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3/6第7講與三角形相關(guān)的范圍問題一.方法綜述與三角形相關(guān)的范圍問題同樣是高考命題的熱點問題之一,要充分利用解三角形知識,正余弦定理的邊角轉(zhuǎn)化策略以及結(jié)合基本不等式、函數(shù)、方程與不等式思想,運用轉(zhuǎn)化與化歸思想求解.二.解題策略類型一轉(zhuǎn)化為函數(shù)(三角函數(shù)或二次函數(shù))解決【例1】在平面四邊形ABCD中,AB=1,AD=4,BC=CD=2,則四邊形ABCD面積的最大值為()A. B. C. D.【來源】江蘇省蘇州市八校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試題【例2】(2020·廣東高考模擬)如圖所示,在平面四邊形中,,,是以為頂點的等腰直角三角形,則面積的最大值為________.【例3】.(2020·湖北黃岡中學(xué)高考模擬)已知中,所對的邊分別為a,b,c,且滿足,則面積的最大值為______.【舉一反三】1.(2020·安徽高考模擬)在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且A是B和C的等差中項,,,則周長的取值范圍是A. B.C. D.2.若是垂心,且,則()A. B. C. D.【來源】2020屆浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題3.(2020·山東高考模擬)在圓內(nèi)接四邊形中,,,則的面積的最大值為__________.類型二結(jié)合不等式(基本不等式)求解問題【例1】已知?分別為橢圓:的左?右頂點,為橢圓上一動點,,與直線交于,兩點,與的外接圓的周長分別為,,則的最小值為()A. B. C. D.【例2】(2020·江西高考模擬)在銳角三角形中,角的對邊分別為,若,則的最小值是_______.【例3】(2020湘贛十四校聯(lián)考)在中,角,,的對邊分別為,,,若,且恒成立,則的取值范圍是【舉一反三】1.在中,已知,,的面積為6,若為線段上的點(點不與點,點重合),且,則的最小值為().A.9 B. C. D.【來源】福建省仙游第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題2.在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,,,點D在邊上,且,則線段長度的最小值為()A. B. C.3 D.23.(2020·河南高考模擬)在中,角,,的對邊分別為,設(shè)的面積為,若,則的最大值為_____.三.強化訓(xùn)練1.(2020安徽省蕪湖市高三)銳角三角形的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,已知,,則周長的最大值為()A.B.C.3D.42.(2020黑龍江省鶴崗市一模)中,角、、所對的邊分別為、、,且滿足,,則面積的最大值是()A.B.C.D.3.(2020·山東高考模擬)設(shè)銳角三角形的內(nèi)角所對的邊分別為,若,則的取值范圍為()A. B.C. D.4.設(shè)銳角的三個內(nèi)角..的對邊分別為..,且,,則周長的取值范圍為()A. B. C. D.【來源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)(文)全真模擬卷(新課標Ⅱ卷)5.(2020·安徽省定遠中學(xué)高考模擬)已知在銳角中,角,,的對邊分別為,,,若,則的最小值為()A. B. C. D.6、(2020山西省高考模擬)的內(nèi)角的對邊分別為,若的面積為,周長為6,則b的最小值是()A.2 B. C.3 D.7、(2020陜西省漢中市質(zhì)檢)在中,角的對邊分別是,若角成等差數(shù)列,且直線平分圓的周長,則面積的最大值為()A.B.C.2D.8.(2020湖南省湘潭市模擬)分別為銳角內(nèi)角的對邊,函數(shù)有唯一零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.(2020·山東高考模擬)曲線的一條切線l與軸三條直線圍成的三角形記為,則外接圓面積的最小值為A. B. C. D.10.已知三棱錐中,平面,,,則三棱錐體積最大時,其外接球的體積為()A. B. C. D.11.銳角的內(nèi)角,,的對邊分別為,,且,,若,變化時,存在最大值,則正數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知銳角三角形的內(nèi)角,,的對邊分別為,,.且,則的取值范圍為()A. B. C. D.13.若面積為1的滿足,則邊的最小值為()A.1 B. C. D.2【來源】福建省寧德市2020屆高三畢業(yè)班6月質(zhì)量檢查理科數(shù)學(xué)試題14.