立【答案】AC【解析】【分析】對于A：由古典概型概率公式計算即可判斷；對于B：由條件概率公式計算即可判斷；對于C：由全概率公式計算可判斷；對于D：由獨立乘法公式計算即可判斷.【詳解】對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：因為，，所以事件不相互獨立，故D錯誤.故選：AC11.定義：在區(qū)間上，若函數(shù)是減函數(shù)，且是增函數(shù)，則稱在區(qū)間上是“弱減函數(shù)”.根據(jù)定義可得（）A.在上是“弱減函數(shù)”B.在上是“弱減函數(shù)”C.若在上是“弱減函數(shù)”，則D.若在上是“弱減函數(shù)”，則【答案】BCD【解析】【分析】利用“弱減函數(shù)”的概念逐項分析即得.【詳解】對于A，在上單調(diào)遞減，不單調(diào)，故A錯誤；對于B，，在上，函數(shù)單調(diào)遞減，，，∴在單調(diào)遞增，故B正確；對于C，若在單調(diào)遞減，由，得，∴，在單調(diào)遞增，故C正確；對于D，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，令，，令，，∴在上單調(diào)遞減，，∴，∴上單調(diào)遞減，，∴，在上單調(diào)遞增，在上恒成立，∴，令，，∴在上單調(diào)遞增，，∴，綜上：，故D正確.故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.除以7余數(shù)是______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)二項式定理解決整除問題.【詳解】，所以除以7的余數(shù)為1.故答案為：1.13.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“第一次擲出的點數(shù)小于3”，事件“兩次點數(shù)之和大于4”，則______．【答案】【解析】【分析】利用古典概型概率公式分別求出，再根據(jù)條件概率公式求結(jié)論.【詳解】用表示隨機試驗“先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子”的結(jié)果，表示第一次擲出的點數(shù)，表示第二次擲出的點數(shù)，則，隨機試驗“先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子”的樣本空間中共有個樣本點，事件所包含的樣本點的個數(shù)為個，事件所包含樣本點的有，共7個，由古典概型概率公式可得，，由條件概率公式可得，故答案為：.14.已知對任意，且當(dāng)時，都有：，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先把轉(zhuǎn)化為，設(shè)，原問題就轉(zhuǎn)化成在單調(diào)遞減，然后利用在上，恒成立，分離參數(shù)，結(jié)合基本（均值）不等式，可求的取值范圍.【詳解】由，且，所以.設(shè)，，則原問題轉(zhuǎn)化為在單調(diào)遞減恒成立.因為在恒成立，所以，恒成立.因為（當(dāng)且僅當(dāng)即時取“”）所以.故答案為：【點睛】方法點睛：本題的關(guān)鍵是把把轉(zhuǎn)化為，設(shè)，原問題就轉(zhuǎn)化成在單調(diào)遞減，然后利用函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知展開式中，第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)比為．（1）求的值；（2）求展開式中有理項的系數(shù)之和．（用數(shù)字作答）【答案】（1）6（2）225【解析】【分析】（1）求得第三項的二項式系數(shù)為，第四項的二項式系數(shù)系數(shù)為，進而可得，求解即可；（2）根據(jù)通項公式可得時，對應(yīng)的項是有理項，求得各有理項，可求展開式中有理項的系數(shù)之和.【小問1詳解】依題意，展開式的通項公式為:，顯然第三項的二項式系數(shù)為，第四項的二項式系數(shù)系數(shù)為，因此，解得，所以的值為6.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時，對應(yīng)的項是有理項，當(dāng)時，展開式中對應(yīng)的有理項為；當(dāng)時，展開式中對應(yīng)的有理項為當(dāng)時，展開式中對應(yīng)的有理項為所以展開式中有理項的系數(shù)之和為16.已知函數(shù)在時取得極值．（1）求實數(shù)的值；（2）若對于任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，即可得解；（2）對于任意的恒成立，只需要即可，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.【小問1詳解】易知，依題意，解得，此時，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在時取得極值，所以；【小問2詳解】由（1）得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，由題意可得，解得，所以的取值范圍為.17.第33屆夏季奧林匹克運動會即將于2024年在巴黎舉辦，其中男子100米比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽三個階段，只有預(yù)賽、半決賽都獲勝才有資格進入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，乙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，丙在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，其中．（1）甲、乙、丙三人中，哪個人進入決賽的可能性更大？（2）在的條件下，設(shè)甲、乙、丙三人中進入決賽的人數(shù)為，求的分布列．【答案】（1）乙（2）分布列見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)概率乘法公式分別求出甲，乙，丙進入決賽的概率，比較大小確定結(jié)論，（2）先確定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列.【小問1詳解】甲進入決賽的概率為，乙進入決賽的概率為，丙進入決賽的概率為，因為，所以，所以乙進入決賽的概率最大，所以乙進入決賽的可能性最大．【小問2詳解】當(dāng)時，丙進入決賽的概率為，所以甲、乙、丙三人進入決賽的概率分布為，根據(jù)題意，得到隨機變量的可能取值為0，1，2，3，可得；，，，所以隨機變量的分布列為：012318.已知函數(shù)在定義域上有兩個極值點.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，然后利用判別式以及韋達定理求解；（2）計算，然后代入的值計算整理后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性來求解.【小問1詳解】由已知，因為函數(shù)在定義域上有兩個極值點，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為；【小問2詳解】由（1）得，，即兩個極值點為方程的兩根，則，所以代入得，其中，則，得，設(shè)，則，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，又，所以.19.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，設(shè)，且軸，求兩點間的最短距離；（3）若時，函數(shù)的圖象恒在的圖象上方，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）1（3）【解析】【分析】（1）代入，求出，再利用導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，最后由點斜式寫出切線方程即可；（2）由題意可得，令求導(dǎo)分析單調(diào)性得到最小值即可；（3）令，求導(dǎo)后再次構(gòu)造函數(shù)，分析的單調(diào)性，結(jié)合題意得到實數(shù)的取值范圍即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，，則，所以函數(shù)在點處的切線方程為.【小問2詳解】當(dāng)