2023-2024學(xué)年北京匯文中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京匯文中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）1.直線過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，則直線的方程為A. B.C. D.2.設(shè)a∈R，則“a＝－2”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，以線段AB為直徑的圓的方程為（）A. B.C. D.4.已知方程表示的曲線是橢圓，則的取值范圍（）A. B. C. D.5.已知圓與圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相交 C.內(nèi)切 D.外切6.拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)M到直線距離的最小值是（）A. B. C. D.7.直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)、，若，則弦的長(zhǎng)是（）A. B. C. D.8.我們把離心率為黃金分割系數(shù)的橢圓稱為“黃金橢圓”.已知“黃金橢圓”的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，，分別為右頂點(diǎn)和是上頂點(diǎn)，則A. B. C. D.9.已知圓，直線為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，且切點(diǎn)為，，最小值為（）A.2 B. C.3 D.410.已知圓：，直線：，則當(dāng)?shù)闹蛋l(fā)生變化時(shí)，直線被圓所截的弦長(zhǎng)的最小值為，則的取值為（）A. B. C. D.11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若橢圓上恰好有個(gè)不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.12.曲線是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離之積等于4的點(diǎn)的軌跡，則（）①曲線過(guò)原點(diǎn)；②曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③若點(diǎn)在曲線上，則的面積不大于2；④曲線與曲線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．其中正確命題的序號(hào)為（）A.①② B.②③④ C.③④ D.①②④二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）13.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則_________14.已知雙曲線的漸近線方程為，則__________．15.圓與軸相交于兩點(diǎn)，則弦所對(duì)的圓心角的大小為_________．16.設(shè)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為__________．17.若直線與曲線有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是_____________．18.在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)之間的“折線距離”，有下列命題，其中為真命題的是___________.（填序號(hào)）①若，則；②到原點(diǎn)的“折線距離”不大于的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為；③原點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)M之間的折線距離的最小值為；④原點(diǎn)與圓上任意一點(diǎn)M之間的折線距離的最大值為.三、解答題（本大題共4小題，共60.0分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）19.在中，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線方程為，若點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求邊上的高所在的直線的方程．20.設(shè)拋物線的方程為，點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，．（1）當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，求過(guò)，，三點(diǎn)的圓的方程，并判斷直線與此圓的位置關(guān)系；（2）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)．21.已知橢圓的離心率為，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，在軸上是否存在一點(diǎn)（異于點(diǎn)），使軸上任意點(diǎn)到直線，的距離均相等？若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為．（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值．

參考答案一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）1.【答案】D【詳解】試題分析：由直線的傾斜角為，得其斜率為．又過(guò)點(diǎn)，∴方程為，即．故選D．考點(diǎn)：直線的點(diǎn)斜式方程．2.【答案】A【分析】由“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”得到a＝－2或a＝1，即得解.【詳解】解：若a＝－2，則直線l1：－2x＋2y－1＝0與直線l2：x－y＋4＝0平行；若“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”，∴，解得a＝－2或a＝1，∴“a＝－2”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充分不必要條件．故選：A3.【答案】B【分析】利用截距式的幾何意義得到，，從而求得該圓的圓心與半徑，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)橹本€在x，y軸上的截距分別為4，2，則，，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且，故以線段AB為直徑的圓的方程為，即故選：B.4.【答案】B【分析】橢圓方程的分母均大于0且不相等，進(jìn)而解出t.【詳解】由題意，.故選：B.5.【答案】D【分析】利用圓心距與半徑和的關(guān)系可判斷兩者的位置關(guān)系.【詳解】圓，其半徑為3，又，因?yàn)榧磮A心距為兩個(gè)圓的半徑之和，故兩圓外切，故選：D.6.【答案】A【分析】對(duì)求導(dǎo)可求與直線平行且與拋物線相切的切線方程，再利用兩平行線的距離公式可得所求的最小距離．【詳解】因?yàn)?，所以，令，得，所以與直線平行且與拋物線相切的切點(diǎn)，切線方程為，即，由兩平行線的距離公式可得所求的最小距離.故選：A.7.【答案】C【分析】利用拋物線的焦點(diǎn)弦公式可求得弦的長(zhǎng).【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)橹本€過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)、，則.故選：C.8.【答案】D【分析】設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)題意寫出A,B,F的坐標(biāo)，利用向量與向量乘積為0，得到.【詳解】設(shè)橢圓的方程為，由已知，得則離心率即故答案選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9.【答案】D【分析】最小值滿足四邊形的面積最小，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小值，即可求解．【詳解】圓，，即圓心為，半徑為2，如圖所示，連接，，四邊形的面積為，要使最小，則只需四邊形的面積最小，即只需的面積最小，，只需最小，，所以只需直線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小，其最小值是圓心到直線的距離，此時(shí)，，則此時(shí)四邊形的面積為2，即的最小值為4．故選：D．10.【答案】C【分析】由直線過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合圓的對(duì)稱性以及勾股定理得出的取值.【詳解】直線：恒過(guò)點(diǎn)，由于直線被圓所截的弦長(zhǎng)的最小值為，即當(dāng)直線與直線垂直時(shí)（為原點(diǎn)），弦長(zhǎng)取得最小值，于是，解得.故選：C11.