已知的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,若的面積為,則的周長的最小值為()A.4 B. C.6 D.15.如圖,在平面四邊形中,,,,,則的最小值為()A. B. C. D.16.已知的周長為9,若,則的內(nèi)切圓半徑的最大值為()A. B.1 C.2 D.【來源】2020屆湖南省衡陽市高三下學(xué)期第二次模擬數(shù)學(xué)(理)試題17.(2020·甘肅西北師大附中高考模擬)在銳角中,,則的取值范圍是18.(2020·廣東高考模擬)在中,角所對的邊分別為,,的平分線交于點D,且,則的最小值為________.19.(2020·湖南高考模擬)在中,角,,的對邊分別為,,,若,且恒成立,則的取值范圍是20.(2020·湖北高考模擬)已知分別為的三個內(nèi)角的對邊,已知,,,若滿足條件的三角形有兩個,則的取值范圍是21.(2020·河南高考模擬)在中,角所對的邊分別是,已知,且,則的取值范圍為22.(2020·江蘇高考模擬)在中,設(shè)角的對邊分別是若成等差數(shù)列,則的最小值為________.23.(2020·湖南高考模擬)在中,分別為角所對的邊,若,的面積為,則的最小值為__________.第7講與三角形相關(guān)的范圍問題第7講與三角形相關(guān)的范圍問題一.方法綜述與三角形相關(guān)的范圍問題同樣是高考命題的熱點問題之一,要充分利用解三角形知識,正余弦定理的邊角轉(zhuǎn)化策略以及結(jié)合基本不等式、函數(shù)、方程與不等式思想,運用轉(zhuǎn)化與化歸思想求解.二.解題策略類型一轉(zhuǎn)化為函數(shù)(三角函數(shù)或二次函數(shù))解決【例1】在平面四邊形ABCD中,AB=1,AD=4,BC=CD=2,則四邊形ABCD面積的最大值為()A. B. C. D.【來源】江蘇省蘇州市八校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試題【答案】A【解析】由余弦定理知:在中,有,在中,有,則,由四邊形的面積=三角形ABD的面積+三角形BCD的面積,故,在三角形中,易知,,,當且僅當時等號成立,此時,故,故選:A.【指點迷津】在處理解三角形問題時,要注意抓住題目所給的條件,將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系;這類問題的通法思路是:全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系式,從而求出范圍或最值,從而得最值.【例2】(2020·廣東高考模擬)如圖所示,在平面四邊形中,,,是以為頂點的等腰直角三角形,則面積的最大值為________.【答案】【解析】【分析】設(shè),,,則的面積,在中,運用余弦定理,表示出,根據(jù)是以為頂點的等腰直角三角形,得到,代入面積公式,利用三角函數(shù)即可求面積的最大值.【詳解】在中,設(shè),,在中,,,由余弦定理,可得,由,當且僅當時取等號,即有,由于則,利用余弦定理可得:,化簡得:,又因為是以為頂點的等腰直角三角形,則,在中,由正弦定理可得:,即:,則,由于,即所以的面積當時,取最大值1,所以的面積的最大值為【例3】.(2020·湖北黃岡中學(xué)高考模擬)已知中,所對的邊分別為a,b,c,且滿足,則面積的最大值為______.【答案】1【解析】【分析】先求出,再證明,再利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求的最大值得解.【詳解】由題得,由基本不等式得又因為,所以所以,所以,所以,.此時,故答案為1【舉一反三】1.(2020·安徽高考模擬)在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且A是B和C的等差中項,,,則周長的取值范圍是A. B.C. D.【答案】B【解析】∵是和的等差中項,∴,∴,又,則,從而,∴,∵,∴,所以的周長為,又,,,∴.故選B.2.若是垂心,且,則()A. B. C. D.【來源】2020屆浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題【答案】D【解析】在中,,由,得,連接并延長交于,因為是的垂心,所以,,所以同乘以得,因為,所以由正弦定理可得又,所以有,而,所以,所以得到,而,所以得到,故選:D.3.(2020·山東高考模擬)在圓內(nèi)接四邊形中,,,則的面積的最大值為__________.【答案】【解析】分析:由,,可知為直角三角形,設(shè)設(shè)∠BAD=,則,,從而,求二次函數(shù)的最值即可.詳解:由,,可知為直角三角形,其中∠ACB=90°,設(shè)∠BAD=,AB=2r,則,,在中,,即,∴,∴令t=,則當,即時,的最大值為類型二結(jié)合不等式(基本不等式)求解問題【例1】已知?分別為橢圓:的左?