第1章 第3節(jié)　全稱量詞命題與存在量詞命題-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新高考）

第三節(jié)全稱量詞命題與存在量詞命題一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．全稱量詞和存在量詞量詞名稱常見(jiàn)量詞符號(hào)表示全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個(gè)等?存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有些、某些等?2.全稱量詞命題和存在量詞命題及其否定名稱形式全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立簡(jiǎn)記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2＜0”． (√)(2)“長(zhǎng)方形的對(duì)角線相等”是存在量詞命題． (×)(3)?x∈R，x2＋1＝0． (×)(4)寫存在量詞命題的否定時(shí)，存在量詞變?yōu)槿Q量詞． (√)(5)?x∈M，p(x)與?x∈M，p(x)的真假性相反． (√)2．(2020·煙臺(tái)期末考試)命題“?x∈R，x2－x＋1＞0”的否定是()A．?x∈R，x2－x＋1≤0B．?x∈R，x2－x＋1＜0C．?x∈R，x2－x＋1≤0D．?x∈R，x2－x＋1＜0C解析：全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以本題命題的否定為“?x∈R，x2－x＋1≤0”．故選C.3．若命題“?x∈R，x2＋mx＋2≥0”為真命題，則m的取值范圍是()A．(2eq\r(2)，＋∞)B．(－2eq\r(2)，2eq\r(2))C．[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]D．(－∞，－2eq\r(2)]∪[2eq\r(2)，＋∞)C解析：?x∈R，x2＋mx＋2≥0為真命題，等價(jià)于f(x)＝x2＋mx＋2的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)或沒(méi)有交點(diǎn)，故Δ＝m2－8≤0，解得－2eq\r(2)≤m≤2eq\r(2).考點(diǎn)1全稱量詞命題、存在量詞命題的否定——基礎(chǔ)性1．(2021·淄博市部分學(xué)校高三檢測(cè))命題“?x∈(0，＋∞)，lnx＝x－1”的否定是()A．?x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．?x(0，＋∞)，lnx＝x－1C．?x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1D．?x(0，＋∞)，lnx＝x－1C解析：存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，將結(jié)論加以否定，所以命題的否定為“?x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”．2．命題“?x＞0，eq\f(x,x－1)＞0”的否定是()A．?x＜0，eq\f(x,x－1)≤0B．?x＞0，0≤x≤1C．?x＞0，eq\f(x,x－1)≤0D．?x＜0，0≤x≤1B解析：因?yàn)閑q\f(x,x－1)＞0，所以x＜0或x＞1，所以eq\f(x,x－1)＞0的否定是0≤x≤1，所以命題的否定是?x＞0，0≤x≤1.故選B．3．命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2D解析：“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式為“?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2”．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對(duì)量詞進(jìn)行改寫．(2)否定結(jié)論：對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定．考點(diǎn)2全稱量詞命題、存在量詞命題的真假判斷——基礎(chǔ)性1．下列四個(gè)命題中的真命題是()A．?n∈R，n2≥nB．?n∈R，?m∈R，m·n＝mC．?n∈R，?m∈R，m2<nD．?n∈R，n2<nB解析：對(duì)于選項(xiàng)A，令n＝eq\f(1,2)，即可驗(yàn)證其不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，D，可令n＝－1加以驗(yàn)證，均不正確．故選B．2．下列四個(gè)命題中的假命題是()A．?x∈R，x2≥0 B．?x∈R，2x－1＞0C．?x∈R，lgx＜1 D．?x∈R，sinx＋cosx＝2D解析：A顯然正確；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知2x－1＞0恒成立，所以B正確；當(dāng)0＜x＜10時(shí)，lgx＜1，所以C正確；因?yàn)閟inx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，所以－eq\r(2)≤sinx＋cosx≤eq\r(2)，所以D錯(cuò)誤．故選D．全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱量詞命題真所有對(duì)象使命題真否定為假假存在一個(gè)對(duì)象使命題假否定為真存在量詞命題真存在一個(gè)對(duì)象使命題真否定為假假所有對(duì)象使命題假否定為真考點(diǎn)3全稱量詞命題、存在量詞命題的應(yīng)用——應(yīng)用性(1)已知命題“?x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(4，＋∞) B．(0,4]C．(－∞，4] D．[0,4)C解析：當(dāng)原命題為真命題時(shí)，a>0且Δ＝16－4a<0，所以a>4.故當(dāng)原命題為假命題時(shí)，a≤4.故選C.(2)已知f(x)＝x2，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x)－m.若對(duì)?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))解析：當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，f(x)min＝f(0)＝0；當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，g(x)min＝g(2)＝eq\f(1,4)－m．由f(x)min≥g(x)min，得0≥eq\f(1,4)－m，所以m≥eq\f(1,4).本例(2)中，若將“?x2∈[1,2]”改為“?x2∈[1,2]”，其他條件不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，g(x)max＝g(1)＝eq\f(1,2)－m.由f(x)min≥g(x)max，得0≥eq\f(1,2)－m，所以m≥eq\f(1,2).根據(jù)全稱(存在)量詞命題的真假求參數(shù)的思路此類問(wèn)題的本質(zhì)是恒成立問(wèn)題或有解問(wèn)題．一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過(guò)解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍．1．已知函數(shù)f(x)＝2ax－a＋3.若?x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－3,1) D．(1，＋∞)A解析：依題意可得f(－1)·f(1)＜0，即(－2a－a＋3)·(2a－a＋3)＜0，解得a＜－3或a＞1.故選A．2．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝eq\r(x)＋m，對(duì)任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x