2023-2024學(xué)年北京十五中高二（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京十五中高二（上）期中數(shù)學(xué)2023.11考生注意：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。全卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘。請(qǐng)將答案作答在答題紙上。第Ⅰ卷（選擇題，共50分）一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分；每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的；請(qǐng)將答案填涂在答題紙上)1．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，4)和點(diǎn)B(1，2)，則直線AB的斜率為（）A．－2B．3C．2D．不存在2．直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，1)，且與直線平行，則直線l的方程為（

）A．B． C．D．3．已知圓：與圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．外切 C．內(nèi)切D．內(nèi)含4．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．(0，3)，(0，－3) B．(4，0)，(－4，0) C．(0，5)，(0，－5) D．(0，4)，(0，－4)5．若，，與的夾角為，則的值為（）A．5 B．4C．D．06．焦點(diǎn)在y軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為，焦距為的橢圓方程為（

）A． B．C． D．7．已知向量，，，若向量與向量，共面，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．C． D．8．已知圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，則圓心到直線的距離為（

）A． B．1 C．2 D．39．已知直線與曲線有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．B．C． D．10．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列四個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）①存在點(diǎn)Q，使得②不存在點(diǎn)Q，使得平面③三棱錐的體積是定值④不存在點(diǎn)Q，使得PQ與AD所成角為60°A．0 B．1 C．2 D．3第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分；請(qǐng)將答案填入答題紙的指定位置)11．以(－1，2)為圓心且與x軸相切的圓的方程為_(kāi)______________．12．直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則_________．13．若直線與直線平行，則a=_________．14．已知點(diǎn)A(2，0)，B(－2，0)，點(diǎn)P在直線上，則最小值等于__．15．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，過(guò)橢圓上頂點(diǎn)A與左焦點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若是直角，則橢圓的離心率是________．三、解答題(本大題共5小題，共75分；解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟；請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上)16．(本小題14分)已知三角形的頂點(diǎn)為.（Ⅰ）求邊上的中線所在直線方程；（Ⅱ）求邊上的高線所在直線方程.17．(本小題14分)已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓.（Ⅰ）若圓關(guān)于直線對(duì)稱，求直線的方程；（Ⅱ）若直線平行于直線，求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線的方程.8．(本小題15分)如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面是正三角形，的中點(diǎn)為，平面.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離.19．(本小題16分)如圖，在四棱錐中，平面PAD，△PAD為等邊三角形，//，，E、F分別為棱PD，PB的中點(diǎn)，平面PAD與平面PBC的交線是l．

（Ⅰ）求證：∥直線；（Ⅱ）求平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在點(diǎn)G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由．20．(本小題16分)已知點(diǎn)P(1，3)，圓．（Ⅰ）求圓C過(guò)點(diǎn)P的切線方程；（Ⅱ）為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線l與圓交于兩點(diǎn)，設(shè)，的斜率分別為，求證：為定值．

參考答案第Ⅰ卷（選擇題，共50分）一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分；每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的；請(qǐng)將答案填涂在答題紙上)1．（A）2．（C

）3．（

B

）4．（D）5．（C）6．（

D

）7．（B）8．（

D

）9．（A）10．（

A

）第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分；請(qǐng)將答案填入答題紙的指定位置)11．(或?qū)懗?12．13．－214．815．三、解答題(本大題共5小題，共75分；解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟；請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙的指定位置上)16．解：（Ⅰ）BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，3分因?yàn)椋瑒t邊BC上的中線所在直線的方程為；6分（Ⅱ）邊BC的斜率為，8分則其上的高的斜率為，10分又因?yàn)橹本€過(guò)，則邊BC上的高所在直線的方程為，12分即14分(直線方程也可以寫(xiě)成斜截式：)17．解：（Ⅰ）由2分可得圓心，半徑，因?yàn)閳A關(guān)于直線l對(duì)稱，所以直線l過(guò)圓心，3分又直線l過(guò)點(diǎn)，所以直線l斜率為，5分由點(diǎn)斜式方程可得，即7分(直線方程也可以寫(xiě)成斜截式：)（Ⅱ）由題意知，直線l斜率為，則由點(diǎn)斜式方程可得，即，9分因?yàn)橹本€l與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，10分又因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，12分(也可以用直線l上其他的點(diǎn)求其對(duì)稱點(diǎn))則由點(diǎn)斜式方程可得，即14分(直線方程也可以寫(xiě)成斜截式：)18．解：（Ⅰ）四邊形為正方形，則，1分因?yàn)槠矫妫裕?分因?yàn)?，?分所以平面；4分（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，6分則，7分，，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，令，則，9分設(shè)直線與平面所成角為，，11分，因此直線與平面所成角的正弦值為12分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，13分設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以15分19．解：（Ⅰ）因?yàn)?/，平面，平面，所以//平面，2分又因?yàn)槠矫?，平面平面直線l，3分所以∥4分（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接，由題意可得：//，且，則為平行四邊形，可得//，且平面PAD，則平面PAD，由平面PAD，則，又因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，則為的中點(diǎn)，可得，，平面，則平面，6分如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，7分則，可得，8分設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，10分由題意可知：平面PAD的法向量，11分可得，所以平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值12分（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：，13分設(shè)，，則，可得，解得，即，可得，15分若∥平面AEF，則，可得，解得，所以存在點(diǎn)，使得∥平面AEF，此時(shí)16分20．解：（Ⅰ）圓，圓心為，半徑為，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l與圓C相切；此時(shí)方程為2分當(dāng)直線l斜率存在時(shí)