2023-2024學(xué)年北京八中高三（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京八中高三（上）期中數(shù)學(xué)考試時(shí)間120分鐘，滿分150分一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)的虛部為A. B. C. D.3.下列函數(shù)中最小值為4的是（）A. B.C. D.4.在空間中，若a，b，c是三條直線，α，β是兩個(gè)平面，下列判斷正確的是（）A.若a的方向向量與α的法向量垂直，則；B.若，，則；C.若，，，則；D.若α，β相交但不垂直，，則在β內(nèi)一定存在直線l，滿足．5.“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知向量，滿足，，，則（）A. B. C. D.7.如圖，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若函數(shù)及的圖象與線段分別交于點(diǎn)，，且，恰好是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則，滿足．A. B. C. D.8.在中，，BC邊上的高等于,則（）A. B. C. D.9.某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案．方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過．假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別是a，b，c，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響．則哪種方案能通過考試的概率更大（）A.方案一 B.方案二 C.相等 D.無(wú)法比較10.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，.若棱與平面有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.已知直線，．若，則實(shí)數(shù)的值是_______．12.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則___________13.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象至少向右平移_____個(gè)單位長(zhǎng)度得到．14.已知直線：與圓交于，兩點(diǎn)，過，分別作的垂線與軸交于，兩點(diǎn)，若，則__________．15.對(duì)于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）下列函數(shù)中具有性質(zhì)的有___________.①②③，（）④（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.三、解答題（本大題共6小題，共85分）16.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，a，b，c為角A，B，C的對(duì)邊，且滿足，且，求角A的值，進(jìn)而再求的取值范圍．17.隨著“中華好詩(shī)詞”節(jié)目的播出，掀起了全民誦讀傳統(tǒng)詩(shī)詞經(jīng)典的熱潮．某社團(tuán)為調(diào)查大學(xué)生對(duì)于“中華詩(shī)詞”的喜好，從甲、乙兩所大學(xué)各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，記錄他們每天學(xué)習(xí)“中華詩(shī)詞”的時(shí)間，按照，，，，，分組，并整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩(shī)詞”的時(shí)間，可以將學(xué)生對(duì)于“中華詩(shī)詞”的喜好程度分為三個(gè)等級(jí)：學(xué)習(xí)時(shí)間：（分鐘/天）等級(jí)一般愛好癡迷（1）從甲大學(xué)中隨機(jī)選出一名學(xué)生，試估計(jì)其“愛好”中華詩(shī)詞的概率；（2）從這兩組“癡迷”的同學(xué)中隨機(jī)選出2人，記ξ為選出的兩人中甲大學(xué)的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）試判斷選出的這兩組學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩(shī)詞”時(shí)間的平均值與的大小，及方差與的大小．（只需寫出結(jié)論）18.羨除是《九章算術(shù)》中記載的一種五面體．如圖五面體ABCDEF，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，其中，，，，M為AD中點(diǎn)，平面BCEF與平面ADEF交于EF．再?gòu)臈l件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)作為已知，使得羨除ABCDEF能夠確定，然后解答下列各題：（1）求證：平面CDE；（2）求二面角的余弦值．（3）在線段AE上是否存在點(diǎn)Q，使得MQ與平面ABE所成的角的正弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．條件①：平面平面ABCD；條件②：平面平面ABCD；條件③：．19.已知橢圓W：的焦距為4，短軸長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓W的方程；（2）設(shè)A，B，C是橢圓W上的三個(gè)點(diǎn)，判斷四邊形OABC能否為矩形？并說(shuō)明理由．20.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；（2）若函數(shù)在處取得極大值，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)存在最小值，直接寫出a的取值范圍．21.設(shè)數(shù)陣，其中、、、．設(shè)，其中，且．定義變換為“對(duì)于數(shù)陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個(gè)數(shù)都乘以；若其中沒有且沒有，則這一行中所有數(shù)均保持不變”（、、、）．表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到、，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到”，記數(shù)陣中四個(gè)數(shù)的和為．（1）若，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣；（2）若，，求的值；（3）對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不超過．