右頂點,為橢圓上一動點,,與直線交于,兩點,與的外接圓的周長分別為,,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知得、,設(shè)橢圓上動點,則利用兩點連線的斜率公式可知,,設(shè)直線方程為:,則直線方程為:,根據(jù)對稱性設(shè),令得,,即,,則設(shè)與的外接圓的半徑分別為,,由正弦定理得:,,又,,當且僅當,即時,等號成立,即的最小值為故選:A【例2】(2020·江西高考模擬)在銳角三角形中,角的對邊分別為,若,則的最小值是_______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理化簡邊角關(guān)系式,可整理出;根據(jù),結(jié)合兩角和差正切公式可得到;利用換元的方式可將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼獾淖钚≈档膯栴};根據(jù)銳角三角形特點可求出,從而利用基本不等式求解出最小值.【詳解】由正弦定理可得:得:,即又令,得:為銳角三角形得:,即當且僅當,即時取等號【例3】(2020湘贛十四校聯(lián)考)在中,角,,的對邊分別為,,,若,且恒成立,則的取值范圍是【答案】【解析】又又,當且僅當時取等號設(shè),即當時,恒成立設(shè)則可知可得:【舉一反三】1.在中,已知,,的面積為6,若為線段上的點(點不與點,點重合),且,則的最小值為().A.9 B. C. D.【來源】福建省仙游第一中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】因為,所以,因為的面積為,所以,所以,所以,,,由于,所以,所以,所以由余弦定理得:,即.所以,因為為線段上的點(點不與點,點重合),所以,根據(jù)題意得所以所以,當且僅當,即時等號成立,所以.故選:C.2.在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,,,點D在邊上,且,則線段長度的最小值為()A. B. C.3 D.2【答案】A【解析】由及正弦定理,得,即,由余弦定理得,,∵,∴.由于,∴,兩邊平方,得,當且僅當時取等號,即,∴線段長度的最小值為.故選:A.3.(2020·河南高考模擬)在中,角,,的對邊分別為,設(shè)的面積為,若,則的最大值為_____.【答案】【解析】由題得由題得所以,當且僅當時取等號.所以的最大值為,故填點睛:本題的難在解題思路,第一個難點就是把中的分母化簡成,第二個難點三.強化訓(xùn)練1.(2020安徽省蕪湖市高三)銳角三角形的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,已知,,則周長的最大值為()A.B.C.3D.4【答案】C【解析】依題意,由正弦定理得,即,由于三角形為銳角三角形,故,由正弦定理得,故三角形的周長為,故當,即三角式為等邊三角形時,取得最大值為,故選C.2.(2020黑龍江省鶴崗市一模)中,角、、所對的邊分別為、、,且滿足,,則面積的最大值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意可知,由正弦定理得,又由在中,,即,即,因為,所以,在中,由余弦定理可知,且,即,當且僅當時,等號成立,即,所以的最大面積為,故選A.3.(2020·山東高考模擬)設(shè)銳角三角形的內(nèi)角所對的邊分別為,若,則的取值范圍為()A. B.C. D.【答案】C【解析】由銳角三角形的內(nèi)角所對的邊分別為,若,,,,,,由正弦定理得,即,則b的取值范圍為,故選C.4.設(shè)銳角的三個內(nèi)角..的對邊分別為..,且,,則周長的取值范圍為()A. B. C. D.【來源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)(文)全真模擬卷(新課標Ⅱ卷)【答案】C【解析】∵為銳角三角形,且,∴,∴,,又∵,∴,又∵,,∴,由,即,∴,令,則,又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴函數(shù)值域為,故選:C5.(2020·安徽省定遠中學(xué)高考模擬)已知在銳角中,角,,的對邊分別為,,,若,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】∵,∴,∴.又,∴,∴.又∵在銳角中,,∴,當且僅當時取等號,∴,故選A.6、(2020山西省高考模擬)的內(nèi)角的對邊分別為,若的面積為,周長為6,則b的最小值是()A.2 B. C.3 D.【答案】A【解析】因為的面積為,所以整理得,即,,因為,所以又因為周長為6,所以,即所以,,所以的最小值是2,故選A7、(2020陜西省漢中市質(zhì)檢)在中,角的對邊分別是,若角成等差數(shù)列,且直線平分圓的周長,則面積的最大值為()A.B.C.2D.【答案】D【解析】因為角成等差數(shù)列,所以,又直線平分圓的周長,所以直線過圓心,即,三角形面積,根據(jù)均值不等式,當且僅當時等號成立,可知面積的最大值為,故選D.8.