《曲線與方程1》教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)精編資源3/3《曲線與方程》教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)1曲線的方程與方程的曲線必備知識(shí)學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)高考考向曲線的方程與方程的曲線的定義學(xué)習(xí)理解能力觀察記憶概括理解說(shuō)明論證應(yīng)用實(shí)踐能力分析計(jì)算推測(cè)解釋簡(jiǎn)單問(wèn)題解決遷移創(chuàng)新能力綜合問(wèn)題解決發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學(xué)抽象直觀想象【考查內(nèi)容】求曲線的方程,根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)【考查題型】填空題、選擇題、解答題求曲線的(軌跡)方程數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)邏輯推理直觀想象用坐標(biāo)法研究解析幾何圖形數(shù)學(xué)建模直觀想象一、本節(jié)內(nèi)容分析“曲線與方程”這節(jié),揭示了幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”的統(tǒng)一,為“依形判數(shù)”和“就數(shù)論形”的相互轉(zhuǎn)化奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ),由于曲線和方程的概念是解析幾何中最基本的內(nèi)容,因而學(xué)生用解析法研究幾何圖形的性質(zhì)時(shí),只有透徹理解曲線和方程的意義,才能算是尋得了解析幾何學(xué)習(xí)的入門(mén)之徑.求曲線與方程的問(wèn)題,也貫穿了這一章的始終,所以應(yīng)該認(rèn)識(shí)到,本節(jié)內(nèi)容是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之一.本節(jié)中提出的曲線與方程的概念,既是對(duì)以前學(xué)過(guò)的函數(shù)及其圖像、直線的方程、圓的方程等數(shù)學(xué)知識(shí)的深化,又是學(xué)習(xí)圓錐曲線的理論基礎(chǔ),它貫穿于研究圓錐曲線的全過(guò)程,根據(jù)曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)研究方程來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì),使幾何的研究實(shí)現(xiàn)了代數(shù)化.數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合,在本節(jié)中得到了充分體現(xiàn).本節(jié)包含的核心知識(shí)和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識(shí)1.曲線的方程與方程的曲線的定義2.求曲線的(軌跡)方程3.根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)4.用坐標(biāo)法研究解析幾何圖形數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)二、學(xué)情整體分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和圓的知識(shí),對(duì)于用方程表示直線和圓已經(jīng)有了感性認(rèn)識(shí),現(xiàn)在要進(jìn)一步研究平面內(nèi)曲線和二元方程之間的關(guān)系,是由直觀表象上升到抽象概念的過(guò)程,對(duì)學(xué)生有一定的難度.學(xué)情補(bǔ)充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學(xué)活動(dòng)準(zhǔn)備【任務(wù)專題設(shè)計(jì)】1.曲線的方程與方程的曲線.2.求曲線方程與根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì).【教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)】1.結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的曲線與方程的實(shí)例,了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.理解曲線的方程與方程的曲線的概念.3.了解兩條曲線交點(diǎn)的求法.4.了解用坐標(biāo)法研究解析幾何問(wèn)題的基本思想.5.掌握求曲線方程和由方程研究曲線性質(zhì)的方法.【教學(xué)策略設(shè)計(jì)】根據(jù)高二學(xué)生樂(lè)于合作探究,勤于思考與發(fā)現(xiàn)的認(rèn)知特點(diǎn),本節(jié)課采用自主發(fā)現(xiàn)與合作探究的教學(xué)方法.