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.【答案】B【分析】解一元二次不等式求集合B，利用集合交運(yùn)算求.【詳解】由題設(shè)，或，所以.故選：B2.【答案】B【詳解】試題分析：，虛部為．故選B．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念．3.【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；對(duì)于D，，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．4.【答案】D【分析】根據(jù)空間線線、線面的位置關(guān)系逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，直線a可能在平面內(nèi)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)空間線面位置關(guān)系，則直線a與平面位置關(guān)系可能是平行，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若不在平面β內(nèi)，則可以不滿足，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，若直線∥，則在平面內(nèi)一定存在直線，則；若直線與相交，設(shè)交點(diǎn)為，取直線上與不重合的點(diǎn)，過作于，連接則平面內(nèi)一定存在直線，又，，所以平面，又因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以，所以D正確；故選：D5.【答案】C【分析】令，則，∴單調(diào)遞增，且，∴“”是””的充要條件．故選．【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?.【答案】D【分析】計(jì)算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7.【答案】A【分析】由恰好是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，求得的坐標(biāo)，分別代入指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式，求得的值，即可求解.【詳解】由題意知，且恰好是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，，把代入函數(shù)，即，解得，把代入函數(shù)，即，即得，所以.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答熟練應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式求得的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.【答案】C【詳解】試題分析：設(shè),故選C.考點(diǎn)：解三角形.9.【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，分別求得方案一和方案二的概率，作出比較，即可求解.【詳解】設(shè)三門考試課程考試通過的事件為，相應(yīng)的概率為，則考試三門課程，至少有兩門及格的事件為，其概率為，設(shè)在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格的概率為，則,又由，所以，即用方案一的概率大于用方案二的概率.故選：A.10.【答案】A【分析】取特殊值和，進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)合排除法可得出結(jié)論.【詳解】由題意，若，則棱與平面交于點(diǎn)，符合題意，此時(shí)；若，，則棱與平面交于線段，符合題意，此時(shí).排除B、C、D選項(xiàng).故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查線面位置關(guān)系，考查特殊值法的運(yùn)用，屬于中檔題．二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.【答案】0或－3【詳解】試題分析：由題意得：考點(diǎn)：直線位置關(guān)系12.【答案】.【分析】根據(jù)已知，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和公式、裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】由題知，因?yàn)?，，所以，解得，所以，所以，所以故答案為?13.【答案】【詳解】試題分析：,故應(yīng)至少向右平移個(gè)單位.考點(diǎn)：1、三角恒等變換；2、圖象的平移.14.【答案】4【分析】由題，根據(jù)垂徑定理求得圓心到直線的距離，可得m的值，既而求得CD的長(zhǎng)可得答案.【詳解】因?yàn)?，且圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，則由，解得，代入直線的方程，得，所以直線的傾斜角為，由平面幾何知識(shí)知在梯形中，．故答案為4【點(diǎn)睛】解決直線與圓的綜合問題時(shí)，一方面，要注意運(yùn)用解析幾何的基本思想方法（即幾何問題代數(shù)化），把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密，因此，準(zhǔn)確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識(shí)使問題較為簡(jiǎn)捷地得到解決．15.【答案】①.①②④②.或．【分析】（1）令，由，可判斷；由sinx=有解，可判斷是否具有性質(zhì)P；令=，此方程無(wú)解，由此可判斷；由兩圖象在有交點(diǎn)可判斷；（2）問題轉(zhuǎn)化為方程有根，令，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得所令函數(shù)的單調(diào)性及最值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：（1）在時(shí)，有解，即函數(shù)具有性質(zhì)P，令，即，∵，故方程有一個(gè)非0實(shí)根，故具有性質(zhì)P；的圖象與有交點(diǎn)，故sinx=有解，故具有性質(zhì)P；令=，此方程無(wú)解，故，（）不具有性質(zhì)P；令，則由兩圖象在有交點(diǎn)，所以有根，所以具有性質(zhì)P；綜上所述，具有性質(zhì)P的函數(shù)有：①②④；（2）具有性質(zhì)P，顯然，方程有根，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以的值域[，+∞），∴，解之可得：或．故答案為：①②④；或．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是審清題意，把方程的解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象有交點(diǎn)，本題考查的是方程的根，新定義，函數(shù)的值域，是方程和函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度比較大．三、解答題（本大題共6小題，共85分）16.