(2020湖南省湘潭市模擬)分別為銳角內(nèi)角的對邊,函數(shù)有唯一零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意,函數(shù)為偶函數(shù)且有唯一零點,則,所以.由余弦定理,得,整理得,即,所以,由正弦定理,得,即,所以,所以,所以或(舍),故,結(jié)合銳角,,則,,所以,由,又因為,所以,即的取值范圍是,故選D.9.(2020·山東高考模擬)曲線的一條切線l與軸三條直線圍成的三角形記為,則外接圓面積的最小值為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線l與曲線的切點坐標為(),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率和方程,聯(lián)立直線y=x求得A的坐標,與y軸的交點B的坐標,運用兩點距離公式和基本不等式可得AB的最小值,再由正弦定理可得外接圓的半徑,進而得到所求面積的最小值.【詳解】設(shè)直線l與曲線的切點坐標為(),函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為.則直線l方程為,即,可求直線l與y=x的交點為A(),與y軸的交點為,在△OAB中,,當且僅當2=2時取等號.由正弦定理可得△OAB得外接圓半徑為,則△OAB外接圓面積,故選:C.10.已知三棱錐中,平面,,,則三棱錐體積最大時,其外接球的體積為()A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖所示:因為平面,,所以當?shù)拿娣e最大時,此時三棱錐的體積最大.設(shè),則,,所以.所以,當,即時,最大.當時,,則.將三棱錐放入直三棱柱中,,分別為上下底面外接圓圓心,設(shè)外接圓半徑為,則的中點為直三棱柱外接球球心,設(shè)外接球半徑為,如圖所示:根據(jù)正弦定理,解得,所以.故外接球體積.故選:D11.銳角的內(nèi)角,,的對邊分別為,,且,,若,變化時,存在最大值,則正數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】因為,,所以,可得:,即,因為為銳角三角形,則有,即,解得:.=,當時,原式有最大值,此時,則,,,即,所以.故選:A.12.已知銳角三角形的內(nèi)角,,的對邊分別為,,.且,則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意,由正弦定理得,所以,由于三角形是銳角三角形,所以.由.所以,由于,所以,所以.故選:C13.若面積為1的滿足,則邊的最小值為()A.1 B. C. D.2【來源】福建省寧德市2020屆高三畢業(yè)班6月質(zhì)量檢查理科數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】的面積,且,,,根據(jù)余弦定理得:,即,可得,,則,解得:,即邊的最小值為.故選:C.14.已知的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,若的面積為,則的周長的最小值為()A.4 B. C.6 D.【答案】C【解析】解法一:因為,所以由正弦定理得,得,由余弦定理知,因為,所以,由,得,由得,則,所以,因為,所以,則,當且僅當時等號成立,的周長為,易知是關(guān)于的增函數(shù),所以當時,的周長最小,為;解法二:因為,所以由正弦定理得,得,由余弦定理知,因為,所以,建立如圖所示的平面直角坐標系,因為,所以可設(shè),則,即,所以的周長為,當且僅當時等號成立,所以的周長的最小值為6.故選:C15.如圖,在平面四邊形中,,,,,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè),在中,由正弦定理得,即整理得,由余弦定理得,因為,所以,在中,由余弦定理得,所以當時,.故選:C16.已知的周長為9,若,則的內(nèi)切圓半徑的最大值為()A. B.1 C.2 D.【來源】2020屆湖南省衡陽市高三下學(xué)期第二次模擬數(shù)學(xué)(理)試題【答案】C【解析】法一:角靠攏,形助興,整理得:,,如圖有:由,可得,代入,整理可得:,.法二:,得:.法三:,,,得,由正弦定理,得,.,如圖可得:,,,.17.(2020·甘肅西北師大附中高考模擬)在銳角中,,則的取值范圍是【答案】【解析】在銳角中,,由正弦定理可得,===在銳角中有,,可求得結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得.18.(2020·廣東高考模擬)在中,角所對的邊分別為,,的平分線交于點D,且,則的最小值為________.【答案】9【解析】分析
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