教學(xué)中,通過(guò)教師不斷提問(wèn),讓學(xué)生經(jīng)歷“獨(dú)立思考—師生交流—?dú)w納提升”的學(xué)習(xí)過(guò)程,教師在學(xué)生獨(dú)立完成的基礎(chǔ)上對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能進(jìn)行歸納、聯(lián)系、提升,對(duì)易錯(cuò)、易混知識(shí)通過(guò)解決問(wèn)題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的方式進(jìn)行辨析梳理,讓學(xué)生牢固理解掌握本章主要內(nèi)容,形成系統(tǒng)的知識(shí)體系,并在教師的引導(dǎo)下理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念,通過(guò)具體實(shí)例體會(huì)根據(jù)方程研究曲線性質(zhì)的方法.為了突破難點(diǎn),本課設(shè)置了“獨(dú)立思考—小組討論—交流總結(jié)”的學(xué)習(xí)過(guò)程,通過(guò)該環(huán)節(jié),讓學(xué)生體會(huì)代數(shù)問(wèn)題幾何化和幾何問(wèn)題代數(shù)化帶來(lái)的美感,感受數(shù)形結(jié)合思想和化歸的數(shù)學(xué)思想.【教學(xué)方法建議】演示教學(xué)法,還有__________________________________________【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)曲線的方程、方程的曲線的概念,初步掌握求曲線方程的方法.難點(diǎn)曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系、求曲線方程.【教學(xué)材料準(zhǔn)備】1.常規(guī)教材:多媒體課件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)教學(xué)導(dǎo)入師:大家回憶一下我們前面學(xué)習(xí)的直線與圓的方程,想一想在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)在直線或圓上的充要條件是什么？生:點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線或圓的方程.師:我們還借助直線與圓的方程討論了直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.不難想到,借助方程,應(yīng)該還可以討論平面內(nèi)的其他幾何對(duì)象及其幾何性質(zhì).【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)具體的情境,幫助學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的直線與圓的方程,為下一步歸納抽象出曲線與方程的關(guān)系打下基礎(chǔ).教學(xué)精講師:閱讀教材第117頁(yè)的“嘗試與發(fā)現(xiàn)”欄目,回答其中提出的兩個(gè)問(wèn)題,并說(shuō)明原因.【情境設(shè)置】探究曲線的方程與方程的曲線(1)如圖所示,設(shè)l1,l2是平面內(nèi)兩條互相垂直的直線,且M是所有到l1,l2的距離相等的點(diǎn)組成的集合,在圖中找出M中的所有元素.如果以l1,l2分別為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系,那么M中的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？(2)將|y|=|x|看成x與y的方程,如果x=a且y=b(a,b為實(shí)數(shù))能使方程|y|=|x|成立,則稱(a,b)是方程|y|=|x|的一組實(shí)數(shù)解,你能找出滿足這個(gè)方程的3組實(shí)數(shù)解嗎？這個(gè)方程有多少組實(shí)數(shù)解？如果將每一組實(shí)數(shù)解都看成平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn),那么所有實(shí)數(shù)解表示的點(diǎn)組成的集合與(1)中的集合M有什么關(guān)系？【先學(xué)后教】從對(duì)平面內(nèi)到兩條互相垂直的直線距離相等的點(diǎn)的集合的探究開(kāi)始,以學(xué)生熟悉的簡(jiǎn)單的實(shí)例闡明曲線的點(diǎn)集與方程的解集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,有利于學(xué)生對(duì)概念的理解.師:從幾何角度來(lái)看,如果P(x,y)在集合M中,則它在第一、三象限和第二、四象限的角平分線上;如果x,y是方程|y|=|x|的解,則點(diǎn)P(x,y)一定在第一、三象限和第二、四象限的角平分線上;從方程|y|=|x|與這四個(gè)象限的平分線角度來(lái)看,可以怎么解釋？生:一方面,如果P(x,y)在集合M中,則它的坐標(biāo)x,y必須滿足方程|y|=|x|;另一方面,如果x,y是方程|y|=|x|的解,則點(diǎn)P(x,y)都在集合M中.