【答案】（1）（2），的取值范圍是【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)運(yùn)算即可得解.（2）利用正弦定理、二倍角公式、輔助角公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)運(yùn)算即可得解.【小問1詳解】解：由題意，，由，解得：，∴單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】解：∵，∴由正弦定理，，∵在中，則，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，．∵，∴．由（1）知，則，∵，則，∴，∴，∴，即的取值范圍是.綜上知，，的取值范圍是.17.【答案】（1）0.65（2）分布列見解析，（3）；【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接用頻率估計(jì)概率即可得答案；（2）由題知甲大學(xué)隨機(jī)選取的40名學(xué)生中“癡迷”的學(xué)生有人，乙大學(xué)隨機(jī)選取的40名學(xué)生中“癡迷”的學(xué)生有人，進(jìn)而根據(jù)超幾何分布求解即可；（3）根據(jù)頻率分布直方圖的分布，結(jié)合平均值，方差的意義分析求解即可.【小問1詳解】解：由甲大學(xué)的頻率分布直方圖，結(jié)合等比分布表知，甲大學(xué)隨機(jī)選取的40名學(xué)生中，“愛好”中華詩(shī)詞的頻率為：，所以從甲大學(xué)中隨機(jī)選出一名學(xué)生，“愛好”中華詩(shī)詞的概率為0.65．【小問2詳解】解：由題知：甲大學(xué)隨機(jī)選取的40名學(xué)生中“癡迷”的學(xué)生有人，乙大學(xué)隨機(jī)選取的40名學(xué)生中“癡迷”的學(xué)生有人，所以，隨機(jī)變量ξ的取值為，1，2．所以，，，．所以ξ的分布列為012ξ的數(shù)學(xué)期望為【小問3詳解】解：由甲乙大學(xué)的頻率分布直方圖可知，乙大學(xué)的學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩(shī)詞”的時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)，且集中，所以，；18.【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析（3）答案見解析【分析】（1）確定四邊形BCDM為平行四邊形，，得到證明.（2）若選擇①，確定，，建立空間直角坐標(biāo)系，確定各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面法向量即可，選②或者③，確定，，平面平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，確定各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算法向量，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.（3）若選擇①，假設(shè)存在，，，利用向量的夾角公式計(jì)算即可，若選擇②③，假設(shè)存在，，確定，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【小問1詳解】等腰梯形ABCD，M是AD中點(diǎn)，，又，故四邊形BCDM為平行四邊形，故，平面CDE，平面CDE，故平面CDE．【小問2詳解】選①：連接，，作于，則，，，同理可得，，故，平面平面ABCD，平面平面，平面，故平面，平面，故，，故，此時(shí)，故，如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取得到；設(shè)平面的法向量為，則，取得到；，所以二面角的余弦值為．選②：取BC中點(diǎn)為N，EF中點(diǎn)為P，連接MP和MN平面平面ABCD，故平面平面，，平面ADEF，故平面ABCD，，如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，設(shè)平面BAE的一個(gè)法向量，，，令，則，，則易知是平面AEF的一個(gè)法向量，，根據(jù)圖像知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．選③：取MD中點(diǎn)，連接和，易知，，，，，，故，故二面角，故平面平面ABCD，取BC中點(diǎn)為N，EF中點(diǎn)為P，連接MP和MN平面平面ABCD，平面平面，，平面ADEF，故平面ABCD，故，如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，后續(xù)同②；【小問3詳解】若選擇①：設(shè)，，，，，解得，均不滿足題意，故不存在點(diǎn)Q．若選②或者③：設(shè)，，，，，解得，均不滿足題意，故不存在點(diǎn)Q．19.【答案】（1）（2）四邊形OABC可以為矩形，理由見解析【分析】（1）依題意可得，從而可得，進(jìn)而可求得方程；（2）設(shè)AC：，，，AC中點(diǎn)，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理得，，結(jié)合條件可得，從而可得；利用中點(diǎn)坐標(biāo)求得，，代入橢圓方程可得，從而可求得，進(jìn)而求得，，此時(shí)滿足，問題得解.【小問1詳解】由題意可得，則，所以橢圓W的方程為．【小問2詳解】設(shè)AC：，，，AC中點(diǎn)，，聯(lián)立方程組，，，．（1）由條件，得，即，整理得，將（1）式代入得，即（2）又，，且M同時(shí)也是OB的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)锽在橢圓上，所以，即，，所以（3）由（2）（3）解得，，驗(yàn)證知，所以四邊形OABC可以為矩形．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.20.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先求導(dǎo)后求出切線的斜率，然后求出直線上該點(diǎn)的坐標(biāo)即可寫出直線方程；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值分類討論；（3）分情況討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極限求解.【小問1詳解】，所以：切點(diǎn)為，又，所以：，所以：切線方程為.【小問2詳解】定義域?yàn)镽，，①當(dāng)時(shí)，，令得，所以：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為；令得，所以單調(diào)遞減區(qū)間為；所以：在取極大值，符合題意．②當(dāng)時(shí)，由，得：，，，變化情況如下表：0－0+0－減極小值增極大值減所以：在處取得極大值，所以：符合題意．③當(dāng)時(shí)，由，得：，，（i）當(dāng)即時(shí)，，變化情況如下表：0+0－0+增極大值減極小值增所以：在處取得極小值，不合題意．（ⅱ）當(dāng)即時(shí)，在R上恒成立，所以：在R上單調(diào)遞增，無(wú)極大值點(diǎn)．（iii）當(dāng)，即時(shí)，，