【答案】D【分析】分等腰三角形以為底或一腰兩種情況討論，在第一種情況下，直接確定點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)，在第二種情況下，分析可知，在每個(gè)象限內(nèi)均存在點(diǎn)，使得或，設(shè)點(diǎn)在第一象限，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可得出關(guān)于、的不等式，即可求出該橢圓離心率的取值范圍.【詳解】如下圖所示：（1）當(dāng)點(diǎn)與橢圓短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，是以為底邊的等腰三角形，此時(shí)，有個(gè)滿足條件的等腰；（2）當(dāng)構(gòu)成以為一腰的等腰三角形時(shí)，以為底邊為例，則或，此時(shí)點(diǎn)在第一或第四象限，由對(duì)稱性可知，在每個(gè)象限內(nèi)，都存在一個(gè)點(diǎn)，使得是以為一腰的等腰三角形，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，其中，則，或，由可得，所以，，解得，由可得，所以，，解得，綜上所述，該橢圓的離心率的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.12.【答案】B【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到曲線的方程為，結(jié)合曲線的對(duì)稱性的判定方法，可①不正確，②正確；結(jié)合三角形的面積公式，可判定③正確；聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，可判定④正確.【詳解】設(shè)軌跡上的任意一點(diǎn)，則，所以，化簡(jiǎn)得，①中，把代入上述方程，可得，此式不成立，所以曲線不過(guò)原點(diǎn)，所以①不正確；②中，把代換上述方程中的，其方程不變，所以曲線關(guān)坐標(biāo)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以②正確；③中，若點(diǎn)在曲線上，則的面積為，所以③正確；④中，由曲線，可得，解得，代入曲線，整理得，解得（舍去），所以，解得，可得曲線與曲線有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以④正確.故選：B.二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）13.【答案】2【分析】由拋物線的準(zhǔn)線方程可直接求解.【詳解】由拋物線，得準(zhǔn)線方程為，由題意，，得．故答案為：2．14.【答案】【分析】首先可得，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到、，再跟漸近線方程得到方程，解得即可；【詳解】解：對(duì)于雙曲線，所以，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，又雙曲線的漸近線方程為，所以，即，解得；故答案為：15.【答案】【詳解】試題分析：由題可知，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，令，解得，因此,,在中，,,,因此為直角三角形，即,故弦所對(duì)的圓心角的大小為；考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程16.【答案】【分析】由橢圓定義可得，，從而，進(jìn)而的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，由此能求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【詳解】為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，，，，的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．故答案為：17.【答案】[0，1]【詳解】如圖，曲線表示如圖所示的半圓，表示過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線，當(dāng)動(dòng)直線在之間時(shí)，它與半圓總有公共點(diǎn)，又，，故，也即是.點(diǎn)睛：注意表示半圓，又本題的實(shí)質(zhì)是動(dòng)直線與半圓的至少有一個(gè)公共點(diǎn).利用幾何意義可以直接求得兩個(gè)臨界值，所求范圍在兩個(gè)臨界值之間.18.【答案】①③④【分析】根據(jù)定義直接計(jì)算①，設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的“折線距離”不大于，即可得到，畫出圖象，求出面積即可判斷②，設(shè)即可表示再根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得③，依題意設(shè)，則，再利用點(diǎn)到直線的距離求出的范圍，即可判斷④；【詳解】解：對(duì)于①若則，故①正確；對(duì)于②，設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的“折線距離”不大于，則，即，則點(diǎn)在下圖所示的平面區(qū)域內(nèi)，則所圍成的區(qū)域的面積為，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，設(shè)，則，函數(shù)圖象如下所示：則，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)閳A表示以為圓心，為半徑的圓，設(shè)，則，令，則所以，解得，即，故④正確；故答案為：①③④三、解答題（本大題共4小題，共60.0分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）19.【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）聯(lián)立直線和，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式可得直線的方程，利用角平分線可得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可寫出直線的方程，聯(lián)立直線的方程可求得交點(diǎn)的坐標(biāo).（2）由直線的斜率可得高的斜率，利用點(diǎn)斜式可求得高所在直線方程.試題解析：（1）由已知點(diǎn)應(yīng)在邊上的高所在直線與的角平分線所在直線的交點(diǎn)，由得，故．由，所以所在直線方程為，所在直線的方程為，由，得．（2）由（1）知，所在直線方程，所以所在的直線方程為，即．20.【答案】（1），相切（2）證明見解析【分析】（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程，代入，整理得，令，可得，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的中點(diǎn)，根據(jù)即可求解圓的方程，從而可判斷圓與直線相切；（2）利用導(dǎo)數(shù)法，確定切線的斜率，得切線方程，由此可得直線的方程，從而可得結(jié)論；【小問(wèn)1詳解】當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，代入，整理得，令，解得，代入方程得，故得，，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，且,從而過(guò)，，三點(diǎn)的圓的圓心為，半徑為，故其方程為．圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓與直線相切【小問(wèn)2詳解】由已知得，求導(dǎo)得，切點(diǎn)分別為,，,，故過(guò)點(diǎn),的切線斜率為，從而切線方程為,即,又切線過(guò)點(diǎn),，所以得①,即,同理可得過(guò)點(diǎn),的切線為，又切線過(guò)點(diǎn),，所以得②即,即點(diǎn),,,均滿足,故直線的方程為,又,為直線上任意一點(diǎn)，故對(duì)任意成立，所以，，從而直線恒過(guò)定點(diǎn),【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).（2）特殊到一般法：先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).21.【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)【分析】（1）由題意可得方程解方程后即可得解；（2）設(shè)直線，，，假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，由題意，聯(lián)立方程組表示出、，代入即可得解.【詳解】（1）由題意得，解得:，，.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）依題意，若直線的斜率不為零，可設(shè)直線，，.假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，由題設(shè)，，且，.設(shè)直線，的斜率分別為，，則，.因?yàn)?，在上，故，，而軸上任意點(diǎn)到直線，距離均相等等價(jià)于“平分”，繼而等價(jià)于.則.聯(lián)立，消去得：，有，.則，即，故或（舍）.當(dāng)直線的斜率為零時(shí)，也符合題意.故存在點(diǎn)，使得軸上任意