師:通過(guò)分析問(wèn)題(1)說(shuō)明:平面內(nèi)的曲線可以理解為平面內(nèi)符合某種條件的點(diǎn)的集合(或軌跡),因此點(diǎn)集M中的每個(gè)點(diǎn)P都要符合該條件,平面內(nèi)的點(diǎn)與作為它的坐標(biāo)的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,那么點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y之間受到某種條件的約束,在這里即為|y|=|x|.通過(guò)問(wèn)題(2)的分析得出:如果x,y是方程|y|=|x|的一組實(shí)數(shù)解,則以x為橫坐標(biāo)且以y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P滿足約束條件,即點(diǎn)P在集合M中.方程|y|=|x|的所有解表示的點(diǎn)的集合就是集合M.【要點(diǎn)知識(shí)】曲線的方程與方程的曲線的定義一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線C與方程F(x,y)=0之間具有如下關(guān)系:(1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.則稱曲線C為方程F(x,y)=0的曲線,方程F(x,y)=0為曲線C的方程.這就是說(shuō),如果曲線C的方程是F(x,y)=0,且P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),則P(x,y)∈C?F(x,y)=0,因此,方程F(x,y)可用來(lái)描述曲線C的特征性質(zhì).曲線C用集合的特征性質(zhì)描述法,可以描述為C={P(x,y)|F(x,y)=0}.【概括理解能力】以教師提問(wèn),學(xué)生回答共同探討的手段得出曲線的方程與方程的曲線的概念,經(jīng)歷概念的形成過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的理解、歸納概括的能力.師:為了進(jìn)一步理解曲線與方程的關(guān)系,我們看下面的例題.【典型例題】求曲線的方程例1已知平面直角坐標(biāo)系中,C是端點(diǎn)為原點(diǎn)且其他所有點(diǎn)都在x軸正半軸上的射線,判斷y=0以及y=0(x>0)是否是C的方程,如果都不是,寫(xiě)出C的方程.【推測(cè)解釋能力】根據(jù)例題,學(xué)生思考、分析,在對(duì)曲線與方程概念理解的基礎(chǔ)之上解決問(wèn)題,提升學(xué)生對(duì)問(wèn)題的推測(cè)解釋能力.師:結(jié)合平面直角坐標(biāo)系,可以看出,C上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？生:縱坐標(biāo)必為0.也就是說(shuō),如果P(x,y)為C上的點(diǎn),則必有y=0.師:縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)都在曲線C上嗎？生:不是的,當(dāng)橫坐標(biāo)小于0時(shí),在x軸的負(fù)半軸上,不在C上.因此y=0不是C的方程.師:那么y=0(x>0)是C的方程嗎？生:因?yàn)镃上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于等于0,所以C上的點(diǎn)(0,0)不滿足方程y=0(x>0),因此這也不是C的方程.師:由上分析可知,C的方程是y=0(x≥0).師:請(qǐng)各小組討論,歸納總結(jié)上述學(xué)習(xí)過(guò)程中所得結(jié)論.【歸納總結(jié)】曲線與方程的關(guān)系1.曲線與方程的定義表明:曲線C的方程是F(x,y)=0的充分必要條件是曲線C上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解,并且以方程F(x,y)=0的實(shí)數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上,這是識(shí)別曲線和方程關(guān)系的基本依據(jù).2.從集合的角度來(lái)看,設(shè)A是曲線C上的所有點(diǎn)組成的點(diǎn)集,B是所有以方程F(x,y)=0的實(shí)數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的點(diǎn)集,則由定義中的(1)可知A?B,由定義中的(2)可知B?A;同時(shí)具有關(guān)系(1)和(2),就有A=B.【自主學(xué)習(xí)】通過(guò)小組討論,給學(xué)生充分思考的空間,發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性,進(jìn)一步理解曲線與方程的關(guān)系問(wèn)題,提升學(xué)生思維的發(fā)展.師:接下來(lái)我們對(duì)曲線的方程與方程的曲線概念進(jìn)行辨析.【鞏固練習(xí)】辨析曲線的方程與方程的曲線思考辨析(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”):(1)若以方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上,則方程f(x,y)=0即為曲線C的方程.()(2)方程x+y-2=0是以A(2,0),B(0,2)為端點(diǎn)的線段的方程.()(3)在求曲線方程時(shí),對(duì)于同一條曲線,坐標(biāo)系的建立不同,所得的曲線方程也可能不一樣.()(4)求軌跡方程就是求軌跡.()【整體設(shè)計(jì)分步落實(shí)】通過(guò)鞏固練習(xí),檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)曲線的方程與方程的曲線定義的理解及應(yīng)用,提升學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng).【師生共同分析,得到答案】生1:(1)是錯(cuò)誤的,因?yàn)樾枰由狭硪粋€(gè)條件,即曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程f(x,y)=0.師:也就是要注意曲線的方程必須滿足兩個(gè)條件.生2:(2)是錯(cuò)誤的,因?yàn)橐苑匠痰慕鉃樽鴺?biāo)的點(diǎn)不一定在線段AB上.師:你可以舉例說(shuō)明嗎？生2:如M(-4,6)就不在線段AB上.生3:(3)是正確的.師:說(shuō)說(shuō)你的原因.生3:對(duì)于曲線上同一點(diǎn),由于坐標(biāo)系不同,該點(diǎn)的坐標(biāo)就不一樣,因此曲線方程也不一樣.生4:(4)是錯(cuò)誤的,師:為什么？生4:因?yàn)榍筌壽E方程得出方程即可,求軌跡還要指出方程的曲線是什么圖形.師:同學(xué)們回答得都非常好！(1)×(2)×(3)√(4)×師:下面再看一道例題.【典型例題】求曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)例2已知曲線C1的方程是x2-y=0,曲線C2的方程是|y|=|x|,判斷C1與C2是否有交點(diǎn),如果有,求出交點(diǎn)坐標(biāo);如果沒(méi)有,說(shuō)明理由.【概括理解能力】用提問(wèn)的方式引導(dǎo)學(xué)生思考一個(gè)點(diǎn)是兩曲線交點(diǎn)的充要條件,加深對(duì)概念的理解,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng).師:要解決這個(gè)問(wèn)題,我們首先要知道一個(gè)點(diǎn)是兩條曲線的交點(diǎn)的充要條件是什么？生:由曲線的方程的定義可知,一個(gè)點(diǎn)是兩條曲線的交點(diǎn)的充要條件是該點(diǎn)的坐標(biāo)是這兩條曲線方程的公共實(shí)數(shù)解.師:因此我們可以通過(guò)解方程組來(lái)判斷兩條曲線是否有交點(diǎn)等.生解:聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組,解方程組可得,或,或,因此C1與C2有三個(gè)交點(diǎn),且交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(1,1),(-1,1).師:例2說(shuō)明,曲線C1:F(x,y)=0和曲線C2:G(x,y)=0是否有交點(diǎn)的問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為方程組,是否有實(shí)數(shù)解的問(wèn)題,下面我們進(jìn)行鞏固練習(xí).【意義學(xué)習(xí)】通過(guò)例題引導(dǎo)學(xué)生歸納求兩曲線交點(diǎn)的一般方法,理解求曲線交點(diǎn)是建立在形與數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系基礎(chǔ)上的,初步感受把形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)來(lái)研究,是通過(guò)方程研究曲線的應(yīng)用,為下面由方程研究曲線的性質(zhì)做鋪墊.【鞏固練習(xí)】曲線的方程與方程的曲線的應(yīng)用已知方程x2+(y-1)2=10.(1)判斷點(diǎn)P(1,-2),Q(,3)是否在此方程表示的曲線上;(2)若點(diǎn)M(,-m)在此方程表示的曲線上,求m的值.師:如何判斷一個(gè)點(diǎn)是否在曲線上？生:把點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程看是否滿足即可.生解:(1)∵12+(-2-1)2=10,()2+(3-1)2=6≠10,∴點(diǎn)P(1,-2)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲線上,點(diǎn)Q(,3)不在方程x2+(y-1)2=10表示的曲線上.(2)∵點(diǎn)M(,-m)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲線上,∴x=,y=-m適合上述方程,即()2+(-m-1)2=10,解得m=2或m=-,∴m的值為2或-.師:由上面的練習(xí),我們總結(jié)一下.【簡(jiǎn)單問(wèn)題解決能力】通過(guò)有梯度的課堂跟蹤訓(xùn)練加深學(xué)生對(duì)曲線的方程和方程的曲線定義的理解,提高課堂效率,提升簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【歸納總結(jié)】曲線的方程與方程的曲線的注意點(diǎn)1.判斷點(diǎn)是否在某個(gè)方程表示的曲線上,就是檢驗(yàn)該點(diǎn)的坐標(biāo)是否是方程的解,是否適合方程,若適合方程,就說(shuō)明點(diǎn)在曲線上;若不適合,就說(shuō)明點(diǎn)不在曲線上.2.已知點(diǎn)在某曲線上,可將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程,從而可研究有關(guān)參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題.師:通過(guò)這節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？【課堂小結(jié)】曲線的方程與方程的曲線1.曲線C和方程F(x,y)=0的關(guān)系2.曲線的方程與方程的曲線的應(yīng)用.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)曲線的方程與方程的曲線的教學(xué),加強(qiáng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo),讓學(xué)生初步鞏固所學(xué)知識(shí),提升問(wèn)題解決能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).教學(xué)評(píng)價(jià)1.我們對(duì)概念的理解要注意以下兩點(diǎn):(1)“曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解”,闡述曲線上沒(méi)有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn),也就是說(shuō)曲線上所有的點(diǎn)都符合這個(gè)條件而毫無(wú)例外(純粹性).(2)“以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上”,闡明符合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無(wú)遺漏(完備性).2.對(duì)于求曲線的方程,我們要注意如下幾個(gè)方面:(1)在求方程之前,必須首先建立坐標(biāo)系,否則,曲線不能轉(zhuǎn)化為方程.(2)設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)M(x,y),根據(jù)曲線上的點(diǎn)所要適合的幾何條件列出等式,是求方程的重要環(huán)節(jié).(3)在化簡(jiǎn)過(guò)程中,注意運(yùn)算的合理性與準(zhǔn)確性.3.根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行:(1)研究曲線與坐標(biāo)軸是否相交,如果相交,求出交點(diǎn)的坐標(biāo).曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是確定曲線位置的關(guān)鍵點(diǎn).(2)研究曲線的對(duì)稱性.(3)研究曲線的變化趨勢(shì).【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)的重點(diǎn)是了解曲線的方程、方程的曲線的概念,初步掌握求曲線方程的方法和由方程研究曲線的性質(zhì),以及領(lǐng)悟坐標(biāo)法和解析幾何的思想,難點(diǎn)是了解曲線方程與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,求曲線方程的方法.通過(guò)具體知識(shí)點(diǎn)的演練,讓學(xué)生在運(yùn)用課堂教學(xué)過(guò)程中所學(xué)到的概括理解、分析計(jì)算等能力解決問(wèn)題,從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)目標(biāo).根據(jù)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,完成下面各題:1.方程(x2+y2-2x)=0表示的曲線是()A.一個(gè)圓和一條直線B.一個(gè)圓和一條射線C.一個(gè)圓D.一條直線解析:本題考查曲線的方程、方程的曲線的概念,解決這類問(wèn)題,要緊扣概念進(jìn)行分析作答.依題意,題中的方程等價(jià)于①x+y-3=0或②.注意到圓x2+y2-2x=0上的點(diǎn)均位于直線x+y-3=0的左下方區(qū)域,即圓x2+y2-2x=0上的點(diǎn)均不滿足x+y-3≥0,②不表示任何圖形,因此題中的方程表示的曲線是直線x+y-3=0.答案D2.(多選題)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C上任意點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)A(-2,0),B(2,0)連線的斜率之和等于2,則下列關(guān)于曲線C的結(jié)論正確的有()A.曲線C是軸對(duì)稱圖形B.曲線C上所有的點(diǎn)都在圓x2+y2=2外C.曲線C是中心對(duì)稱圖形D.曲線C上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)x滿足|x|>2解析:本題考查求曲線的方程和由方程研究曲線的性質(zhì),需要先求方程再根據(jù)方程研究相關(guān)性質(zhì).設(shè)點(diǎn)P(x,y),x≠±2,kPA+kPB=+=2,得xy=x2-4,x=0不滿足方程,y=x-(x≠±2)的圖像如圖所示,曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)是奇函